合情推理在数列中的体现(宁波市鄞州高级中学叶琪飞).ppt
合情推理在数列中的体现,能力的内涵的优质发展案例报告,宁波市鄞州高级中学 叶琪飞,一、归纳推理在数列中的体现,二、类比推理在数列中的体现,三、合情推理在解数列综合题中的体现,“在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。” 法国数学家拉普拉斯（1749-1827),合 情 推 理,归纳推理：归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征， 推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由 个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)。,例1、观察下列等式:,由以上等式推测到一个一般的结论：,2009，浙江高考题第15题,一、归纳推理在数列中的体现,一、归纳推理在数列中的体现,由于加减号未注意，错成 24n1+22n1,由于加减号搞反了，错成 24n1(1)n·22n1,由于未注意到n得取值从1开始，将4n1错成 4n+3，或将2n1错成2n+1,学生典型错误有如下三种：,解：这是一种需归纳推理方法破解的问题， 结论由二项构成，第二项前有 ，二项指数 分别为 ，因此对于任意的,一、归纳推理在数列中的体现,(2010年考试说明中的参考试卷) 已知a00. 设方程a0xa10的1个根是x1, 则x1a1 / a0 设方程a0x2a1xa20的2个根是x1, x2, 则x1·x2 a2/a0 ； 设方程a0x3a1x2a2xa30的3个根是x1, x2, x3, 则x1·x2·x3 a3 / a0 ； 设方程a0x4a1x3a2x2a3xa40的4个根 是x1, x2, x3, x4, 则x1·x2·x3·x4 a4 / a0 ； 由以上结论, 推测出一般的结论: 设方程a0xna1xn-1a2xn-2an-1xan0的 n个根是x1, x2, , xn ,则x1·x2··xn_.,(1)n ·an/a0,相关试题1:,例2、（2009年高考湖南卷理科第15题） 将正ABC分割成n2(n2，nN) 个全等的小正三 角形(图2，图3分别给出了n=2,3的情形)，在每个三 角形的顶点各放置一个数，使位于ABC的三边及 平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时) 都分别依次等差数列，若顶点A ,B ,C处的三个数互 不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有 f(2)=2，f(3)=_ ，f(n)=_,一、归纳推理在数列中的体现,一、归纳推理在数列中的体现,一、归纳推理在数列中的体现,2 、解法3似乎违背了题意“若顶点A ,B ,C处的 三个数互不相同”这一条件，其实是命题人为了 干扰考生设计的陷阱，有此地无银三百两之嫌， 这里利用了一般到特殊的思想方法求解。,一、归纳推理在数列中的体现,解题感悟：,1 、以等差数列为背景，考察学生的阅读理解能 力，运算能力，推理能力，合情猜想能力，能力 立意高，设计新颖独特;这是一道很好的探索性、开放性、研究性的试题，解决其需要经历判断、尝试、归纳、猜想与推证得过程，特别是从前若干特例中推理发现一般规律的能力。,将正ABC分割成n2(n2，nN) 个全等的小正三 角形(图2，图3分别给出了n=2,3的情形)，在每个三 角形的顶点各放置一个正实数，使位于ABC的三 边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少 于3时)都分别依次成等比数列，若顶点A ,B ,C处的三 个数互不相同且积为1,记所有顶点上的数之积为f(n)， 则有f(n)=_,一、归纳推理在数列中的体现,A,1,相关试题2: 变式,一、归纳推理在数列中的体现,相关试题3：（2009湖北卷文） 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数， 例如：,他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数 能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称 图2中的1，4，9，16这样的数称为正方形数。下 列数中既是三角形数又是正方形数的是 （ ） A.289 B.1024 C.1225 D.1378,C,相关试题4： 已知数列 满足 ， 求 的值。,相关试题5： 已知数列 满足 ， 求连乘积 的值。,一、归纳推理在数列中的体现,例4、宁波市2009学年度高三数学第一学期期末试卷 (理科)第17题：,整数数列 满足:,则数列 的通项,分析：本题考生要经历观察-探究-归纳- 猜想-验证-证明的思维过程。,一、归纳推理在数列中的体现,一、归纳推理在数列中的体现,二、类比推理在数列中的体现,类比推理：这种由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些特征，推出另一类对象也具有这些特 征的推理称为类比推理（简称类比）。,开普勒：“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最 可信赖的老师 ”,二、类比推理在数列中的体现,例5、（2009浙江文科第16题） 设等差数列 的前n项和为Sn，则S4 , S8S4 , S12S8 , S16S12 成等差数列类比以上结论有： 设等比数列 的前n项积为Tn，则T4， ， ， 成等比数列,【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合 的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列 的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理 的方法和能力,二、类比推理在数列中的体现,二、类比推理在数列中的体现,二、类比推理在数列中的体现,记等差数列 的前 项的和 为利用倒序相加法 , 可将 表示成首项为 末项 与项数 的一个关系 式，记公式 类似地， 记等比数列 的前 项积为 且 试类比等差数列求和的方法，可将 表示成首项 末项 与项数 的一个关系式,记公式 _,相关试题1：,解：,二、类比推理在数列中的体现,等差数列有如下的性质：若数列 是等差数列，则 当 时，数列 也是等差数列； 类比上述性质，相应的，若数列 是正项等比数 列，当 时，数列 也是等比数列。,相关试题2：,二、类比推理在数列中的体现,相关试题3 ：,已知命题：“若数列 为等差数列，且 ” ，现已知数列 为等比数列， 且 ，若类比上 述结论，则可得,背景知识：基本数列的通项公式。,三、合情推理在解数列综合题中的体现,等差数列和等比数列是数列中最基本也是最简 单的两大数列，数列综合题难度最高莫非与不等 式结合的题目，所涉及的非基本数列都要转换到 基本数列进行求解，这就需要合情推理，观察其 结构，结合解题经验，对问题的走向做出预测， 当然这其中需要直觉、估算、转换视角等思维方 式的参与。,例7、（2002年高考数学全国卷理科第22题） 设数列 满足 ()当 时，求 并由此猜想出 的一个通项公式 ； ()当 时，证明对所有的 有 ,三、合情推理在解数列综合题中的体现,分析：第()问，容易猜想 对第()问，用数学归纳法加以证明。 难在第() 问。注意到 ，可把右边的 看成以 为首项， 为公比的等比数列的和。 能想到用数列 来控制数列 ，因此只需证,三、合情推理在解数列综合题中的体现,三、合情推理在解数列综合题中的体现,三、合情推理在解数列综合题中的体现,三、合情推理在解数列综合题中的体现,三、合情推理在解数列综合题中的体现,三、合情推理在解数列综合题中的体现,相关试题1,(2008年全国卷一第22题)设函数 , 数列 满足 （）证明：函数 在区间 是增函数； （）证明： ； （）设 , 整数 证明： ,三、合情推理在解数列综合题中的体现,三、合情推理在解数列综合题中的体现,从特殊观察寻找并发现一般规律并给予证明是 新课程要求培养的一种数学思考方法，合情推理， 也是科学研究的很重要的方法，具有猜测和发现 结论、探索和提供思路的作用，有利于创新能力 的培养，随着新课程的实施这一思想方法的考查 会越来越受到重视。,“合情推理是冒险的，有争议的和暂时的” 美籍匈牙利数学家波利亚（1887-1985），,谢谢大家！,
