2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征.ppt
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征,1、众数 在一组数据中，出现次数最多 的数据叫做这一组数据的众数.,2、中位数 将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.,1. 众数、中位数、平均数,练习: 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示：,分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数,解：在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75 上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70；,这组数据的平均数是,答：17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次是1.75（米）、1.70（米）、1.69（米）.,二 、 众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系,1、众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标。 例如，在上一节调查的100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t.如图所示：,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t),2、在样本中，有50的个体小于或等于中位数，也有50的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值。下图中虚线代表居民月均用水量的中位数的估计值，此数据值为2.03t.,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t),说明: 2.03这个中位数的估计值,与样本的中位数值2.0不一样,这是因为样本数据的频率分布直方图,只是直观地表明分布的形状,但是从直方图本身得不出原始的数据内容,所以由频率分布直方图得到的中位数估计值往往与样本的实际中位数值不一致.,3、平均数是频率分布直方图的“重心”. 是直方图的平衡点. n 个样本数据的平均数由公式:,X=,给出.下图显示了居民月均用水量的平均数: x=1.973,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月平均用水量(t),如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数呢？,思考,众数：最高矩形的中点,2.25,中位数：左右两边直方图的面积相等.,2.02,平均数：频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.,2.02,三种数字特征的优缺点,四 众数、中位数、平均数的简单应用,例 某工厂人员及工资构成如下：,（1）指出这个问题中周工资的众数、中位数、平均数,（2）这个问题中，工资的平均数能客观地反映该厂的工资水平吗？为什么？,分析：众数为200，中位数为220，平均数为300。 因平均数为300，由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平。,甲在一次射击比赛中的得分如下: ( 单位:环).7, 8, 6, 8, 6, 5, 9, 10, 7, 5,则他命中的平均数是_,中位数是 众数是_,2. 某次数学试卷得分抽样中得到:90分的有3个人,80分的有10人,70分的有5人,60分的有2人,则这次抽样的平均分为_.,7.1,77分,练习,7,5，6，7，8,平均数向我们提供了样本数据的重要信息,但是平均有时也会使我们作出对总体的片面判断因为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极端情况显然是不能忽的因此，只有平均数还难以概括样本数据的实际状态(你能举出例子说明吗？),2.标准差,如：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：,甲： ,乙： ,如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价?,两人射击 的平均成绩是一样的.那么两个人的 水平就没有什么差异吗? （研究频率分布条形图）,如果看两人本次射击的平均成绩,由于,4,5,6,7,8,9,10,环数,频率,0.1,0.2,0.3,(甲),4,5,6,7,8,9,10,0.1,0.2,0.3,0.4,环数,频率,(乙),甲的环数极差=10-4=6 乙的环数极差=9-5=4. 它在一定程度上表明了样本数据的分散程度,与平均数一起,可以给我们许多关于样本数据的信息.显然,极差对极端值非常敏感,注意到这一点,我们可以得到一种“去掉一个最高分,去掉一个最低分”的统计策略.,考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离.它用来描述样本数据的离散程度.在实际应用中，标准差常被理解为稳定性,所谓“平均距离”，其含义可作如下理解：,由于上式含有绝对值，运算不 太方便，因此，通常改用如下 公式来计算标准差,样本中的个体与平均数之间的距离关系可用下图表示:,考虑一个容量为2的样本:,S与变量的离散程度的关系,显然,标准差越大,则a越大,数据的离散程度越大;标准差越小,数据的离散程度越小.,用计算器可算出甲,乙两人的的成绩的标准差,由 可以知道,甲的成绩离散程度大,乙的成绩离散程度小.由此可以估计,乙比甲的射击成绩稳定.,思考：标准差的取值范围是什么？S=0的样本数据 有何特点？,例题1:画出下列四组样本数据的频率分布条形图,说明它们的异同点.,解:四组样本数据的直方图是:,(4),标准差的另外一种应用：,平均数都是5.0,但是它们有不同的标准差, 说明数据的分散程度是不一样的.,例如,在关于居民月均用水量的例子中,平均数 标准差s=0.868 ,所以,例2 甲乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件.为了对两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出20件,量得其内径尺寸如下(单位:mm),甲 25.46, 25.32, 25.45, 25.39, 25.36 25.34, 25.42, 25.45, 25.38, 25.42 25.39, 25.43, 25.39, 25.40, 25.44 25.40, 25.42, 25.35, 25.41, 25.39,乙 25.40, 25.43, 25.44, 25.48, 25.48 25.47, 25.49, 25.49, 25.36, 25.34 25.33, 25.43, 25.43, 25.32, 25.47 25.31, 25.32, 25.32, 25.32, 25.48,从生产的零件内径的尺寸看,谁生产的质量较高?,解:用计算器计算可得:,从样本平均数看,甲生产的零件内径比乙生产的更接近内径标准(25.40mm),但是差异很小;从样本标准差看,由于,生产过程中的质量控制图,正态分布：一些总体的分布密度曲线是由它的平均 数 与标准差 完全确定的，我们把这样的分布 记作 ，称为平均数为 ，方差为 的 正态分布.,课本P79 阅读与思考,生产过程中的质量控制图,1.用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类： a.用样本平均数估计总体平均数。 b.用样本标准差估计总体标准差。样本容量越大，估计就越精确。 2.平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平。 3.标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度。,小结,
