[高考]2007-全国高考理科数学试题山东卷.doc

2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项（1）若（i为虚数单位），则使的值可能是（ ）ABCD（2）已知集合，则（ ）ABCD正方形圆锥三棱台正四棱锥（3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）ABCD（4）设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有值为（ ）A，B，C，D，（5）函数的最小正周期和最大值分别为（ ）A，B，C，D，（6）给出下列三个等式：， ，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）ABCD（7）命题“对任意的，”的否定是（ ）A不存在，013141516171819秒频率/组距0.360.340.180.060.040.02B存在，C存在，D对任意的，（8）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为，则从频率分布直方图中可分析出和分别为（ ）A0.9，35B0.9，45C0.1，35D0.1，45（9）下列各小题中，是的充要条件的是（ ）开始输入结束输出否：或；：有两个不同的零点；是偶函数；ABCD（10）阅读右边的程序框图，若输入的是100，则输出的变量和的值依次是（ ）A2500，2500B2550，2550C2500，2550D2550，2500（11）在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是（ ）ABCD（12）位于坐标原点的一个质点按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，质点移动五次后位于点的概率是（ ）ABCD第卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分答案须填在题中横线上（13）设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为 （14）设是不等式组表示的平面区域，则中的点到直线距离的最大值是 （15）与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是 （16）函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为 三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（17）（本小题满分12分）设数列满足，（）求数列的通项；（）设，求数列的前项和（18）（本小题满分12分）设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程实根的个数（重根按一个计）（）求方程有实根的概率；（）求的分布列和数学期望；（）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程有实根的概率（19）（本小题满分12分）BCDAE如图，在直四棱柱中，已知，（）设是的中点，求证：平面；（）求二面角的余弦值（20）（本小题满分12分）北乙甲如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？（21）（本小题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为（）求椭圆的标准方程；（）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标（22）（本小题满分14分）设函数，其中（）当时，判断函数在定义域上的单调性；（）求函数的极值点；（）证明对任意的正整数，不等式都成立2007年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学参考答案第卷一、选择题（1）D（2）B（3）D（4）A（5）A（6）B（7）C（8）A（9）D（10）D（11）C（12）B第卷二、填空题（13）（14）（15）（16）三、解答题（17）（本小题满分12分）解：（）， 当时， -得，在中，令，得（）， -得即，（18）（本小题满分12分）解：（）由题意知：设基本事件空间为，记“方程没有实根”为事件，“方程有且仅有一个实根”为事件，“方程有两个相异实数”为事件，则，所以是的基本事件总数为36个，中的基本事件总数为17个，中的基本事件总数为个，中的基本事件总数为17个又因为是互斥事件，故所求概率（）由题意，的可能取值为，则，故的分布列为：所以的数学期望（）记“先后两次出现的点数有中5”为事件，“方程有实数”为事件，由上面分析得，（19）（本小题满分12分）解法一：BCDAEG（）连结，则四边形为正方形，且，四边形为平行四边形又平面，平面，平面（）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，BCDAEzyxFM，设为平面的一个法向量由，得 取，则又，设为平面的一个法向量，由，得取，则，设与的夹角为，二面角为，显然为锐角，即所求二面角的余弦为解法二：（）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，由题意知：BCDAExyzFM，又，平面，平面，平面（）取的中点，的中点，连结，由（）及题意得知：，为所求二面角的平面角所以二面角的余弦值为解法三：BCDAEFMH（）证明：如解法一图，连结，设，连结，由题意知是的中点，又是的中点，四边形是平行四边形，故是的中点，在中，又平面，平面，平面（）如图，在四边形中，设，故，由（）得，即又，平面，又平面，取的中点，连结，由题意知：，又，为二面角的平面角连结，在中，由题意知：，取的中点，连结，在中，二面角的余弦值为（20）（本小题满分12分）北甲乙解法一：如图，连结，由已知，又，是等边三角形，由已知，在中，由余弦定理，因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）答：乙船每小时航行海里解法二：如图，连结，由已知，北乙甲，在中，由余弦定理，由正弦定理，即，在中，由已知，由余弦定理，乙船的速度的大小为海里/小时答：乙船每小时航行海里（21）（本小题满分12分）解：（）由题意设椭圆的标准方程为，由已知得：，椭圆的标准方程为（）设，联立得，又，因为以为直径的圆过椭圆的右焦点，即，解得：，且均满足，当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；当时，的方程为，直线过定点所以，直线过定点，定点坐标为（22）（本小题满分14分）解：（）由题意知，的定义域为，设，其图象的对称轴为，当时，即在上恒成立，当时，当时，函数在定义域上单调递增（）由（）得，当时，函数无极值点时，有两个相同的解，时，时，时，函数在上无极值点当时，有两个不同解，时，即，时，随的变化情况如下表：极小值由此表可知：时，有惟一极小值点，当时，此时，随的变化情况如下表：极大值极小值由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；综上所述：时，有惟一最小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，无极值点（）当时，函数，令函数，则当时，所以函数在上单调递增，又时，恒有，即恒成立故当时，有对任意正整数取，则有所以结论成立2008年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学第卷（共60分）参考公式：球的表面积公式：S4R2，其中R是球的半径.如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率：Pn（k）Cpk(1-p)n-k（k0，1，2，n）.如果事件A、B互斥，那么P（A+B）P（A）+P（B）.如果事件A、B相互独立，那么P（AB）P（A）·P（B）.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）满足Ma1, a2, a3, a4,且Ma1 ,a2, a3= a1,a2的集合M的个数是（A）1(b)2 (C)3 (D)4（2）设z的共轭复数是，若z+=4, z·8，则等于（A）i（B）-i (C)±1 (D) ±i（3）函数ylncosx(-x的图象是 ( )（4）设函数f(x)x+1+x-a的图象关于直线x1对称，则a的值为(A) 3 (B)2 (C)1 (D)-1（5）已知cos（-）+sin=（A）-（B） (C)- (D) （6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是(A)9（B）10(C)11 (D) 12（7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，18的18名火炬手。若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（A）（B）29 115830 2631 0247（C）（D）(8)右图是根据山东统计年鉴2007中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图，图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为（A）304.6（B）303.6 (C)302.6 (D)301.6（9）（x-）12展开式中的常数项为（A）-1320（B）1320（C）-220 (D)220(10)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（A） (B)(C) (D)（11）已知圆的方程为x2+y2-6x-8y0.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（A）10（B）20（C）30（D）40（12）设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数yax(a0，a1)的图象过区域M的a的取值范围是（A）1,3 (B)2, (C)2,9 (D),9第卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（13）执行右边的程序框图，若p0.8，则输出的n.（14）设函数f(x)=ax2+c(a0)，若，0x01，则x0的值为.（15）已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m（），n（cosA, sinA）。若mn，且acosB+bcosA=csinC，则角B_.（16）若不等式3x-b4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围为（5，7）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.（17）（本小题满分12分）已知函数f(x)为偶函数，且函数yf(x)图象的两相邻对称轴间的距离为（）求f（）的值；（）将函数yf(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.（18）（本小题满分12分）甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，且各人回答正确与否相互之间没有影响。用表示甲队的总得分。（）求随机变量分布列和数学期望；（）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB). (19)(本小题满分12分)将数列an中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1a2 a3a4 a5 a6a7 a8 a9 a10记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，构成的数列为bn,b1=a1=1. Sn为数列bn的前n项和，且满足=1（n2）.()证明数列成等差数列，并求数列bn的通项公式；（）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当时，求上表中第k(k3)行所有项的和.(20)(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.（）证明：AEPD; （）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角EAFC的余弦值.（21）（本小题满分12分）已知函数其中nN*,a为常数.（）当n=2时，求函数f(x)的极值；（）当a=1时，证明：对任意的正整数n, 当x2时，有f(x)x-1.(22)(本小题满分14分)如图，设抛物线方程为x2=2py(p0),M为 直线y= -2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.（）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；（）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，求此时抛物线的方程；（）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由.2008年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学参考答案第卷（共60分）参考公式：球的表面积公式：S4R2，其中R是球的半径.如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率：Pn（k）Cpk(1-p)n-k（k0，1，2，n）.如果事件A、B互斥，那么P（A+B）P（A）+P（B）.如果事件A、B相互独立，那么P（AB）P（A）·P（B）.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）B（2）D（3）A （4）A（5）C（6）D（7）B(8)B（9）C(10)A（11）B（12）C第卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（13）4（14）.（15）.（16）（5，7）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.（17）解：（）f(x)2sin(-)因为f(x)为偶函数，所以对xR, f(-x)=f(x)恒成立，因此sin（-）sin(-).即-sincos(-)+cossin(-)=sincos(-)+cossin(-),整理得sincos(-)=0.因为0，且xR,所以cos（-）0.又因为0，故-.所以f(x)2sin(+)=2cos.由题意得故f(x)=2cos2x.因此（）将f(x)的图象向右平移个个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象. 当2k2 k+ (kZ), 即4kx4k+ (kZ)时，g(x)单调递减. 因此g(x)的单调递减区间为(kZ)（18）（本小题满分12分） ()解法一：由题意知，的可能取值为0，1，2，3,且所以的分布列为0123P的数学期望为E=解法二：根据题设可知因此的分布列为（）解法一：用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB=CD,且C、D互斥，又由互斥事件的概率公式得解法二：用Ak表示“甲队得k分”这一事件，用Bk表示“已队得k分”这一事件，k=0,1,2,3由于事件A3B0,A2B1为互斥事件，故事P(AB)=P(A3B0A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1).(19)(本小题满分12分) ()证明数列成等差数列，并求数列bn的通项公式；（）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当时，求上表中第k(k3)行所有项的和.()证明：由已知，当n2时 因此， （）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q,且q0. 因为所以表中第1行至第12行共含有数列an的前78项，故 a81在表中第13行第三列，因此又所以 q=2. 记表中第k(k3)行所有项的和为S，则（k3）.(20)(本小题满分12分)（）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.由（）知 AE平面PAD，则EHA为EH与平面PAD所成的角.在RtEAH中，AE=，所以 当AH最短时，EHA最大，即 当AHPD时，EHA最大.此时 tanEHA=因此 AH=.又AD=2，所以ADH=45°，所以 PA=2.解法一：因为 PA平面ABCD，PA平面PAC， 所以 平面PAC平面ABCD. 过E作EOAC于O，则EO平面PAC， 过O作OSAF于S，连接ES，则ESO为二面角E-AF-C的平面角， 在RtAOE中，EO=AE·sin30°=，AO=AE·cos30°=, 又F是PC的中点，在RtASO中，SO=AO·sin45°=, 又 在RtESO中，cosESO= 即所求二面角的余弦值为解法二：由（）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以E、F分别为BC、PC的中点，所以A（0，0，0），B（，-1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），所以 设平面AEF的一法向量为则因此取因为 BDAC，BDPA，PAAC=A，所以 BD平面AFC，故 为平面AFC的一法向量.又 =（-），所以 cosm,=因为 二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为（21）（）解：由已知得函数f(x)的定义域为x|x1， 当n=2时， 所以 （1）当a0时，由得1，1，此时 .当x（1，x1）时，单调递减；当x（x1+）时，单调递增.（2）当a0时，恒成立，所以f(x)无极值.综上所述，n=2时，当a0时，f(x)在处取得极小值，极小值为当a0时，f(x)无极值.（）证法一：因为a=1,所以 当n为偶数时，令则 .所以当x2,+时，g(x)单调递增，又 g(2)=0因此g(2)=0恒成立， 所以f(x)x-1成立.当n为奇数时， 要证x-1,由于0，所以只需证ln(x-1) x-1, 令 h(x)=x-1-ln(x-1), 则 0（x2）, 所以 当x2，+时，单调递增，又h(2)=10， 所以当x2时，恒有h(x) 0,即ln（x-1）x-1命题成立.综上所述，结论成立.证法二：当a=1时，当x2，时，对任意的正整数n，恒有1，故只需证明1+ln(x-1) x-1.令则当x2时，0，故h(x)在上单调递增，因此当x2时，h(x)h(2)=0，即1+ln(x-1) x-1成立.故当x2时，有x-1.即f（x）x-1. (22)（）证明：由题意设由得，则所以因此直线MA的方程为直线MB的方程为所以由、得因此，即所以A、M、B三点的横坐标成等差数列.（）解：由（）知，当x0=2时， 将其代入、并整理得：所以x1、x2是方程的两根，因此又所以由弦长公式得又，所以p=1或p=2，因此所求抛物线方程为或（）解：设D(x3,y3)，由题意得C(x1+ x2, y1+ y2), 则CD的中点坐标为设直线AB的方程为由点Q在直线AB上，并注意到点也在直线AB上，代入得若D（x3,y3）在抛物线上，则因此x3=0或x3=2x0. 即D(0，0)或（1）当x0=0时，则，此时，点M(0,-2p)适合题意.（2）当，对于D(0，0)，此时又ABCD，所以即矛盾.对于因为此时直线CD平行于y轴，又所以直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，所以时，不存在符合题意的M点.综上所述，仅存在一点M(0，-2p)适合题意.高考试题来源：http:/www.gaokao.com/zyk/gkst/2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第卷和第卷两部分,共4页，满分150分，考试时间120分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。2第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。3第卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试题卷上; 如需改动，先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不按以上要求作答的答案无效。4填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.。参考公式：柱体的体积公式V=Sh，其中S是柱体的底面积，h是锥体的高。锥体的体积公式V=，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);R如果事件A,B独立,那么P(AB)=P(A)P(B).事件A在一次试验中发生的概率是,那么次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率:. 第卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）集合,若,则的值为（A）0 （B）1 （C）2 （D）4（2）复数等于（A） B） C） D）（3）将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是2 2 2 正(主)视图 2 2 侧(左)视图 （A） （B）（C） （D）（4） 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（A） （B） （C） （D） （5） 已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“”的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件x y 1 1 D O x y O 1 1 C x y O 1 1 B 1 x y 1 O A （6） 函数的图像大致为A B C P 第7题图 (7）设P是ABC所在平面内的一点，则(A） (B）(C） (D）96 98 100 102 104 106 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 克 频率/组距 第8题图 (）某工厂对一批产品进行了抽样检测.有图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是96，106，样本数据分组为96，98），98，100), 100，102)，102，104),104，106,已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是(A）90 (B）75 (C） 60 (D）45(9） 设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为(A） (B） 5 (C） (D） (10） 定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2009）的值为(A）-1 (B） 0 (C）1 (D） 2（11）在区间-1，1上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为( ).（A） （B） （C） （D）（12） 设x，y满足约束条件 ，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的是最大值为12，x 2 2 y O -2 z=ax+by 3x-y-6=0 x-y+2=0 则的最小值为( ). （A） （B） （C） （D） 4第卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。（13）不等式的解集为 .（14）若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .开始 S=0,T=0,n=0 T>S S=S+5 n=n+2 T=T+n 输出T 结束 是 否 （15）执行右边的程序框图，输入的T= .（16）已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则三、解答题：本大题共6分，共74分。（17）(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+)+sinx.求函数f(x)的最大值和最小正周期.设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB=，f()=，且C为锐角，求sinA.（18）（本小题满分12分）E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。证明：直线EE/平面FCC；求二面角B-FC-C的余弦值。 (19)(本小题满分12分) 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q为0.25，在B处的命中率为q，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为 0 2 3 4 5 p 0.03 P1 P2 P3 P4 求q的值；求随机变量的数学期望E;试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。（20）（本小题满分12分）等比数列的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求r的值