[高三数学]谈圆锥曲线最值问题.doc

谈圆锥曲线最值问题知识要点概述高考中，解析几何内容占总分的20%左右，而圆锥曲线又是解析几何的主要内容，占总分的15%左右，分值一直保持稳定且题型多样，方法灵活，综合性强，常被安排在试卷的最后，作为把关题或压轴题。而由于圆锥曲线的最值问题又是其重点出题之一，它涉及知识面广，常用到函数知识、不等式及三角等重点知识，又因为其灵活多样，故它能更好地考查学生对数学基础知识，数学思想方法和综合运用数学知识解决问题的能力，要求较高，难度较大，一般学生不易解答完整。解题方法指导1. 解决圆锥曲线问题的方法l 几何法：数形结合，借助图形及圆锥曲线的定义、性质及平面几何的相关知识（如两点之间线段最短，点到直线的垂线段最短）进行巧妙解题。l 代数法：建立目标函数，转化为函数最值问题，常可选用配方法、判别式法、不等式法、利用函数单调性以及参数法等。2运用各种方法需注意的问题l 几何法：凡涉及曲线上的点到焦点（或准线）距离时，常联想圆锥曲线的第二定义，利用数形结合的思想解题，故应画出直观图象，分析代数式含义，把“数”与“形”进行有机转化，能达到事半功倍的效果。l 配方法：常与二次函数相结合，根据二次函数图象及自变量范围可求最值。若对称轴位置不确定，要分类讨论。判别式法：目标函数可转化为关于的方程且方程有实根，故。不等式法：均值不等式可有效求得最值，但要注意条件“一正，二定，三相等”的条件。利用单调性：若不是初等函数，可利用求导得函数单调性，且精确得出自变量范围，再求得最值。参数法：注意引入参数前后方程的等价性。范例剖析例1.若是双曲线右支上的一个动点，是双曲线右焦点，已知，求 的最小值。解：评：圆锥曲线的综合问题常用转化的数学思想，数形结合是实现转化的重要思想方法。利用双曲线的第二定义把代数式转化为两线段的和，有平面几何的知识得到最小值。例2.已知抛物线（1）若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线的焦点及准线分别重合，试求椭圆短轴端点B与焦点连线中点P的轨迹方程。（2）若是轴上的一个定点，是（1）所球轨迹上任一点，试问有无最小值？若有求出，若无说明理由。解：得焦点，准线（1）设，则，椭圆中心为，则，设点B到的距离为，则，即，化简得P点轨迹方程为：（2）设，则令当当评：第（2）问考查了综合运用数学知识建立曲线方程的能力。第（3）问主要考查了利用二次函数的图象性质和分类讨论的思想求函数最小值，字母常是引起分类讨论的一个点。本题需要良好的分析问题和逻辑推理能力。例3.解：评：解题思路是联立直线方程与曲线方程，求弦长及中点坐标，再用一个变量表示另一个变量，使目标关系式仅表示为一个变量的函数，达到消元目的，最后目标函数变形转化为可用基本不等式的形式，达到求最值目的。本题主要考查了抛物线、一元二次方程根与系数关系、中点坐标公式和基本不等式等基础知识，也考查了如何消元（参）及转化的数学能力。例4解：例5.评：高考对数学基础知识的考查，要求全面又突出重点，注重学科的内在联系和知识的综合，对重点知识的考查会保持较高的比例并达到必要的深度，因此对知识点综合性较强的题型学生应给予充分的重视。本题主要考查了圆锥曲线等差数列和函数等重要知识，只有对各部分知识牢固，灵巧掌握，才能精确得出自变量的范围，最终求出这个一次递增函数的最值。例6.解：评：本题主要考查了使用基本不等式应注意的条件，求导确定函数的单调性，以及分类讨论的思想。此题因不知是否在范围内，因此不能使用基本不等式，考查了综合分析问题解决问题的能力。例7.解：评：本题主要考查了直线和圆锥曲线的基本知识，思维的闪光点是联立直线方程与曲线方程后整理成的一元二次方程有根，故，判别式法是典型的常用方法，应熟练掌握。例8.解：评：本题主要考查了椭圆方程的性质、其参数表示方法及三角函数的知识。