储油罐的变位识别与罐容表标定数学建模精品.doc

储油罐的变位识别与罐容表标定 摘要本文通过对储油罐无位变和位变两种情况问题的研究，运用数学积分和相关物理知识建立了储油罐不同状态、不同液面高度时的模型，利用matlab软件作出相应的函数图像，并对所得的模型进行优化，取其优化模型。对问题（1），在储油罐无位变的情况下，首先建立时液面高度与液体体积关系的模型即公式（5），并运用matlab软件编程绘图，然后证明了此模型的正确性。在储油罐倾斜的情况下，以建立液面高度与液体体积的关系模型为目标，为了求解的方便，我们把液面高度分作三部分讨论，通过油位探针测得的液面高度与水平状态下的液面高度关系把无位变时的模型联系起来，分别推导出这三部分初步的关系模型起来，同样利用matlab软件对其进行拟合、分析，证实了模型的正确性并对某些易于改进的模型进行了改进。最后，利用已求得的模型给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。 对问题（2），对于两端为球冠体的储油罐液面高度与液体体积的关系，我们建立了无位变时的它们的关系模型，然后同样利用倾斜时由油位探针测得的液面高度与水平状态下的液面高度关系把无位变时的模型联系起来，从而求得罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间关系模型，并根据此模型利用已知的数据确定了变位参数，最后通过实测的数据来验证模型的可靠程度。关键词： 变位 matlab软件 罐容表 变位参数一、问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为a=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。二、模型的假设（1）储油罐位变后形状并没有畸变；（2）忽略温度等外界因素对储油罐容积的影响；（3）球冠体圆筒储油罐的倾斜角度不能过大。三、符号说明模型中用到的符号及函数定义如下：符号符号意义同一液面高度下椭圆柱体内油品体积两端平头椭圆柱体储油罐的长储油罐倾斜时油位探针测得的液面高度储油罐总体积四、问题分析对于储油罐无位变和位变两种情况下所要解决的问题，我们利用已有的数据和题目的要求进行分析，并根据所学的知识，初步推导出各情况下储油罐液面高度与液体体积关系的数学模型，根据已有的数据来检验模型正确与否，必要时对模型进行相应的优化改进，最终对得到的模型进行分析、评价，从而确定模型可靠性。 1、在问题（1）中，对于储油罐液面高度与液体体积的关系模型，我们建立起无位变时它们的关系模型，利用已有的数据检验此模型的正确性。储油罐位变时，考虑到求解方便的需要，因此我们把液面高度分作三部分讨论，通过由油位探针测得的液面高度与水平状态下的液面高度关系把无位变的模型联系起来，从而推导出这三部分初步的关系模型，并对其进行相应的改进、评价和验证，最终可利用已有的数据和求得的模型求出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。 2、在问题（2）中，首先我们按照题目要求建立起正确的球冠顶圆筒储油罐无位变时液面高度与液体体积的关系模型，然后求出倾斜时由油位探针测得的液面高度与水平状态下的液面高度关系式，并联立无位变时的模型，此时即可求出罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的关系模型，接着根据已有的数据确立变位参数的值，进而用数据进行验证，最终给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。五、模型的建立5.1问题（1）模型的建立与求解：若储油罐无变位，在图1中 图1油罐示意图假设为同一液面高度下椭圆柱体内油品体积，根据积分的的概念得：其中： 且由得到： 对公式（1）两边进行积分并将（2）、（3）式代入其中得到下式：又因为，代入（4）式中得：根据附件1中无变位进油的数据，我们运用matlab软件进行编程（程序见附件1）对原始数据数据进行拟合和绘出公式（5）的图像，并且得到的图像如下： 图2 原始数据图与拟合图上图可以看出公式（5）图像的拟合度很好，因此说明了公式（5）的正确性，即证实了公式（5）可用于求储油罐无位变时油的储存量。若储油罐倾斜，当两端为平头的椭圆柱体储油罐倾斜时的轴向切面切段图和中心轴向切面如下： 图3 轴向切面切段图 图4中心轴向切面液面的高度处于与之间的情况，图4中，则，整理得： 图4中为储油罐倾斜时的液面，为水平状态下的液面，矩形面积。在梯形中，因此梯形面积为，令，则可以得到：。因为，则,即： 将代入式（7）中并整理得： 联合式（6）和式（8）得： 因为与式（5）中的表示的都是水平状态下的液面高度，所以可以说相当于，从而将（9）式代入（5）式中得： 其中为附件1中倾斜变位进油时油位高度，利用的数据求出并代入公式（10）中，此时利用matlab软件编程（程序见附件2）对倾斜变位进油时油位高度与进油量的数据进行拟合和绘出（10）式的图像如下： 图5原始图与拟合图由上图可以知道公式（10）图像的拟合度总体上看还比较好，两图可以近似地看做为平行关系，因此我们可以通过对公式（10）的图像（图5实线）竖直向下平移来对此模型（公式（10）进行改进，则我们利用取特值的方法来求所需平移的距离，在此取时，在附件1无变位进油中得到储油量为，而在公式（10）中则有，因此可得，就此可知模型改进时需把公式（10）的图像竖直向下平移个单位值则公式（10）可修改为：同样利用的值和与的关系求出的值，接着根据的数据运用matlab软件编程（程序见附件3）对模型改进后油位高度与进油量的数据进行拟合和绘出（11）式的图像如下： 图6模型改进后的原始数据图和拟合图上图两图像基本重合，说明公式（11）的拟合度相当好，从而证实了改进后的模型的相对于原始数据来说更加精确，进而证明了公式（11）的正确性。现在将（9）式代入（11）式中可得： 由上面证明可知公式（12）可用于表示两端为平头的椭圆柱体储油罐倾斜角度且液面高度处于与之间时液面的高度与储油量的关系。液面降至如图3的以下的情况，利用矩形面积等于三角形面积的方法导出与的关系式，此时，矩形底长并不为了,矩形和三角形的底长均为，矩形面积，直角三角形面积，因为，所以有，由此求得： 同样因为与式（5）中的表示的都是水平状态下的液面高度，所以可以说相当于，从而将（12）式代入（5）式中且由得： 公式（14）即是两端为平头的椭圆柱体储油罐倾斜角度且液面降至如图3的以下时储油量与油位高度的关系式。液面升过图3中的情况,利用区段的计算方法，只将中的用代替，用代替，则，此时液面高采用公式（13），且底长，假设储油罐总体积为，则得到： 公式（15）即是两端为平头的椭圆柱体储油罐倾斜角度且液面升过图3中时储油量与油位高度的关系式。综上所述：（1）储油罐无变位时，则有（2）两端为平头的椭圆柱体储油罐倾斜角度时：<1>液面的高度处于图3的与之间即 的情况，则有： <2>液面降至如图3的以下即的情况，则有： <3>液面高度超过图3中即的情况，则有： 运用matlab软件分别用公式（14）求 （程序见附录4），公式（11）求（程序见附录5），公式（15）求（程序见附录6）时液面高度间隔为1cm的罐容表标定值，得出了以下数据：表1：液体体积与液面高度的数据：高度H1/m体积V/m3高度H1/m体积V/m3高度H1/m体积V/m3高度H1/m体积V/m300.00150.310.54620.621.80730.930.11770.010.00310.320.58190.631.85090.943.15640.020.00560.330.61820.641.89440.953.19470.030.00880.340.65490.651.9380.963.23270.040.01310.350.6920.661.98160.973.27020.050.01840.360.72960.672.02520.983.30730.060.02470.370.76760.682.06880.993.34390.070.03230.380.8060.692.112413.380.080.0410.390.84480.72.15591.013.41560.090.05110.40.8840.712.19941.023.45080.10.06240.410.92350.722.24281.033.48530.110.07520.420.96330.732.28621.043.51930.120.08940.431.00350.742.32941.053.55270.130.1050.441.04390.752.37261.063.58550.140.12220.451.08460.762.41571.073.61760.150.06480.461.12570.772.45861.083.6490.160.08850.471.16690.782.50141.093.67970.170.11320.481.20840.792.5441.13.70970.180.1390.491.25020.82.58651.113.73890.190.16570.51.29210.812.62881.123.76730.20.19330.511.33420.822.67091.133.79470.210.22180.521.37660.832.71281.143.82130.220.25110.531.41910.842.75451.153.84690.230.28120.541.46180.852.7961.163.87140.240.31210.551.50460.862.83721.173.89490.250.34360.561.54750.872.87821.183.98480.260.37590.571.59060.882.91881.193.99580.270.40880.581.63380.892.95921.24.00640.280.44230.591.6770.92.99930.290.47640.61.72040.913.03910.30.5110.611.76380.923.0786 考虑到油浮子只能测量液面高度为范围，因此上表就只给出液面高度在之间间隔的罐容表标定值即液体体积。5.2问题（2）模型的建立与求解 若主体为圆柱体，两端为球冠体的储油罐无位变时，此时要求储油罐液体体积与液面高度的函数关系，我们把储油罐中液体的体积与液面高度的关系分开在主体部分和两端球冠部分来求解。求储油罐主体中液体体积与液面高度函数关系的情况： 下图为液面高度为的储油罐的主体部分： 图7储油罐的主体部分 因为储油罐主体圆筒内装有高度液面的体积等于液面淹没圆筒横截面的弓形面积乘以圆筒部分的长度，所以液面淹没圆筒横截面高度为的微面积为：而所以这部分液体的微体积为：则对此式两边进行积分可得：由此可得：求储油罐两端球冠部分液体体积与液面高度函数关系的情况：下图中图8为球冠形封头圆筒形卧式储油罐液面高度为时的纵向剖面图，其中x及y轴均为对称轴，x轴还是储油罐的旋转轴。图9为任意x处横向剖面图。图8 储油罐纵向剖面图 图9 x处A-A横向剖面图从图9中可以看出任意x处A-A剖面中液体所占面积为一圆缺的面积，此处我们在xoy坐标系下用来表示处剖面中液体所占的面积，则整个容器液体的体积可表示为： 式（17）中圆缺的面积可微： 上式中为液面高度处圆缺对应的圆弧角： 由此可得：又因为这样式（17）可以化为： 下图则为球冠形封头的储油罐纵向剖面图： 图10储油罐纵向剖面图的一部分 上图中球冠在xoy坐标系中可用表示，在式中，为球冠拱高并有， 联合以上的几条式子和式（19），则经过对式（19）进行积分得球冠部分体积为：由上面可知两端为球冠的圆筒储油罐无位变时液面高度跟液体体积的关系式为：若主体为圆柱体，两端为球冠体的储油罐纵向倾斜和横向偏转时， 此时作出储油罐的中心轴向切面图（图11）和横向偏转倾斜后正截面图（图12）如下： 图11储油罐的中心轴向切面图 图12横向偏转倾斜后正截面图图11中，图12中半径，（即为油位探针测得液面的高度），根据现实情况可知储油罐的纵向倾斜角度不会很大，因此图中面积 可近似地看做等于面积，从而可用面积来填补面积，也即是说在此处可用问题（1）中的方法求由油位探针测得的液面高度与水平状态下液面高度的关系式，且经过此方法求得： 图L中，由，得到: 联立（22）、（23）式得： 式（24）中的相当于式（21）中的，因此联立式（21）、（24）则可以得到两端为球冠体的储油罐纵向倾斜和横向偏转时液面高度与液体体积之间的关系式为：上式中，。利用式（25）求得罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值如下表所示：表2：液面高度和液体体积的数据：高度/m体积/m3高度/m体积/m3高度/m体积/m302.8591.122.1012.252.1390.13.0011.224.3462.355.0340.24.0231.328.2412.458.2430.35.3111.431.0212.559.0010.46.2341.533.4532.660.1020.57.6521.636.7252.763.0420.68.5631.739.8122.865.8190.711.2361.842.0812.966.9810.813.2451.945.364368.0420.917.124248.901120.0012.151.712六、模型的评价与推广1模型的优缺点本模型引入数学积分的知识，采用较为成熟的数学理论建立模型，可信度比较高。使问题的求解简单，并成功的运用专业数学软件matlab，可信度较高，便于推广。问题（1）中可利用拟合得到的图像和数据来检验已建立的模型，但由于数据的限制某些模型到不得检验，因此得到的模型的准确度可能并不是很高。而问题（2）中，为了建立模型，理想化了某些影响因素，得到的模型可能与实际有一定的出入，具有一定的局限性，模型的深化也可以在此展开。2、模型的推广在化工生产中, 常使用带椭圆形封头贮槽储存物料, 常需要知道贮槽内某一液位时的物料量，此时本文模型通过测量油罐实际参数,使该函数具体化,给出了该函数的计算机程序,得出了油品体积与油品液面高度对照表,提高了油品体积的测量精度,把这种模型用于化工生产中，这样则减少了生产中实际测量中的工作量。七、参考文献1. 田铁军 倾斜卧式罐直圆筒部分的容积计算 现代计算测量 1999年第5期 2. 蒋心亚 宗光 各种形状封头的圆筒形卧式容器在不同液面高度时液面体积计算的统一表达式 化工设备与管道 2002年第5期3. 赵静，但琦，数学建模与数学实验（第2版），高等教育出版社，2003.6八、附录附件1：H=0.15902 0.17614 0.19259 0.20850 0.22393 0.238970.253660.268040.282160.296030.309690.323150.336440.349570.362560.375420.388160.400790.413320.425760.438120.450400.462620.474780.486890.498950.510970.522950.534900.546820.558720.570610.582480.594350.606220.618090.629960.641850.653750.665670.677630.678540.690530.690820.702850.714910.727030.739190.751420.763700.764160.776530.788990.801540.814190.826950.839830.852840.866000.879320.892820.892840.906530.920450.934610.949050.963800.978910.994431.010431.026991.044251.062371.081591.102331.125321.152361.19349;V=0.3120.3620.4120.4620.5120.5620.6120.6620.7120.7620.8120.8620.9120.9621.0121.0621.1121.1621.2121.2621.3121.3621.4121.4621.5121.5621.6121.6621.7121.7621.8121.8621.9121.9622.0122.0622.1122.1622.2122.2622.3122.315832.365832.367062.417062.467062.517062.567062.617062.666982.668832.718832.768832.818832.868832.918832.968833.018833.068833.118833.168833.168913.218913.268913.318913.368913.418913.468913.518913.568913.618913.668913.718913.768913.818913.868913.918913.96891;plot(H,V,'*',H,(0.89*2.45/0.6*(H-0.6).*(sqrt(H.*(1.2-H)+0.36*asin(H/0.6-1)+0.5*pi*0.36)title('原始图和拟合图')xlabel('it高度/m'),ylabel('it体积/m3')附件2：H2=0.352090.364250.379130.391340.4047 0.418540.430170.443360.455490.467640.479680.492760.5052 0.51736 0.52954 0.54036 0.55242 0.564240.576380.587080.599390.611020.621430.633830.645470.657250.668460.680190.6917 0.702350.714230.726190.736840.749070.7616 0.77360.78527 0.79709 0.8084 0.82086 0.833720.845140.85814 0.8707 0.88222 0.8954 0.908890.920940.93321 0.94714 0.95987 0.97504 0.97616;V=0.96286 1.01286 1.06286 1.11286 1.16286 1.212861.262861.312791.362791.412731.462731.512731.562731.612731.662731.712731.762731.812731.862731.912731.962732.012732.062732.112732.162732.212732.262732.312732.362732.412732.462732.512732.562732.612732.662732.712732.762732.812732.862732.912732.962733.012733.062733.112733.162733.212733.262733.312733.362733.412733.462733.512733.51474;plot(H2,V,'*',H2,(0.89*2.45/0.6*(H2-0.6).*(sqrt(H2.*(1.2-H2)+0.36*asin(H2/0.6-1)+0.5*pi*0.36)title('原始图和拟合图')xlabel('it高度/m'),ylabel('it体积/m3')附件3：H2=0.352090.364250.379130.391340.4047 0.418540.430170.443360.455490.467640.479680.492760.5052 0.517360.529540.540360.552420.564240.576380.587080.599390.611020.621430.633830.645470.657250.668460.680190.6917 0.702350.714230.726190.736840.749070.7616 0.77360.78527 0.79709 0.8084 0.82086 0.83372 0.845140.85814 0.8707 0.88222 0.8954 0.90889 0.920940.93321 0.94714 0.95987 0.97504 0.97616;V=0.962861.012861.062861.112861.162861.212861.262861.312791.362791.412731.462731.512731.562731.612731.662731.712731.762731.812731.862731.912731.962732.012732.062732.112732.162732.212732.262732.312732.362732.412732.462732.512732.562732.612732.662732.712732.762732.812732.862732.912732.962733.012733.062733.112733.162733.212733.262733.312733.362733.412733.462733.512733.51474;plot(H2,V,'.',H2,(0.89*2.45/0.6*(H2-0.6).*(sqrt(H2.*(1.2-H2)+0.36*asin(H2/0.6-1)+0.5*pi*0.36)-0.0772)title('模型改进后的原始图和拟合图')xlabel('it高度/m'),ylabel('it体积/m3')附件4：H1=0:0.01:0.14;A=0.89/0.6*(H1+0.4*tan(4.1/180*pi)*cot(4.1/180*pi);B=0.5*(H1+0.4*tan(4.1/180*pi)-0.6;C=sqrt(0.5*(H1+0.4*tan(4.1/180*pi).*(1.2-0.5*(H1+0.4*tan(4.1/180*pi);D=0.36*asin(H1+0.4*tan(4.1/180*pi)/1.2-1)+0.5*pi*0.36;V=A.*(B.*C+D)附件5：H1=0.15:0.01:1.17; H2=H1+(0.4-2.45/2)*tan(4.1/180*pi);V=0.89*2.45/0.6*(H2-0.6).*(sqrt(H2.*(1.2-H2)+0.36*asin(H2/0.6-1)+0.5*pi*0.36)-0.0772附件6：H1=1.18:0.01:1.20;H2=0.5*(1.2-H1+(2.45-0.4)*tan(4.1/180*pi);V=pi*0.89*0.6*2.45-0.89*2.45/0.6*(H2-0.6).*(sqrt(H2.*(1.2-H2)+0.36*asin(H2/0.6-1)+0.5*pi*0.36)16