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第1章 现代设计方法概述3.6 约束非线性规划工程结构的优化问题常常属于有约束非线性规划问题，即其中目标函数或约束条件为设计变量的非线性函数。关于有约束非线性最优化问题的求解，方法很多且各有所长，但还没有一个高效、通用的方法。这些方法归纳起来，大致可分为四类：第一类是将有约束问题转化成一个或一系列无约束问题来求解的方法，例如拉格朗日乘子法，罚函数法。第二类是直接处理约束的方法，例如可行方向法、最速下降法、梯度投影法等，这类方法需要求函数的导数。第三类是用线性规划法（或二次规划法）来逐次逼近原问题的方法，如割平面法、序列线性规划法、序列二次规划法等；上述三类方法共同性的缺点是常常收敛到局部最优解，而非全局最优解。第四类是直接搜索的方法，如网格法、单纯形法、复形法、遗传算法等，这类方法不需要求函数的导数，当搜索空间大时，计算量的迅速增加常使这类算法失效。下面在每类方法中选择有代表性的方法作介绍。1、拉格朗日乘子法与库恩塔克条件拉格朗日乘子法是通过引进一个待定系数（乘子），构成一个新的无约束条件的目标函数，转化成无约束优化问题来求解。对于等式约束问题，该方法比较有效，特别地，该方法揭示了条件极值的基本特性，这些特性成为研究有约束问题的理论和方法的出发点。设问题：求 使目标函数 满足 (2-90) 1) 只有等式约束定义Lagranger函数(2-91)式中为Lagranger乘子，是与X无关的非负数，的极值点存在的必要条件为：，即(2-92)，即(2-93)，2) 只有不等式约束先将不等式约束加上松弛变量成为等式约束，如(2-94)再构成Lagranger函数(2-95)其极值的必要条件为：，即(2-96)，即 (2-97)，即(2-98)，从（2-98）知与中至少有一个为零。讨论：从这三个式子可以得到结论，即(2-96)，即 (2-97)，即(2-98)（1） 若，由式（2-98）知，由式（2-97）知，説明极值点不在该约束上，即该约束在求解极值时没有起到约束作用，我们称之为松约束。（2） 若，即由式（2-97）知，説明极值点在该约束界面上，我们称之为有效约束或紧约束（3） 除非式（2-97）至（2-98）是一个线性方程组，可以求得该方程组的解外，一般很难根据该极值条件求得极值点的值。3) 库恩塔克条件设在最优点处个约束条件中，有个约束是紧约束，不妨将这个约束排在前面，即，此时Lagranger函数取极值的必要条件为：（2-99），（）（2-100），（）（2-101）这就是局部最优性条件，也称为库恩塔克条件（简称K-T条件），将式（2-99）改写成：（2-102）式（2-102）表示了K-T条件，可以叙述为：在局部最优点目标函数的负梯度，应为所有有效约束梯度向量的线性组合，或者説，在最优点目标函数的梯度矢量的延长线落在该点主动约束所张的锥体内。为了方便K-T条件的几何意义，假设所研究的问题属于二维空间问题，在所承受的约束之中，和是有效约束，则K-T条件的几何表示见图2-14。图2-14K-T条件是函数取得局部条件极值的必要和充分条件。对于凸规划问题（可行域为凸集，且目标函数在可行域内为凸函数）的局部最优点就是其全局最优点。2、罚函数法罚函数法是将有约束最优问题先转化为无约束最优问题，再用无约束最优化方法去解。例如对一个一般的非线性问题：求 使 (2-103)满足，(2-104)(2-105)定义一个罚函数，=+（2-106）问题就成为无约束问题，求序列、···的最优解、···。已有证明，当，则=（2-107）函数称为罚函数。而函数的选择原则，应随值的序列完成极小化后，其解强迫收敛于原约束问题的解。在目标函数和罚函数之间起着加权的作用，成为惩罚系数。，函数曲面相应地叫灵敏面。罚函数的选择就形成两种方法：（1）外点法（2）内点法。1）外点法（外罚函数）所谓外点法，是由可行区的外部（非可行区）一点，随着惩罚系数···序列完成函数的极小化，而得原约束问题的解。该法的优点，迭代可从非可行区开始；其缺点是中途不能停止搜索。由于外点法形式简单，易执行，故多被采用。根据原约束可定义外罚函数（惩罚函数）如下形式，=+(2-108)其中：右边第一项为原函数的目标函数，第二项为惩罚项；为惩罚系数；r为非负常数。一般取r2。惩罚项的意义：当约束不满足时()，值越大，值越大，既是一种惩罚；当约束满足时()，不管值多大，值与F值相等，因而不受惩罚。外点法的求解过程：（1） 选一初始点（在非可行区）；（2） 对给定的值，在无约束最优化方法中选一个方法极小化，得；（3） 增大，以为初点解极小化，得；（4） 增大，并以前一点为初点解极小化，直到接近约束界面为止。这个过程的关键是及初值的选择，从收敛角度看要大，从极小化困难角度看要小。故应选一个适当值开始，逐步增大为宜。收敛准则可规定为：（2-109）或（2-110）例2.17 求使满足 取罚函数为：（A）选梯度法对极小化。故（B）（1） 取，则而由，得从而得：（2） 取则，（3） 取，本题的精确解2）内点法（内罚函数法）所谓内点法，就是从可行区域内部一点随着障碍系数（惩罚系数）序列完成函数的极小化，而得到原结束问题的解。该法的优点，是从可行区域内部收敛到约束解，且在任何时候都可以停止搜索；其缺点是初始点一定要选在可行区。根据原约束问题可定义内罚函数（障碍函数）如下形式：（2-111）其中：右边第二项称为障碍项。障碍项的意义，由大变小。由小到大。当达到最优点时，很小，很大，象一堵墙，但两者相乘，函数值。内点法的求解过程：（1） 在可行区内选一初始点；（2） 对给定的值，在无约束最优化方法中选一个方法极小化，得；（3） 减少，并以为初始点极小化，得；（4） 减少，并以前一点为初始点极小化，直到接近约束界面时为止。这个过程的关键是及初值的选择，一般偏大选择。收敛准则可规定为：（2-112）或 （2-113）例2.18 求使 满足 取罚函数为：（A）（1） 取，则，将代入后后，按二次拟合极小化法得，从而得（2） 取得：所得解与精确解完全一样，3、可行方向法所谓可行方向法，是在设计空间的可行域内，利用一个步行公式，从任选一点开始，于每一点选一个有效方向，选一个最好的步长走向下一点，走一步检查一步，逐步移向最优点的方法。可行方向法又叫“步行法”，可行方向法的步行公式是：（2-114）其中是在点向下走的一个可行方向矢量。是沿方向走向点的最好步长。可行方向选择的原则是： (1) 方向必须是可行的，即要求（2-115）(2) 方向必须是有用的，即要求（2-116）根据上述原则，在各种可能边界上的可行方向的几何图示：图2-15方向向量选择的方法有：（1）如点在可行域内，则选择故沿目标函数负梯度方向走的方法，又叫做最速下降法。（2）如点在主动约束上，则应根据式（2-117）及（2-118）两个条件来确定，故有横移、梯度及之字型等走法。（3）一个确定可行方向的数学规划法使（2-119）满足（2-120）（2-121）（2-122）其中是一个正常数，一般使。如果利用变量变换（2-123）则上述规划就是一个线性规划，而用单纯型法求解比较方便。可行方向的步长的选择有：（1） 变步长法。（2） 一维极小化步长法。步行点的检查有：（1） 点的可行性检查。（2） 点的最优性检查。例2.19 求使满足解：(1)梯度公式(2)在点（内部点）设，则及将待定点代入后成为，再按一维极小化，得，最后。(3)在点（边界点不是最优点）做线性规划找可行方向，如求使满足按线性规划的单纯形法解得故将待定点代入后成为，再按一维极小化，得，最后。(4) 在点（内部点）将代入后成为，按一维极小化，得到，最后。(5)在点（边界点且是最优点）将点代入满足约束，且临界。又满足最优性条件，故原问题的最优解是：以上过程示于图2-16，在点目标函数的梯度矢量的延长线落在两个约束梯度矢量及所围成的锥体内 123456782143650x1x2X1X2X3X4S1S2S3g1g1g1=0g2=0g2F目标函数等值线图2-164、序列二次规划序列二次规划，是将一个非线性规划问题，逐次在指定点按Taylor级数展开成二次规划型求解，直到满足收敛条件为止。例如原问题：NLP求：极小化满足（2-124） 在指定点展开的二次规划问题：QP求极小化（2-125）满足于 （2-126）其中：（2-127）（2-128）5、复形法复形法是不需要导数的空间搜索数值法，概念简单，适应力强，能求出整体最优点，当其他方法无法应用时，就可以想到使用复形法。复形法的基本思想是首先在可行区域形成具有P个顶点的多面体（称复形），再逐一比较复形顶点的目标函数值，丢掉坏点，代以新顶点，逐步走向最优点。复形法分两个阶段：（1）在可行区域形成初始复形。（2）调优搜索。具体步骤如下：1）形成初始复形（1） 选一个初始可行点，可根据经验或参考已有的设计决定。随机产生个顶点（2-129）其中，为顶点号，为随机数对角阵，、是变量上下限列阵，是第个顶点的坐标值。（3）对个点进行可行性检查。设有个顶点为可行。则求个顶点的几何中心 （2-130）（4）如在可行区，则将不在可行区的顶点，沿着与方向将拉入可行区，计算公式如下（2-131）（5）如不在可行区，则应在所有顶点中找出函数值最小的点，即最好点，再在与之间按（2-129）重新布点。最好点满足：F()=min(F()，=1,2.,2n)（2-132）（6）收敛条件计算复形顶点目标函数值，按大小排列，以记最好点，以记最坏点，为复形的中心。若下列条件之一满足终止迭代，记为预定精度（2-133）（2-134）（2-135）满足。取最好点为最优，不满足则进入下一段调优搜索。2） 调优搜索（1） 反射计算去掉坏点后，余下个顶点的中心（2-136）若不在可行区，又回到上述各步在与之间重新形成复形。若在可行区，则以为中心求的倍反射点（2-137）其中为反射系数。若不在可行区，再把反射系数减半求反射点，直到可用为止，计算值。（2） 延伸若，反射点比最好点好，则该方向有利于下降，故可再沿此方向延伸（2-138）其中，为延伸系数。若，则用代替；否则用代替，回到收敛条件。（3） 收缩若，说明反射点所在一侧不利于下降，故要收缩（2-139）其中，为收缩系数，若仍最差，则以为基准，将其它顶点到的距离减半构成收缩复形，否则以代替，回到收敛条件。3） 建议或，n为设计变量的个数。例2.20如图23所示对称三杆桁架，P=2N，=100cm，材料容重N，求最轻设计时的截面面积。解：设斜杆的面积为，中间杆的面积为，建立该问题的优化数学模型为：求Min w()=s.t. 采用复行法求解：取N2，P4。试验域为0.5<<1.5，0.2<<1.0在域中按照式0.5及0.20.8选四个顶点，见表29。表29W10.24020.48520.74020.58816-0.01063-0.80896-2.583672.68144620.35460.64850.85460.7188-0.33407-1.232-3.908633.13560930.52430.35421.02430.48336-0.54205-1.00108-5.487863.3800840.12570.09830.62570.278640.261108-0.02802-1.59226不可用（1）求可用中心点=（可用），（2）把第4点拉回可行域(可用)得到复形顶点，按由小到大的顺序排列如表210。表210 初始形顶点NX0.74020.81120.85641.02430.85760.58820.51720.71880.48340.57692.68142.81133.13563.383.0021(3)收敛判别：收敛条件：不满足，调优（4）调优搜索（可用）（不可用）（不可用）（可用）用直接替换，替换后的复形见表211。表211 替换后的复形点NX0.74020.72980.81120.85480.78390.58820.64860.51720.71880.6182W(X)2.68142.71252.81133.13562.8352重复（3）、（4）迭代15次得满足条件的近似最优解，过程见表212。最后的复形为、，其中心点：，取近似最优解为，表212 复形法求解过程总号迭代次数复形顶点调优成功得系数附 注已被替代 100.74020.58822.6814200.81120.51722.8113300.85640.71883.1536401.02430.48343.3800510.72980.64862.71250.325620.74340.56052.66280.151.2730.73230.60522.67610.075840.740.57502.66770.15950.73810.57782.66490.31060.75260.52202.65041.21.21170.74770.54042.65490.61280.75650.50782.64720.61.51390.75360.51782.64900.1514100.75520.51222.64790.1515110.75590.50982.64750.316120.75620.50882.64730.1517130.75800.50272.64631.21.518140.75870.50042.64601.21.519150.75980.49682.64541.21.1如迭代至29步可得复形顶点如表213。表213 复形顶点NX0.7653170.7652970.7652550.765470.7652790.4786070.4786710.4788050.4788310.478729W(X)2.6429232.6429312.6429462.642952.642938取近似最优解为：，本问题的最优解为，相对误差0.15。6、遗传算法在计算科学领域，特别是人工智能领域，有一类基于生物界的自然选择和自然遗传机制的计算方法，如遗传算法、进化策略（ES，Evolution strategies）和进化规划（EP， Evolutionary Programming）等。它们都属于全局搜索优化方法，它们的某些术语十分相似，但使用的进化计算技术却各不相同。其中的遗传算法是将个体编成具有一定长度的染色体，让每个染色体对应一个适应度函数值，使较好的解被遗传到“下一代”。习惯上把美国Michigan大学的John H.Holland 教授，1975年首先提出的GA称为传统的GA。目前，虽然已有许多后生的GA方法，但它们的主要过程一致，具体如下：1） 编码为了更直接地模拟基因遗传方式，GA一般不直接处理优化解空间的解数据，而是通过编码将它们转换成遗传空间的基因型位串数据结构（即染色体）。将二进制位串分成n段，则每段就表示一个设计变量的二进制代码；设每段的码串长度为，则一个变量与其二进制代码的映射关系为：（2-140）其中为该位串第段中第个基因，取值为1或0。编码的精度与码串长度有如下关系：（2-141）如果用实数编码，可以将每个设计变量的值作为染色体的基因，即以一组设计变量顺序编排成一个个体码，np是设计变量的个数。2）产生初始种群随机产生N个初始字符串，每个字符串称为一个个体，N个个体构成一个群体。GA以这N个字符串作为初始种群，初始种群中的点应尽可能地分散。3）适应度函数与评价函数的确定适应度函数表明个体对环境适应能力的强弱。GA在搜索中基本上不用外部信息，仅用适应度函数为依据，其适应度不受连续可微的约束，且定义域可以为任意集合。对于结构优化设计问题，一般将目标函数取作适应度函数。评价函数用来对种群中的每个个体设定一个概率，以使该个体被选中的可能性与其在种群中个体的适应性成比例。在GA法解决有些问题时，会因为一些具有很高适应度的超常个体，控制了GA的选择过程，导致未成熟收敛现象；另一方面，在GA的后期进化过程中，常常会因为群体的平均适应度已接近最佳个体适应度，个体间的竞争力接近，使优化过程出现随机漫游现象。这时，对于未成熟收敛现象，可以通过适当缩小异常个体的适应度函数值来减少其被选中的机会；对于随机漫游现象，可以通过适当放大相应的适应度函数值来提高个体间的竞争力。上述，对适应度的适当缩放调整的过程称为适应度定标。由Goldberg提出了一种线性适应度定标方案：，（2-142）其中，为第个i个体的原来适应度，为第I个个体的新适应度，、为参数，要根据目标函数的性质来设定。此时，评价函数eval(V)定义为：，（2-143）特别说明的是，适应度函数应该既能评价有效点，也能评价无效点。一个无效点就是问题的一个非可行解，之所以适应度函数要评价这些无效点，就是因为这些无效点可能含有好的个体的基因。如果适应度函数放弃这些无效点，那么在基因重组时就有可能失去这些好的基因。例如，对于有约束结构优化设计问题，适应度函数取为：(2-144)式中：V（）为目标函数，为第个性态约束函数，为第个约束的罚因子，为一个较大的正数，以保证为非负的极大值适应度函数，m为性态约束数目。4）选择过程选择的原则是：在N个个体中，保留适应能力强的个体为下一代贡献基因。选择过程实现了达尔文的适者生存原则。常用的选择方式有：联赛选择、轮盘赌、最佳保留选择。其中联赛选择是应用较多的一种操作。在联赛选择中，种群个体被随机配对，适应度较高的个体被保留到下一代，适应度较低的个体被淘汰。也可以将几个个体编为一组进行最优选择。5） 搜索操作现在种群已被调整到相对高适应度的状态了。搜索操作用来重组并产生新的种群，两个最常用的操作是交叉和变异。(1)交叉操作在自然界生物进化过程中起核心作用的是遗传基因的重组，同样，在GA中起核心作用的是交叉操作过程。交叉操作是父代个体间相互交换基因，生成新个体的操作。该操作首先定义参数作为交叉操作的概率，对某个个体产生一个随机数，当则选择个体作为准备交叉的父代，再将被选中的父代随机地进行两两配对，然后在个体中随机确定一个交叉点，实行交叉时，该点前后的两个父代的部分结构进行互换，产生两个新的子代。图3-1是用二进制编码，两个父代个体交叉点被随机地定在第二与第三基因座之间时，基因交叉生成两个新子代个体的过程。图217 交叉操作如果是实数编码，可以采用算术交叉，即由随机抽取的两个个体的线性组合产生两个子代。（2-145）式中为（0，1）域间的均匀分布随机数。(2)变异操作变异是用来模拟生物在自然环境中，受各种偶然因素作用而产生的基因突变。在变异操作中，首先定义参数作为变异操作的概率，对某个个体产生一个随机数，当，则选取该个体作为变异父代，并在这个个体内随机地选择一个或几个基因进行变异，如果使用的是二进制代码，一般将选中的基因取反，即1变0，0变1。例如，我们可以将一个父代个体1101变异成1001。如果是实数编码，可以用非均匀变异方法。设随机选取的个体为，则变异后的新个体为：（2-146）为变量的下界，为变量的上界，为（0，1）上的均匀随机数，为当代数，为最大进化代数。为一个形式参数。遗传算法的编程框图见图2-18。开 始YES输入原始资料代数I1在给定范围内，随机生成设计变量的值计算适应度（目标函数W）利用遗传算法，选择个体、杂交个体、变异个体进行优化I=I+1根据判定条件，判断是否结束本次进化？NOI=I+1NOYES生成新一代种群I>maxg ?输出结果结 束图218 遗传算法的编程框图例2.21 图2-19示一工字型组合钢梁，截面面积F、惯性矩I、抗弯模量S有统计关系：，设、和E为已知，求梁最轻时的截面抗弯模量，（经换算面积F=0.944）。解：简化后的优化设计模型为:求 图2-19 组合钢梁满足（AB梁强度条件）（CD梁强度条件）使W()=+ 其中，。用遗传算法计算的参数环境为种群规模取20，进化代数取200代，交叉概率取为0.9，变异概率取为0.3，搜索范围是。用遗传算法经过若干次计算后，与复合形法所得的结果相比较见表2-15。表2-15 遗传算法与复形法结果的比较方法W复合形法58410262915148遗传算法58717260415147通过上面的算例可以看到，用遗传算法来解决结构优化问题，是可以得到很好的结果。一、动态规划原理从A地要铺设一条管道到E地，中间需经过三个中间站。第一个中间站可(B1，B2，B3)中任选一个；第二个中间站可从(C1，C2，C3)中任选一个；第三个中间站可从(D1,D2)中任选一个。由于地理条件等方面的原因，某些地区之间不能直接铺设相通的管道。图4-1表示可以直接铺设管道的情况，途中有向权的边为相应管道的铺设费用。现需求出一条总费用最少的管道路线。图4-1现在我们以这一问题为例来说明动态规划的基本思想。先把整个过程分成若干阶段：从起点A到第一中间站的管道铺设为第一阶段，从第一中间站到第二中间站的管道铺设为第二阶段，从第二中间站到第三中间站的管道铺设为第三阶段，从第三中间站到终点E的管道铺设为第四阶段。每铺完一阶段的管道后，我们都面临着选择下一阶段到达站的问题，直到最后到达终点E为止。若令第阶段管道的起点（称为第阶段管道的状态变量）。顶点到顶点的有向权之边从顶点到终点E的最短路之权（例如，即为顶点A到终点E的最短路之权）。用动态规划法求解这一问题的基本思想是：先考察第四阶段状态变量至E的最短路之权，接着考察第三阶段状态变量至E的最短路之权，再考察第二阶段状态变量至E的最短路之权，最后求得第一阶段状态变量至E的最短路之权。下面是具体的求解过程。先假想还有一个第五阶段。那么，第五阶段的起点自然为E，故E，0。在第四阶段，D1、D2都可以作为它的起点，但始终却只有一种选择，只能取E。当D1时，有+=。当D2时，有+=。在第三阶段，C1、C2、C3、C4都可以作为它的出发点，而当=C1时,到达点可以有两种选择：D1或D2。于是，min=min=5。取最小值的算式用底线标出。当C2时，有当C3时，有 类似地，在第二阶段，有 在第一阶段，有 这样，我们得知铺设管线的最少费用为14，而具体路线可以采用“顺序追踪法”来确定。从上述计算过程中可知：故具体的线路为AB2C1D1E。如图4-2所示，定点旁括号内的数字为此顶点到终点E的最少铺设费用。图4-2§5.1.2 基本概念与基本方程 现已上述引例为基础，引入动态规划的一些基本概念和一般模式：（1）阶段 阶段是对整个过程的自然划分，通常根据时间顺序或空间顺序来划分成若干个相互联系的阶段。阶段的数目N称为历程，引例中，N=4。（2）阶段的状态阶段的状态表示每个阶段开始时过程所处的状况，它可用阶段的某种特征来描述，而决策过程可以通过各阶段状态的演变来说明。例如，引例中我们取各阶段铺管的起点作为各阶段的状态。状态的演变AB3C3D1E描述了整个决策的过程。阶段的状态应具有“无后效性”，也即过程的历史只能通过当前的状态去影响它未来的发展 。 例如在引例中 ，若第三阶段的状态已知为C1，以后的问题就只是考虑如何从C1铺设到E，至于第一、第二阶段所处的状态（即从A如何铺设到C1），对以后各阶段的选择已无直接的影响。描述状态的变量称为状态变量，变量允许取值的范围称为允许状态集合。用表示第阶段的状态变量，用表示其允许状态集合。引例中， 策略 决策就是在给定某阶段状态后，从该状态演变到下一阶段状态所作的抉择。描述决策的变量称为决策变量。显然，第阶段的决策变量的取值集（称为允许决策变量集合）与有关，可记为。如在引例中， 决策变量序列 的一组值称为一个策略，而决策变量序列的一组值称为一个子策略。例如在引例中，(A,B1,C2,D1,E)是一个策略； (A,B2,C1,D1,E)也是一个策略，而且是最优策略；而(C3,D1,E)是一个子策略。（4）状态转移方程设第阶段的状态为，为已知，则过程演变为第+1阶段的状态。便完全确定，用状态转移方程表示这种演变规律： （4-1）在上述引例中，易知状态转移方程为：（5）权函数 第阶段的状态为，当决策变量取得某个值（或方案）后，就有一个反映这个局部措施的效益指标称为权函数。引例中，权函数即为有向边之权。（6）目标函数 第阶段的状态为，当采取了最优子策略后，从阶段到阶段N可获得的效益，称为目标函数，记为。常见的形式有： （4-2） （4-3）其中，符号opt视问题的性质可代表min或max；表示子策略的取值集合。在引例中，目标函数用的是（4-2）形式，opt代表min。(7)递归方程 根据动态规划的最优化原理，即：最优策略的子策略，构成最优子策略。可以写出下列递归方程：或者用上述递归方程和状态转移方程求解动态规划的过程，是由N递推至1，故这种方法称为逆序解法。当然，对某些动态规划问题，也可采用顺序解法。综上所述，对一个问题建立动态规划的数学模型步骤是：（1） 划分阶段，确定阶段的状态变量；（2） 确定决策变量、权函数以及目标函数；（3） 建立状态转移方程；（4） 根据动态规划的最优化原理建立递归方程。2.4 结构优化设计在水利水电工程中的应用2.4.1 闸门轨道的优化设计1、轨道的优化设计模型轨道的几何模型和设计变量=x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7T，如图2-20所示。 图2-201）目标函数取单位长度的轨道体积V为目标函数：F()=V()2）约束条件(1)性态约束在轮压P的作用下，轨道底部沿轨长方向的压应力分布可当作三角形，其三角形底边长度之半的a值可按下式计算。图2-21式中：EIx轨道的抗弯刚度，其中E为钢材的弹性模量；Ix为钢轨对自身中和轴x的截面惯性矩； b 轨道底部宽度,； Eh轨底混凝土的弹性模量。轨道底部与混凝土之间的最大承压应力需满足下式： (a)式中：h混凝土的容许承压应力。轨道颈部的局部承压应力分布情况与轨道底部相同，所以其三角形底边长度之半可按下式计算:式中：轨道颈部对自身中性轴的惯性矩； I1轨道头对自身中和轴的截面惯性矩(见图2-22)； 腹板厚度。图2-22轨道颈部的承压应力c需满足：（b）式中：cd钢材的局部承压容许应力；轨道的抗弯强度可按倒置的悬臂梁验算，抗弯约束条件为：(c)式中：钢轨的容许应力； W 钢轨的截面抵抗矩。同样，轨道的底板厚度也可按倒置的悬臂梁计算(如图2-23所示)，即沿轨道长度方向取单位长度的板条当作脱离体来验算其固定端（腹板处）A-A截面的抗弯强度，即（d）其中， ，t=X5+r2对另一截面B-B，也作如下验算：（e）其中，腹板侧向稳定约束：（f）（2）几何约束最小壁厚大于30mm，最小半径:x720mm，轨道顶宽大于滚轮轮缘宽度，这里设，b0为滚轮轮缘宽度，非负约束：x30,x60而且，所有变量均以10mm为模数。2.优化方法这是一个有约束的非线性规划问题，优化方法采用复形法。3）工程实例(1)参数值选取对工程A船闸和工程B船闸的轨道分别做优化设计，有关参数值的选取如下：h=17.5*11/15=12.83N/mm2,=235N/mm2,cd=345N/mm2,E=2.06*105N/mm2,Eh=3.15*104N/mm2，C1=50.0,C2=20mm。工程A船闸轮压设计值P=4100KN，轮缘宽度取270mm, r2=60.0mm；工程B船闸轮压设计值P=5000KN，轮缘宽度取290mm, r2=85.0mm。(2)优化结果P=4100KN（工程A船闸轮压设计值）原设计方案的目标函数值（体积）为62642mm3，将原设计方案作为初始可行解，得到的优化方案的体积为54125mm3，优化方案详见表2-15。P=5000KN（工程B船闸轮压设计值）将A船闸的原设计方案用于此，已不能满足所有的约束条件，即不是可行解。对设计变量进行修改，得到初始可行解，再进行优化设计得优化方案见表2-15。表2-15 轨道实例优化结果（单位：mm）方案轮缘宽度X1X2X3X4X5X6X7体积（mm3）A船闸轨道原设计2703005024570401558062642A船闸轨道优化设计27030030390403014012051193B船闸轨道设计29032030410503016013060954从表2-15可以看到，对A船闸轨道而言，优化设计方案比原设计方案腹板高度增加，腹板厚度、上翼缘厚度和底板厚度减小，材料用量减少18.3。2.4.2 混凝土重力坝的抗震优化设计1、优化设计变量重力坝断面优化设计的变量：图2-24 坝体优化变量2、目标函数目标函数取单位坝段的断面面积。3、基于材料力学法的混凝土重力坝抗震优化设计约束条件1）基本组合（正常蓄水位）下的约束条件(1)坝趾抗压强度承载能力极限状态设计约束条件（a）作用效应函数（b）抗压强度极限状态抗力函数或（c）式中，为结构重要性系数，为基本组合结构系数，为设计状况系数，为材料性能分项系数，为坝基面上全部法向作用之和，为全部作用对坝基形心的力矩之和，、分别为坝基面的面积、惯性矩和形心轴