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第十二章 微分方程第一节 微分方程的基本概念教学目的：理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的阶，微分方程 的通解、特解及微分方程的初始条件等教学重点：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始条件教学难点：微分方程的通解概念的理解教学内容：一、 首先通过几个具体的问题来给出微分方程的基本概念。1一条曲线通过点（1,2），且在该曲线上任一点处的切线的斜率为2，求这条曲线的方程。解 设曲线方程为.由导数的几何意义可知函数满足 （1）同时还满足以下条件：时， （2）把（1）式两端积分，得 即 （3）其中C是任意常数。把条件（2）代入（3）式，得， 由此解出C并代入（3）式，得到所求曲线方程： （4）2列车在平直线路上以20的速度行驶；当制动时列车获得加速度.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？解 设列车开始制动后秒时行驶了米。根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数满足： （5）此外，还满足条件：时， （6）(5)式两端积分一次得： （7）再积分一次得 （8）其中都是任意常数。把条件“时”和“时”分别代入（7）式和（8）式，得把的值代入（7）及（8）式得 （9） （10）在（9）式中令，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间：。再把代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程上述两个例子中的关系式（1）和（5）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。二、 定义 一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系到的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的方程，叫做偏微分方程。本章只讨论常微分方程。微分方程中所出现的求知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。例如，方程（1）是一阶微分方程；方程（5）是二阶微分方程方程。又如，方程是四阶微分方程。一般地，阶微分方程的形式是 （11）其中F是个变量的函数。这里必须指出，在方程（11）中，是必须出现的，而等变量则可以不出现。例如阶微分方程中，除外，其他变量都没有出现。如果能从方程（11）中解出最高阶导数，得微分方程 （12）以后我们讨论的微分方程都是已解出最高阶导数的方程或能解出最高阶导数的方程，且（12）式右端的函数在所讨论的范围内连续。由前面的例子我们看到，在研究某些实际问题时，首先要建立微分方程，然后找出满足微分方程的函数，就是说，找出这样的函数 ，把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。这个函数就叫做该微分方程的解。确切地说，设函数在区间上有阶连续导数，如果在区间上，那么函数就叫做微分方程（11）在区间上的解。例如，函数（3）和（4）都是微分方程（1）的解；函数（8）和（10）都是微分方程（5）的解。如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。例如，函数（3）是方程（1）的解，它含有一个任意常数，而方程（1）是一阶的，所以函数（3）是方程（1）的通解。又如，函数（8）是方程的解，它含有两个任意常数，而方程（5）是二阶的，所以函数（8）是方程（5）的通解。由于通解中含有任意常数，所以它还不能完全确定地反映某一客观事物的规律性，必须确定这些常数的值。为此，要根据问题的实际情况提出确定这些常数的条件。例如，例1中的条件（2），例2中的条件（6），便是这样的条件。设微分方程中的未知函数为，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是时，或写成 其中，都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是：时，或写成 ，其中，和都是给定的值。上述条件叫做初始条件。确定了通解中的任意常数以后，就得到了微分方程的特解。例如（4）式是方程（1）满足条件（2）的特解；（10）式是方程（5）满足条件（6）的特解。求微分方程满足初始条件的特解这样一个问题，叫做一阶微分方程的初值问题，记作 （13）微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。初值问题（13）的几何意义是求微分方程的通过点的那条积分曲线。二阶微分方程的初值问题的几何意义是求微分方程的通过点且在该点处的切线斜率为的那条积分曲线。三、 例题例1 验证：函数 （14）是微分方程 （15）的解。解 求出所给函数（14）的导数 把 及 的表达式代入方程（15）得+函数（14）及其导数代入方程（15）后成为一个恒等式，因此函数（14）是微分方程（15）的解。例2 已知函数（14）当 时是微分方程（15）的通解，求满足初始条件的特解。解 将条件“ 时，”代入（14）式得。将条件“ 时，”代入（16）式，得。把的值代入（14）式，就得所求的特解为。小结：本节讲述了微分方程的基本概念，及一般形式，常微分方程的通解、特解及微分方程的初始问题第二节 可分离变量的微分方程教学目的：熟练掌握可分离变量的微分方程的解法教学重点：可分离变量的微分方程的解法教学难点：可分离变量的微分方程的解法教学内容：本节开始,我们讨论一阶微分方程 (1)的一些解法.一阶微分方程有时也写成如下的对称形式: (2)在方程(2)中,变量与对称,它既可以看作是以为自变量、为未知函数的方程 ,也可看作是以为自变量、为未知函数的方程 ,在第一节的例1中，我们遇到一阶微分方程，或 把上式两端积分就得到这个方程的通解：。但是并不是所有的一阶微分方程都能这样求解。例如，对于一阶微分方程 （3）就不能像上面那样直接两端用积分的方法求出它的通解。原因是方程（3）的右端含有未知函数积分求不出来。为了解决这个困难，在方程（3）的两端同时乘以，使方程（3）变为，这样，变量与已分离在等式的两端，然后两端积分得或 （4）其中C是任意常数。可以验证，函数（4）确实满足一阶微分方程（3），且含有一个任意常数，所以它是方程（3）的通解。一般地，如果一个一阶微分方程能写成 （5）的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含的函数和，另一端只含的函数和，那么原方程就称为可分离变量的微分方程。假定方程（5）中的函数和是连续的，设是方程的解，将它代入（5）中得到恒等式将上式两端积分，并由引进变量，得设及依次为和的原函数，于是有 （6）因此，方程（5）满足关系式（6）。反之，如果是由关系到式（6）所确定的隐函数 ，那么在的条件下，也是方程（5）的解。事实上，由隐函数的求导法可知，当时，这就表示函数满足方程（5）。所以如果已分离变量的方程（5）中和是连续的，且，那么（5）式两端积分后得到的关系式（6），就用隐式给出了方程（5）的解，（6）式就叫做微分方程（5）的隐式解。又由于关系式（6）中含有任意常数，因此（6）式所确定的隐函数是方程（5）的通解，所以（6）式叫做微分方程（5）的隐式通解。例1 求微分方程 （7）的通解。解 方程（7）是可分离变量的，分离变量后得两端积分 得 从而 。又因为仍是任意常数，把它记作C便得到方程（7）的通解。例2 放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减少，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比。已知时铀的含量为，求在衰变过程中含量随时间变化的规律。解 铀的衰变速度就是对时间的导数。由于铀的衰变速度与其含量成正比，得到微分方程如下 （8）其中是常数，叫做衰变系数。前的负号是指由于当增加时M单调减少，即的缘故。由题易知，初始条件为方程（8）是可以分离变量的，分离后得两端积分 以表示任意常数，因为，得即 是方程（8）的通解。以初始条件代入上式，解得故得 由此可见，铀的含量随时间的增加而按指数规律衰落减。例3 有高1cm 的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面面积为1cm(图12-1)。开始时容器内盛满了水，求水从小孔流出过程中容器里水面的高度（水面与孔 口中心间的距离）随时间变化的规律。解 由水力学知道，水从孔口流出的流量（即通过孔口横截面的水的体积对时间的变化率）可用下列公式计算： 其中0.62 为流量系数，为孔口横截面面积，为重力加速度，现在孔口横截面面积，故 或 （9） 另一方面，设在微小时间间隔内，水面高度由降至，则又可得到 （10）其中是时刻的水面半径(图123)，右端置负号是由于，而的缘故。又因所以（10）式变成 。 （11）比较（9）和（11）两式，得 （12）这就是未知函数应满足得微分方程。此外，开始时容器内的水是满的，所以未知函数还应满足下列初始条件：。 （13）方程（13）是可分离变量的。分离变量后得两端积分，得即 （14）其中是任意常数。把初始条件（13）代入（14）式，得因此把所得的值代入（14）式并化简，就得。第三节 齐次方程教学目的：熟练掌握齐次微分方程的解法教学重点：齐次方程的解法教学难点：齐次方程的解法教学内容：一、 齐次方程的形式如果一阶微分方程中的函数可写成的函数，即，则称这方程为齐次方程。例如是齐次方程，因为其可化为1 齐次方程 （1）的解法。作代换 ，则，于是从而 ，分离变量得 两端积分得 求出积分后，再用代替，便得所给齐次方程的通解。如上例分离变量，得 积分后，将=代回即得所求通解。例1 解方程。解 原式可化为，令=，则 ，于是分离变量 两端积分得 即 。故方程通解为 。例2 有旋转曲面形状得凹镜，假设由旋转轴上一点发出得一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行（探照灯内得凹镜就是这样得）。求这旋转曲面得方程。解 取旋转轴为轴，光源所在之处取作原点，取通过旋转轴得任一平面为坐标面，这平面截此旋转面得曲线（图122）。按曲线得对称性，我们可以在的范围内求的方程。设点为上的任一点，点发出的某条光线经点反射后是一条与轴平行的直线。又设过点的切线与轴的夹角为。根据题意，。另一方面，是入射角的余角，是反射角的余角，于是由光学中的反射定律有。从而。但，而。于是得微分方程。把看作未知函数，把看作自变量，当，上式即为。这是齐次方程。令则，代入上式，得即 。分离变量，得 。积分，得或 。由 ,得 以代入上式，得。这是以轴为轴、焦点在原点得抛物线，它绕轴旋转所得旋转抛物面的方程为，这就是所要求的旋转曲面方程。如果凹镜底面的直径是，从顶点到底面的距离是，则以及代入，得。这时旋转抛物面得方程为。例3 设河边点的正对岸为点，河宽两岸为平行直线，水流速度为，有一鸭子从点游向点，设鸭子（在静水中）的游速为，且鸭子游动方向 始终朝着点，求鸭子游过的迹线的方程。解 设水流速度为，鸭子游速为，则鸭子实际运动速度为。取为坐标原点，河岸朝顺水方向为轴，轴指向对岸，如图123。设在时刻对鸭子位于点，则鸭子运动速度故有 。现有，而 ，其中与同方向的单位向量。由故，于是，从而由此得微分方程即 令则代入上面得方程，得分离变量得积分得即 于是 。以时代入上式，得，故鸭子游过得迹线方程为,。小结：1 讲述了一阶微分方程中可分离变量的微分方程及其解法。2 讲述了齐次方程，及其解法第四节 一阶线性微分方程教学目的：掌握一阶线性微分方程的形式，熟练掌握其解法；掌握利用变量代换解微分方程的方法；了解贝努利方程的形式及解法教学重点：一阶线性微分方程的形式、及解的形式，利用变量代换解微分方程教学难点：一阶线性微分方程通解的形式，利用变量代换解微分方程教学内容：一、 一阶线性微分方程1定义 方程 （1）称为一阶线性微分方程。特点 关于未知函数及其导数是一次的。若，称（1）为齐次的； 若，称（1）为非齐次的。如：（1） （2）2解法当时，方程（1）为可分离变量的微分方程。当时，为求其解首先把换为0，即 （2）称为对应于（1）的齐次微分方程，求得其解为求（1）的解，利用常数变易法，用代替，即于是，代入（1），得故 。 （3）例1 求方程 （4）的通解.解 这是一个非齐次线性方程。先求对应的齐次方程的通解。， （5）用常数变易法。把换成，即令 ，则有 ，代入（1）式中得，两端积分，得 。再代入（4）式即得所求方程通解。另解 我们可以直接应用（3）式得到方程的通解，其中， 代入积分同样可得方程通解，此法较为简便，因此，以后的解方程中，可以直接应用（3）式求解。二、 贝努利方程1定义 称为贝努力方程。当时，为一阶线性微分方程。2解法 两边同除令，则有 而 为一阶线性微分方程，故。贝努利方程的解题步骤（1） 两端同（2） 代换（3） 解关于的线性微分方程（4） 还原例2 求方程的通解。解 以除方程的两端，得即 。令，则上述方程成为。这是一个线性方程，它的通解为。以代，得所求方程得通解为 。三、 利用变量代换解微分方程例3 解方程 解 令 ，则 ，于是解得 ， 即 例4 解方程 解 令则代入原方程，得。分离变量得两端积分得 。以代入上式，即得或 第五节 全微分方程教学目的：掌握全微分方程成立的充要条件，掌握全微分方程的解法，会用观察法找积分因子教学重点：全微分方程的解法，观察法找积分因子教学难点：全微分方程的解法，观察法找积分因子教学内容：1 定义 若 （1）恰为某一个函数的全微分方程，即存在某个，使有，则称（1）为全微分方程。可以证明 是（1）式的隐式通解。2解法 若，在单连通域G内具有一阶连续偏导数，条件是（1）式为全微分方程的充要要条件。通解为 。例1 求解 解 令 ，则 此方程为全微分方程。于是通解为 3积分因子若，则（1）式不是全微分方程，但若有一个适当函数，使（1）式乘以后为全微分方程，称函数为积分因子。一般积分因子不好求，我们只要求通过观察找到积分因子。例2 方程 不是全微分方程，但于是将方程乘以 ，则有 ，即 ，从而为其通解。此时为其积分因子。 注意 积分因子一般不唯一。如上述方程，若同乘有 ，于是 ，即 为其通解。 也是其积分因子。 小结： 1本节讲述了一阶线性微分方程，及贝努利方程的解法，利用常数变易法，和变量代换法来解微分方程。2本节讲述了全微分方程的解法，用观察法找积分因子，使之满足全微分方程的充要条件。第六节 可降阶的高阶微分方程教学目的：掌握三种容易降阶的高阶微分方程的求解方法教学重点：三种可降阶的高阶微分方程的求法教学难点：三种可降阶的高阶微分方程的求法教学内容：一、型令 ，则原方程可化为 ，于是 同理 n次积分后可求其通解。其特点：只含有和，不含及的阶导数。例1 求微分方程的通解。解 对所给方程接连积分三次，得。这就是所求的通解。例2 质量为的质点受力的作用沿作直线运动。设力仅是时间的函数：。在开始时刻时，随着时间的增大，此力均匀地减小，直到时，。如果开始时质点位于原点，且初速度为零，求这质点的运动规律。 解 设表示在时刻时质点的位置，根据牛顿第二定律，质点运动的微分方程为 （1）由题设，力随增大而均匀地减小，且时，所以；又当时，从而。于是方程（1）可以写成。 (2)其初始条件为。 把（2）式两端积分，得，即 。 （3）将条件代入（3）式，得，于是（3）式成为。 （4）把（4）式两端积分，得将条件代入上式，得。于是所求质点得运动规律为。二、令 则 ，于是可将其化成一阶微分方程。特点 含有，不含。例3 求微分方程满足初始条件的特解。解 所给方程是型的。设，代入方程并分离变量后，有。两端积分，得，即 。又由条件，得，于是所求得特解为。三、令 则 ，于是可将其化为一阶微分方程。特点 不显含。例 4 一个离地面很高的物体，受地球引力的作用由静止开始落向底面。求它落到地面时的速度和所需的时间（不计空气阻力）。解 取连结地球中心与该物体的直线为轴，其方向铅直向上，取地球的中心为原点（图124）。设地球的半径为，物体的质量为，物体开始下落时与地球中心的距离为，在时刻物体所在位置为于是速度为。根据万有引力定律，即得微分方程， （5）即 ，其中为地球得质量，为引力常数。因为，且当时，（这里置负号是由于物体运动加速度得方向与轴得正向相反得缘故），所以。于是方程（5）成为。 （6）初始条件是 。 先求物体到达地面时的速度。由，得代入方程（6）并分离变量，得。两端积分，得 。把初始条件代入上式，得，于是。 （7）在（7）式中令，就得到物体到达地面时的速度为，这里取负号是由于物体运动的方向与轴的正向相反的缘故。下面来求物体落到地面所需的时间。由（7）式有分离变量得 。两端积分（对右端积分利用置换），得。 （8）由条件得。于是（8）式成为。在上式中令，便得到物体到达地面所需得时间为。第七节 高阶线性微分方程教学目的：掌握二阶线性方程解的结构，齐次线性方程的通解，非齐线性方程的特解及通解的形式。教学重点：齐次线性方程的通解，非齐线性方程的特解及通解的形式。教学难点：齐次线性方程的通解，非齐线性方程的特解及通解的形式。教学内容：一、 二阶线性微分方程举例例1 设有一个弹簧，它的上端固定，下端挂一个质量为的物体，当物体处于静止状态时，作用在物体上的重力与弹簧力大小相等、方向相反，这个位置就是物体的平衡位置。取轴沿铅直向下，并取物体的平衡位置为坐标原点。 如果使物体具有一个初始速度，那末物体便离开平衡位置，并在平衡位置附近作上下振动，在振动过程中，物体的位置随时间变化，即是的函数：。要确定物体的振动规律，就要求出函数。 由力学知道，弹簧使物体回到平衡位置弹性恢复力（它不包括在平衡位置时和重力相平衡的那一部分弹性力）和物体离开平衡位置的位移成正比例：其中为弹簧的弹性系数，负号表示弹性恢复力的方向和物体位移的方向相反。 另外，物体在运动过程中还受到阻尼介质（如空气/油等）的阻力的作用，使得振动逐渐趋向停止。由实验知道，阻力的方向总与运动方向相反，当振动不大时，其大小与物体运动的速度成正比，设比例系数为，则有 根据上述关于物体受力情况的分析，由牛顿第二定律得移项，并记 ，则上式化为 （1）这就是在有阻尼的情况下，物体自由振动的微分方程。 如果物体在振动过程中，还受到铅直干扰力的作用，则有 （2）其中，这就是强迫振动的微分方程。1、定义：方程 (1) 称为二阶线性微分方程。 当时称为齐次的，当时称为非齐次的。 为求解方程（1）需讨论其解的性质二、线性微分方程解的结构先讨论二阶齐次线性微分方程 （2）定理1 若是（2）的解，则也是（2）的解，其中，为任意常数。 称定理1为解的叠加原理。但此解未必是通解，若，则，那么何时成为通解？只有当与线性无关时。 线性相关 设是定义在区间内的函数，若存在不全为零的数 使得 恒成立，则称线性相关。线性无关 不是线性相关。如： 线性相关， 线性无关。对两个函数，当它们的比值为常数时，此二函数线性相关。若它们的比值是函数时，线性无关。定理2 若是（2）的两个线性无关的特解，那么（，为任意常数）是方程（2）的通解。此性质称为二阶齐次线性微分方程（2）的通解结构。例如，方程是二阶齐次线性方程（这里），容易验证，与是所给方程的两个解，且，即它们是线性无关的。因此方程的通解为又如，方程也是二阶齐次线性方程(这里)，容易验证，是所给方程的两个解，且，即它们是线性无关的。因此方程的通解为 下面讨论二阶非齐次线性方程（5）。我们把方程（6）叫做与非齐次方程（5）对应的齐次方程。 在第四节中我们已经看到，一阶非齐次线性微分方程的通解由两部分构成：一部分是对应的齐次方程的通解；另一部分是非齐次方程本身的一个特解。实际上，不仅一阶非齐次线性微分方程的通解具有这样的结构，而且二阶及更高阶的非齐次线性微分方程的通解也具有同样的结构。下面讨论非齐次微分方程（1）的解的性质.称（2）为（1）所对应的齐次方程。定理3 设是（1）的特解，是（2）的通解，则是（1）的通解。证 把（8）式代入方程（5）的左端，得由于是方程（6）得解，是（5）的解，可知第一个括号内的表达式恒等于零，第二个恒等于，这样，使（5）的两端恒等，即（8）式是方程（5）的解。 由于对应的齐次方程（6）的通解中含有两个任意常数，所以中也含有两个任意常数，从而它就是二阶非齐次线性方程（5）的通解。如：， 为的通解，又是特解，则的通解。定理4 设（5）式中，若分别是， 的特解，则为原方程的特解。证 将代入方程（9）的左端，得因此是方程（9）的一个特解。 这一定理通常称为非齐次线性微分方程的解的叠加原理。小结： 1本节讲述了三种容易降阶的高阶微分方程及其求解方法2本节讲述了二阶线性方程解的结构，包括齐次线性方程的通解，非齐线性方程的特解及通解的形式。第八节 常系数齐次线性微分方程教学目的：掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形式。教学重点：特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形式。教学难点：根据特征根的三种不同情况，得到三种不同形式的通解。教学内容：若 （1）中为常数，称之为二阶常系数齐次微分方程，而(1)称之为二阶变系数齐次微分方程。记： （2）将代入（2）中有，称为（2）的特征方程。 （3）设为（3）的解。（1）当即时，为其通解。（2）当即时，（3）只有一个解。（3）当即时，有是解。利用欧拉公式可得实解，故通解为。求二阶常系数齐次线性微分方程 （2）的通解的步骤如下：1 写出微分方程（2）的特征方程 （3）2 求出特征方程（3）的两个根、。3 根据特征方程（3）的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（2）的通解：特征方程的两个跟微分方程的通解两个不相等的实根两个相等的实根一对共轭复根例1 求微分方程的通解。解 所给微分方程的特征方程为其根是两个不相等的实根，因此所求通解为例2 求方程满足初始条件，的特解。解 所给方程的特征方程为其根是两个相等的实根，因此所求微分方程的通解为 将条件代入通解，得，从而将上式对求导，得再把条件代入上式，得。于是所求特解为例3 求微分方程的通解。解 所给微分方程的特征方程为其根为一对共轭复根，因此所求通解为例4 在第八节例1中，设物体只受弹性恢复力的作用，且在初瞬时的位置为，初始速度为。求反映物体运动规律的函数。解 由于不计阻力，即假设，所以第八节中的方程（1）成为 （4）方程（4）叫做无阻尼自由振动的微分方程。 反映物体运动规律的函数是满足微分方程（4）及初始条件的特解。方程（4）的特征方程为，其根是一对共轭复根，所以方程（4）的通解为 。应用初始条件，定出。因此，所求的特解为。 （5）为了便于说明特解所反映的振动现象，我们令于是（5）式成为， （6）其中 。函数（6）的图形如图12-14所示（图中假定）。函数（6）所反映的运动就是简谐振动。这个振动的振幅为，初相为，周期为，角频率为，由于（见第八节例1），它与初始条件无关，而完全由振动系统（在本例中就是弹簧和物体所组成的系统）本身所确定。因此，又叫做系统的固有频率。固有频率是反映是振动系统特性的一个重要参数。上面结果可扩展到阶常系数微分方程。例 求 。通解为 。小结：本节讲述了二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及当特征根形式不同时，通解具有不同形式。