第05章刚体的定轴转动x.ppt

1,复习：,一、运用功能原理解题步骤,（1）确定研究对象“系统”（保守力的施力体划在系统内） （2）分析系统所受的力及力所做的功； （3）选择惯性系建坐标系； （4）选择零势能点； （5）计算始、末态的机械能及各力所做的功; （6）应用功能原理列方程解方程 。,二、碰撞,（1）完全非弹性碰撞：动量守恒、机械能有损失 （2）弹性碰撞：动量守恒、机械能守恒,2,复习题1: 判断 1）不受外力作用的系统，其动量和机械能必然同时守恒。 2）所受合外力为零，内力都是保守力的系统，其机械能必然守恒。 3）不受外力，而内力都是保守力的系统，其动量和机械能必然守恒。 4）外力对一个系统的所做的功为零，则该系统的机械能和动量必然同时守恒。,3,复习题2: 两木块A,B的质量分别为m1, m2, 用一个倔强系数为k的弹簧连接起来，把弹簧压缩了x,并用细线扎住，放在光滑水平面上，A靠紧墙壁，然后烧断扎线，判断： 1）弹簧由初态恢复为原长的过程中，A, B, 弹簧系统动量守恒； 2）上述过程中机械能守恒； 3）当A离开墙壁后，整个系统动量守恒，机械能不守恒； 4）A离开墙壁后，整个系统总机械能为0.5kx2, 总动量为0。,4,复习题3: 质量为m的平板A，用竖立的弹簧支持而处在水平位置，从平台上抛下一质量为m的小球B，球初速度v沿水平方向。球由于重力作用下落与水平板发生弹性碰撞，假定平板是光滑的。则球与平板碰撞后的运动方向应为哪个？,v,5,5.1 刚体转动的描述 5.2 转动定律 5.3 转动惯量的计算 5.4 转动定律的应用 5.5 角动量守恒 5.6 转动中的功和能 5.7 进动*,第5章 刚体的定轴转动,6,本章将介绍一种特殊的质点系刚体所遵循的力学规律。着重讨论刚体的定轴转动。,§5.1 刚体转动的描述,一、 概念,什么是刚体? 实际的固体在受力作用时总是要发生或大或小的形状和体积的改变。如果在讨论一个固体的运动时,这种形状或体积的改变可以忽略，我们就把这个固体当作刚体来处理。,在受外力作用时不改变形状和体积的物体称刚体。,(2)刚体可以看作是由许多质点组成,每一个质点叫做刚体的一个质元,刚体这个质点系的特点是,在外力作用下各质元之间的相对位置保持不变。,1. 刚体定义:,注意：,(1)刚体是固体物件的理想化模型。,质元,第5章 刚体的定轴转动,7,2. 刚体的运动形式:,如果刚体在运动中,连结体内两点的直线在空间的指向总保持平行,这样的运动就叫平动。,转动是刚体的基本运动形式之一。刚体转动时各质元均做圆周运动,而且各圆 的圆心都在一条直线上,这条直线叫转轴。如果转轴方向不随时间变化（固定不动）, 则称定轴转动。,转动:,平动：,注意： 刚体平动时,刚体内各质元的运动轨迹都一样,而且在同一时刻的速度和加速度都相等。因此,在描述刚体的平动时,可以用一点的运动来代表，通常就用刚体的质心的运动来代表整个刚体的平动。,8,三、刚体,在受外力作用时不改变形状和体积的物体称刚体。 或者说：各质元之间的相对位置保持不变。 平动 1）刚体上各点轨迹的形状相同。 2）同一瞬时，刚体上各点的速度和加速度完全相同。 转动 1）各质元均做圆周运动 2）各圆 的圆心都在一条固定 不动的直线上,这条直线叫转轴。,9,定轴转动 1）各质元均做圆周运动 2）各圆 的圆心都在一条固定不动的直线上,这条直线叫转轴。,10,刚体的一般运动都可以认为是平动和绕某一转轴转动的结合。如图,车轮的转动。,11,转动平面,二、刚体定轴转动的描述,刚体绕某一固定轴转动时,其上各质元都在垂直于转轴的平面内作圆周运动,且所有质元的矢径在相同的时间内转过的角度相同,根据这一特点,常取垂直于转轴 的平面为参考系,这个平面称转 动平面。虽然刚体上各质元的线速度、 加速度一般是不同的。但由于各质元的相对位置保持不变,所以描述各质元运动的角量,如角位移、 角速度 和角加速度都是一样的。因此描述刚体的运动时,用角量最为方便。,O,12,2.角位移,1.角位置,4. 角加速度矢量,方向与转动方向成右手螺旋法则 。,P点线速度,P点线加速度,切向加速度,法向加速度,当减速转动时,角加速度与角速度方向相反;,注意:,当加速转动时,角加速度与角速度方向相同；,13,.当角加速度矢量是常矢量时：,匀加速度直线运动公式：,14,例 1：一条缆绳绕过一定滑轮拉动一升降机，滑轮半径r=0.5m,如果升降机从静止开始以加速度a=0.4m/s2匀加速上升，求： 1）滑轮的角速度； 2）开始上升后，t=5s末滑轮的角速度； 3）在5s内滑轮转过的圈数； 4）开始上升后，t=1s末滑轮边缘上一点的加速度（假设缆绳和滑轮之间不打滑）,15,解： 1）升降机加速度和轮缘处切向加速度相等，因此滑轮角加速度为：,2）利用匀加速转动公式：,3）滑轮转过的角度：,16,4）1s末滑轮边缘上一点的加速度：,17,将刚体看成许多质量分别为m1 、m2 mimn的质点; 各质点距转轴的距离分别为 r1、r2 ri rn,整个刚体的动能,一、 转动动能,称刚体的转动动能,§5.6 转动中的功和能,则第 i 个质元的动能,18,实验发现,刚体做定轴转动时,其转动状态的改变与外力的大小、方向及作用点均有关。(如开门),O转轴与转动平面内的交点,二、力矩,p,19,当我们用力 F 推门时，该力可以分解为垂直于门轴方向的力和平行于门轴方向的力，平行于门轴方向的力对门的转动是否起作用？,问题:,M= F r sin,力矩的方向:,沿Z轴方向力矩的大小 :,20,三、功-力矩作用于刚体的空间累积效应,当力持续作用于刚体使其角位置由1到2时,则功为,21,当力矩为常量时,功为,对于同一转轴,刚体中所有内力功的总和为零。,四 、功率:,2.当力矩与与角速度同向时,功和功率皆为正值;反之为负。,单位时间内外力所做的功。,注意:,1.当额定功率一定时,力矩与转速成反比;,22,五、 刚体定轴转动的动能定理,末态的角位置和角速度分别为2和2,则在该过程中力矩的功为：,意义：合外力矩对刚体做定轴转动所作的功,等于刚体转动动能的增量。,设刚体上某质元初始时的角位置和角速度分别为1和1,23,质量为m的不太大的整个刚体的重力势能,一个不太大的刚体的重力势能和它的全部质量集中在质心时所具有的势能一样。,结论：,五 、刚体系统的功能原理,A外力 +A非保守内力=（Ek2 +Ep2 ）-（Ek1 +Ep1）,当含刚体的系统在运动过程中只有保守力内力做功时,在该过程中系统机械能守恒。,六 、势能,24,例 2： 如图一质量为M 长为l的匀质细杆(J=(1/3)M l 2)，中间和右端各有一质量皆为m的刚性小球，该系统可绕其左端且与杆垂直的水平轴转动，若将该杆置于水平位置后由静止释放，求杆转到与水平方向成角时,杆的角速度是多少?,1. 研究对象:杆+球+地球=系统,重力mg保守内力; 弹力其功为零,2. 分析系统受力及力的功:,3. 取重力势能零点:水平位置,4. 运动过程中系统满足机械能守恒的条件:,解:,25,26,复习：,1、刚体定轴转动的描述,27,28,29,30,1. 定轴转动惯量定义:,§5.3 转动惯量的计算,分立刚体:,转动惯量等于刚体中每个质点的质量与这一质点到转轴的距离的平方的乘积的总和。,31,连续刚体:,质量体密度,质量面密度,质量线密度,dm,32,2. 转动惯量的计算,例 1 刚性三原子分子其质量分布如图所示，求绕转轴的转动惯量,例 2 质量为m ，长为 l 的均匀细棒，分别求其绕垂直中心转轴和绕一端转轴的转动惯量。,33,解:,设棒单位长质量:,则按如图所示建立一维坐标系,绕中心轴的转动惯量为,则按如图所示建立一维坐标系绕一端的转动惯量为,=m/l,dm=dx,34,例 3 求质量为 m ，半径为 R 的均匀薄圆环的转动惯量，轴与圆环平面垂直并通过其圆心。,解:,35,例 4 求质量为 m ，半径为 R 的均匀薄圆盘的转动惯量，轴与圆盘平面垂直并通过其圆心。,解:设圆盘单位面积上的质量为,在圆盘上取半径为r，宽为 dr 的圆环，该圆环质量：,圆盘转动惯量为,36,例 5 求质量为 M ，半径为 R，厚为 l 的均匀圆柱体的转动惯量，轴与圆柱平面垂直并通过其轴心。,解:设圆柱体单位长度上的质量为,在圆柱体上沿轴向取长为 dl 的薄圆盘，该圆盘质量：,圆盘转动惯量为,圆柱体转动惯量为,37,3. 转动惯量的物理意义及性质:,转动惯量与质量类似,它是刚体转动惯性大小的量度;,转动惯量不仅与刚体质量有关,而且与刚体转轴的位置及刚体的质量分布有关;,转动惯量具有迭加性;,如图,如果三个刚体绕同一转轴的转动惯量分别为J1,J2,J3,则该刚体系统绕该轴的转动惯量为J=J1+J2+J3,转动惯量具有相对性;,同一刚体,转轴不同,质量对转轴的分布不同,因而转动惯量不同。,刚体对任一转轴的转动惯量等于刚体对通过质心并与该轴平行的转动惯量加上刚体质量与两轴间距的二次方的乘积。,平行轴定理：,J=Jc+md2,证明见书166页,38,内容：刚体的角加速度与力矩之间的关系, 刚体定轴转动定律,意义：刚体对于某一转轴所受的合外力矩等于刚体对该转轴的转动惯量与在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。,§5.4 刚体定轴转动定律,39,1. 一个绕固定轴转动的刚体,当它所受的合外力矩(对该转轴而言)为零时,它将保持原有的角速度不变。该定理反映了任何转动物体都有转动惯性。,2. 一个绕固定轴转动的刚体,当它所受的合外力矩(对该转轴而言)不为零时,它将获得角加速度,角加速度的方向与合外力矩的方向相同;角加速度的量值与它所受的合外力矩成正比,并与它的转动惯量成反比。,说明:,3. 应用定轴转动定律公式解题一定要注意转动轴的位置和指向，也要注意力矩、角速度和角加速度的正负。,40,例6 一个飞轮的质量m=60kg,半径R=0.25m, 正在以0=1000r/min的转速转动。现在要制动飞轮，要求在t=5.0s内均匀减速而最后停下来。求闸瓦对轮子的压力为多大？假定闸瓦与飞轮之间的滑动摩擦系数为K=0.8,而飞轮的质量可以看作全部均匀分布在轮的外周上。,解: 首先确定转轴，定义正方向,飞轮这一负加速度是外力矩作用的结果。,以fr表示摩擦力的数值，则它对转轴的力矩为,得到：,又：,所以：,42,例7 如图一质量为M 长为l的匀质细杆，中间和右端各有一质量皆为m的刚性小球，该系统可绕其左端且与杆垂直的水平轴转动，若将该杆置于水平位置后由静止释放，求杆转到与水平方向成角时,杆的角加速度是多少?,解:设转轴垂直向里为正,系统对该转轴的转动惯量为,该系统所受的合力矩为,由转动定律:M=J可得,方向:指里。,43,例8 一个质量为M，半径为R的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳。绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m下落时的加速度。,解: 首先确定转轴，定义转动正方向，定义平动正方向。 分析平动物体受力情况； 分析转动物体受力和力矩情况。,对物体m，列方程,对定滑轮M，列方程,列辅助方程,得到：,44,例9 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴OO转动,设大小圆柱体的半径分别为R和r,质量分别为M和m,绕在两柱体上的细绳分别与物体m1和m2相连,m1和m2则挂在物体的两侧,如下图所示。,求: 柱体转动的角加速度; 两细绳的张力T1和T2。,设R=0.2m, r =0.1m,m=4kg,M=10kg,m1=m2=2kg,45,4. 由牛顿第二定律和转动第二定律可列方程如下,3. 隔离物体分析力,2. 定性分析m1 向上m2 向下;定转轴正向沿oo从左侧视图看转轴正向指里;设m2 向下为坐标正向;,解:,1.确定研究对象：m、M、m1、m2,46,4. 解方程可得结果如下:,47,1)A= B; 2) A B; 3) A B； 4) 开始时A= B; 以后A B;,48,例10：如图所示,有两个质量分别为 M1 、M2 ，半径分别为 R1 、R2 的匀质定滑轮，轮缘上绕一细绳, 其两端挂着质量分别为m1 和m2 的物体。若m1 m2 , 忽略轴承处的摩擦, 且绳子与滑轮间无相对滑轮, 求滑轮的角加速度及绳子的张力T1 、2 、T 3 。,49,50,51,例11,两个物体质量分别为m1和m2 定滑轮的质量 为 m ，半径为r ，可视为均匀圆盘。已知桌面间的滑动摩擦系数和为k，求m1 下落的加速度和两段绳子中的张力各是多少？设绳子和滑轮间无相对滑动，滑轮轴受的摩擦力忽略不计。,52,例：,定义向里为正,53,解方程可得结果如下:,54,一、冲量矩-力矩作用于刚体的时间累积效应,定义:,二、角动量定理:,1. 角动量定义:,质点对Z轴的角动量:,§5.5 对定轴的角动量守恒,55,56,57,3. 角动量定理:,转动物体所受合外力矩的冲量矩,等于在这段时间内转动物体角动量的增量。角动量也称动量矩。,角动量定理的意义:,58,三、角动量守恒定律:,由角动量定理可知：,1.角动量守恒有两种情况:,注意:,2.角动量守恒定律与动量守恒定律、 能量守恒定律一样都是自然界的规律。,一是转动惯量与角速度都不变;,二是两者都变但二者的乘积不变。,59,舞蹈中的角动量守恒现象,60,滑冰中的角动量守恒现象,61,跳水中的角动量守恒现象,起跳,入水,62,例12:如图长为 L 的均匀直棒其质量为M,上端用光滑水平轴吊起而静止下垂。今有一子弹质量为m ,以水平速度vo 射入杆的下端而不复出。,求：子弹刚和杆开始一起运动时的角速度多大?,63,解:,1. 定转轴正向：指外,2. 隔离物体分析力及力矩；,子弹冲入杆的过程中，以子弹和杆为系统，则系统的角动量守恒。,设子弹刚冲入杆中，子弹和杆共同的角速度为，则由角动量守恒定律可得,64,例13:如图长为 l ，质量为 m的均匀直棒静止在一光滑的水平面上。它的中点有一竖直光滑固定轴，一个质量为m 的小球以水平速度 vo 射垂直于棒冲击其一端发生弹性碰撞。求碰撞后球的速度v和棒的角速度。,65,解:,定转轴正向指上；,以子弹和杆为系统，则系统的角动量守恒动能守恒。,66,例 14:如图长为l 的均匀细棒,一端悬于o点,另一端自由下垂,紧靠o 点有一摆线长为l 的单摆,摆球质量为m ,现将单摆拉到水平位置后,由静止释放,设摆球在其平衡位置与摆做弹性碰撞后摆 球恰好静止,试求: 细棒的质量M; 细棒碰撞后摆动的最大角度,67,(一)单摆下落过程(AB):,1.研究对象:摆 球+地球=系统,重力mg保守力力; 绳的张力T其功为零,2.分析系统受力及力的功:,3.取零点势能:B点,4. AB过程系统满足机械能守恒条件:,68,(二)单摆与棒碰撞过程(在B点):,1. 研究对象:摆 球+棒+地球=系统,2. 设转轴正向垂直向里;,3. 因为系统做弹性碰撞,故碰撞过程机械能和角动量皆守恒,设棒碰撞后的瞬时角速度为,69,(三)碰撞后细棒上摆过程(BC):,1. 研究对象:棒+地球=系统,重力Mg保守内力;轴对棒的压力N其功为零,2. 分析系统受力及力的功:,3. 取零点势能:B点处细棒中点;,4. BC过程系统满足机械能守恒条件:,解方程 可得到 M=3m; cos=1/3; =70°32,70,例15:一个质量为M,半径为R的水平均匀圆盘可绕通过中心的光滑竖直轴转动。在盘的边缘上站着一个质量为m的人，二者最初相对地面静止。当人在盘上沿着盘边走一周时，盘相对地面走过的角度为多大？,1. 研究对象:人+盘=系统,2. 定转轴正向：指外,3. 分析受力，对竖直轴外力矩为零。 角动量守恒。,71,