第1节定积分的概念与性质.ppt

1,定积分,第六章,陶 宝,数学与统计学院,2,微积分学习注意事项,1、课前预习、认真听讲、课后复习、多做作业.,2、微积分作业规范：,字迹工整，卷面整洁，题目之间空行.,3、平时成绩考核:,旷课一次扣10分,三次旷课取消考试资格!,作业一次不交扣10分,三次不交取消考试资格!,3,一、曲边梯形的面积,第一节 定积分的概念与性质,由连续曲线 y = f (x) ( f (x) 0), 直线 x=a, x=b (ab)及x轴所围成的平面图形的面积,4,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,5,曲边梯形如图所示，,分割,近似,6,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,求和,取极限,（1）分割,（3）求和,（4）极限,（2）近似,7,2. 变速直线运动的路程,设某物体作变速直线运动,且,求在一段时间内物体所经过的路程s.,解决步骤:,1) 分割.,将它分成,在每个小段上物体经,2) 近似.,得,已知速度,n 个小段,过的路程为,8,3) 近似和.,4) 取极限 .,上述两个问题的共性:,解决问题的方法步骤相同 :,“分割 , 近似 , 求和 , 极限 ”,所求量极限结构式相同:,特殊乘积和式的极限,9,二、定积分的定义,定义,10,记为,积分上限,积分下限,11,说明：,1.,2.,可积的充分条件：,12,思考题,将和式极限：,表示成定积分.,13,思考题解答,原式,14,三、定积分的几何意义,曲边梯形的面积,曲边梯形面积的相反数,15,若要求阴影部分的面积, 则为,16,例1 利用定义计算定积分,解,17,推广：,18,四、定积分的基本性质,规定:,19,在下面的性质中,假定定积分都存在,且不考虑积分上下限的大小,性质1,（此性质可以推广到有限多个函数和的情况）,性质2,(k为常数),性质1,2合称线性性.,20,说明：不论a, b, c的相对位置如何, 上式总成立.,例如,这个性质称为定积分的区间可加性.,则,性质3,证略.,由于,21,性质4,证,性质5,22,推论1,证,23,推论1,推论2,证,即,24,解,例2,于是,25,性质5（估值定理）,26,解,27,28,例3 估计定积分值的范围:,解 (1)设 ,为估计定积分的值,先求出f(x)在区间1,2上的最大值和最小值.,令 ,得唯一驻点x=0,且为极大值点,也是最大值点,最大值 M=f(0)=e0=1,29,由定积分性质3可知,又 f(1)=e1, f(2)=e4,所以最小值 m=f(2)=e4.,30,例4. 试证:,证: 设,即,故,即,31,性质6（积分中值定理）,证,由闭区间上连续函数的介值定理知，,即,估值定理,32,积分中值公式的几何解释：,上的平均值.,33,解,由积分中值定理知有,使,34,证,例4*,由积分中值定理，,35,证,例4*,