Riemann积分与Lebesgue积分的关联性研究毕业论文.doc

本科毕业论文（设计）模板本科毕业论文(设计)论文题目：Riemann积分与Lebesgue积分的关联性研究 毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得 及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。作 者 签 名： 日 期： 指导教师签名： 日期： 使用授权说明本人完全了解 大学关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。作者签名： 日 期： 学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签名： 日期： 年 月 日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权 大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。涉密论文按学校规定处理。作者签名：日期： 年 月 日导师签名： 日期： 年 月 日注 意 事 项1.设计（论文）的内容包括：1）封面（按教务处制定的标准封面格式制作）2）原创性声明3）中文摘要（300字左右）、关键词4）外文摘要、关键词 5）目次页（附件不统一编入）6）论文主体部分：引言（或绪论）、正文、结论7）参考文献8）致谢9）附录（对论文支持必要时）2.论文字数要求：理工类设计（论文）正文字数不少于1万字（不包括图纸、程序清单等），文科类论文正文字数不少于1.2万字。3.附件包括：任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）。4.文字、图表要求：1）文字通顺，语言流畅，书写字迹工整，打印字体及大小符合要求，无错别字，不准请他人代写2）工程设计类题目的图纸，要求部分用尺规绘制，部分用计算机绘制，所有图纸应符合国家技术标准规范。图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程字书写，不准用徒手画3）毕业论文须用A4单面打印，论文50页以上的双面打印4）图表应绘制于无格子的页面上5）软件工程类课题应有程序清单，并提供电子文档5.装订顺序1）设计（论文）2）附件：按照任务书、开题报告、外文译文、译文原文（复印件）次序装订指导教师评阅书指导教师评价：一、撰写（设计）过程1、学生在论文（设计）过程中的治学态度、工作精神 优 良 中 及格 不及格2、学生掌握专业知识、技能的扎实程度 优 良 中 及格 不及格3、学生综合运用所学知识和专业技能分析和解决问题的能力 优 良 中 及格 不及格4、研究方法的科学性；技术线路的可行性；设计方案的合理性 优 良 中 及格 不及格5、完成毕业论文（设计）期间的出勤情况 优 良 中 及格 不及格二、论文（设计）质量1、论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范？ 优 良 中 及格 不及格2、是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）？ 优 良 中 及格 不及格三、论文（设计）水平1、论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义 优 良 中 及格 不及格2、论文的观念是否有新意？设计是否有创意？ 优 良 中 及格 不及格3、论文（设计说明书）所体现的整体水平 优 良 中 及格 不及格建议成绩： 优 良 中 及格 不及格（在所选等级前的内画“”）指导教师： （签名） 单位： （盖章）年 月 日评阅教师评阅书评阅教师评价：一、论文（设计）质量1、论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范？ 优 良 中 及格 不及格2、是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）？ 优 良 中 及格 不及格二、论文（设计）水平1、论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义 优 良 中 及格 不及格2、论文的观念是否有新意？设计是否有创意？ 优 良 中 及格 不及格3、论文（设计说明书）所体现的整体水平 优 良 中 及格 不及格建议成绩： 优 良 中 及格 不及格（在所选等级前的内画“”）评阅教师： （签名） 单位： （盖章）年 月 日教研室（或答辩小组）及教学系意见教研室（或答辩小组）评价：一、答辩过程1、毕业论文（设计）的基本要点和见解的叙述情况 优 良 中 及格 不及格2、对答辩问题的反应、理解、表达情况 优 良 中 及格 不及格3、学生答辩过程中的精神状态 优 良 中 及格 不及格二、论文（设计）质量1、论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范？ 优 良 中 及格 不及格2、是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）？ 优 良 中 及格 不及格三、论文（设计）水平1、论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义 优 良 中 及格 不及格2、论文的观念是否有新意？设计是否有创意？ 优 良 中 及格 不及格3、论文（设计说明书）所体现的整体水平 优 良 中 及格 不及格评定成绩： 优 良 中 及格 不及格教研室主任（或答辩小组组长）： （签名）年 月 日教学系意见：系主任： （签名）年 月 日Riemann积分与Lebesgue积分的关联性研究内容摘要 尽管Riemann积分的理论相对完备,但是在解决某些问题时,我们发现Riemann积分也存在着一些不足.本文从Riemann积分着手,通过具体的例子说明Riemann积分的缺陷.进而就有了改造Riemann积分的必要性,接着提出Lebesgue积分.然后对两者进行比较.文章的核心任务是基于我们已经掌握的Riemann积分与Lebesgue积分的基本知识,来探讨与归纳出两者间的区别与联系,通过比较两者的定义,主要性质,在微积分定理中的应用,积分与极限交换次序的条件,用具体的例子来说明Lebesgue.积分可以解决一些Riemann积分解决不了的问题.关键词：Riemann积分 Lebesgue积分 区别 联系Study the correlation of Riemann integral and Lebesgue integralAbstractAlthough Riemann integral theory is relatively complete, when solve some problems, we found that there are also some Riemann integral. This text set about from the Riemann integral, through concrete examples that illustrate the defects of Riemann integral. Then there is the transformation of the necessity of Riemann integral, and then put forward the Lebesgue integral. Then compare with both. The central task of the article is based on we have to master the basic knowledge of the Riemann integral and Lebesgue integral, to explore and induces the differences and relations between, by comparing the specific definition of the two, main properties and application in the theorem of the calculus, the integral and limit the exchange of order conditions, using concrete examples to illustrate the Lebesgue integral can solve some Riemann integral cannot solve the problem.Key words: Riemann calculus Lebesgue calculus Difference Relation 目 录序言1一、Riemann积分1（一）Riemann积分的定义1（二）Riemann积分的局限性2二、Lebesgue积分3（一）非负简单函数的积分3（二）非负可测函数的积分3（三）一般可测函数的Lebesgue积分4三、二者区别与联系4（一）Riemann积分与Lebesgue积分的定义的比较41.极限式定义的比较42.确界式定义的比较5(二）Riemann积分与Lebesgue微积分在积分基本定理中的比较61.Riemann积分中微积分基本定理62.Lebesgue积分中微积分基本定理63.对两者的比较6（三）Riemann积分与Lebesgue在一些主要性质上的比较61.Riemann积分的主要性质62.Lebesgue积分的主要性质83.对两者的比较8（四）Riemann积分与Lebesgue在积分与极限交换次序条件的比较91. Riemann积分中积分与极限的交换次序的条件92. Lebesgue积分中积分与极限的交换次序的条件93. 对两者的比较11四、关于Riemann积分与Lebesgue积分的实例12五、总结15参考文献16序言 远在古代人们就开始探究求解由曲边围成的图形的面积,由此可见,积分学始于求问题.我国古代数学家刘徽力在求解单位圆的面积是,所采用的方法是用许多非重叠的三角形组合在一起来拟合图形.时代的限制使他无法克服“无穷运算”的难题什么是无穷小,什么是不可分量这两大问题成为研究积分问题过程中的重大阻碍.最简单的曲线所成图形的面积可以用古代的穷竭法解决.如卡瓦列里用数列求和方法得到不定积分,牛顿将通过对微积分的研究,得出了积分运算是微分运算在一定意义上的逆运算,进而将不定积分的思想加以拓展,而莱布尼兹主要是从定积分的思想着眼探索,发现了积分运算是微分运算的逆运算由此演进到当今的牛顿莱布尼兹公式,即设若是的不定积分,则它一定也的是原函数,且任意两个原函数相差一个常数,故 上述公式被称为微积分基本定理, 自此求解积分有了较为系统的方法,此前那种繁杂的穷竭法被这一重要公式取代.也是因为这一公式的出现,微积分成了真正可以应用的理论.早期人们遇到的函数几乎都是些单一的初等函数,对于积分的概念也并不十分明确,直到柯西发表了多本教科书后,积分理论才变得日益明了.一、Riemann积分（一）Riemann积分的定义十七世纪牛顿与莱布尼兹共同创立的微积分理论中,明确提出了积分的概念与研究方法.著名分析大师欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、柯西等人经过两个多世纪的不解探索,使得积分概念不断完善.而Riemann与达布终结了这段漫长且艰辛的探索,形成了今天的Riemann积分.Riemann积分是为了解决计算平面上封闭曲线围成图形的面积而产生的,它的核心内容是试图通过无限逼近来确定积分的值.首先将区间加以分割,然后用极限思想对其定义.具体定义如下：设是定义在上的有界函数,任取区间的一个划分,.将区间分成部分,在每一个小区间上任取一点,.作和.令,如果对任意的分发与的任意取法,当时,趋于有限的极限,则称它为在上的Riemann积分,记为 .1如果设, ,则有在上Riemann可积.从而可积的充要条件为：也就是说，对任意的,总存在一个划分,使得对任意的划分,只要比更精细,则有所有区间内任意两点距离的上确界大于等于的小区间的长度之和小于.Riemann积分的定义清楚地告诉我们：若函数在上Riemann可积,则在上必有界.换句话说,若函数在上无界,则在上必不是Riemann可积的.根据定义我们还可以进一步知晓此类可积函数必须是几乎处处连续的.（二）Riemann积分的局限性1. Riemann适用的范围比较小,可积性涉及两大因素:其一,分割小区间的长度；其二,函数在分割后的子区间上的振幅.如果函数可积,那么在趋近于0的过程当中,不能缩小的那些对应项子区间的长度必须是无穷小的.长度为任意小的区间簇可以覆盖Riemann函数的不连续点.简言之,Riemann可积函数必须是“基本上是连续的”.简单的狄利克雷函数虽然在有界,但在该区间上处处不连续,故而Riemann积分不可积.由此可见Riemann积分函数类应用范围较小.2. Riemann积分运算不完全是微分运算的逆运算,微积分理论中,微积分基本定理起地位尤其重要.由微积分基本定理 易知,必须是可积的.事实上,存在着可微且导数有界的函数,但是其导数不是Riemann可积的故微积分基本定理的应用范围受到了限制.在1881年意大利数学家Volterra就作出了可微函数,其导数是有界的,但是导数不是可积的.所以说,微积分基本定理这一结论的适应面过窄.3. Riemann积分与极限可交换的条件太严苛.极限运算与积分运算可以交换的一个重要条件就是Riemann可积函数列所给定的区间一致收敛.也就是说,函数一致收敛只是极限与Riemann积分运算交换次序的充分而非必要条件.例如,在处不连续,但是该函数是非一致收敛的,而且.4. Riemann积分对于定义在完全不同的集合上分布奇特的有趣函数或一般集合上的函数,不仅没有简单的解决方法,而且甚至不可积.Riemann积分过分依赖于区间.例如,对于定义在之间的有理数上的函数,就没有办法讨论它的可积性.5. 在Riemann可积函数集合中,能构造出距离,由此可见,此空间并不完备,这是Riemann积分的又一局限性.二、Lebesgue积分 引入Lebesgue积分的目的是为了克服Riemann积分的不足,从而扩大可积函数类.Lebesgue积分是Lebesgue在测度理论的基础上建立起来的,Lebesgue测度理论可以统一处理函数有界与无界的情形,而且函数可以定义在更为一般的点集上,而不仅仅只是闭区间上.Lebesgue积分还提供了比Riemann积分更加广泛且有效的收敛定理.因此Lebesgue积分的应用范围比较广泛.二十世纪初,Lebesgue对给定的函数按函数值的区域进行分割,作和,求极限产生了Lebesgue积分.对值域进行分割,相应得到对定义域的分割,使得在每一块上的振幅都很小,即按函数值的大小对定义域的点进行归类.具体定义如下：（一）非负简单函数的积分设是可测集上的非负简单函数,则有的划分 及非负实数组,使,.此时我们定义在上的Lebesgue积分为,并且当时,称在上Lebesgue可积.2（二）非负可测函数的积分设是可测集上的非负可测函数,是的非负简单函数的上升列,并且.此时在上的Lebesgue积分定义为.若积分值有限,则称在上Lebesgue可积.2（三）一般可测函数的Lebesgue积分对每一个,令则与分别称为函数的正部与负部.若与的Lebesgue积分不同时为,则在上的Lebesgue积分定义为.此外当有限时,称在上Lebesgue可积.2三、二者区别与联系（一）Riemann积分与Lebesgue积分的定义的比较1. 极限式定义的比较（1）Riemann积分的极限式定义设是定义在闭区间上的有界函数,对区间的任意一个分割,记,任取,作和,并求极限,若该极限存在则称在上Riemann可积.并把该极限称为在的积分,记作.3（2）Lebesgue积分的极限式定义设是定义在可测集上的有界可测函数,且,存在使得.若对的任一分割,.记,对任意,作和,并求极限,若该极限存在则称在上Lebesgue可积.并把该极限称为在的积分,记作.3（3）对两者的比较从上面两个定义我们可以看出,两个积分的相同点是思路相似,具体地说,都是要作分割,求和,取极限.两者的区别在于,分割的对象不同,即Riemann积分是对定义域作分割,而Lebesgue积分是对值域进行分割.2. 确界式定义的比较（1）Riemann积分的确界式定义设是定义在闭区间上的有界函数,对区间的任意一个分割,记为函数在上的上确界,为函数在上的下确界,相对于分割作和称为关于分割的大和数,称为关于分割的小和数.记为在闭区间上的上积分,同时记为在闭区间上的下积分.若两个积分的值相等,则称在上可积,并称这个共同值为在上Riemann可积,记作.3（2）Lebesgue积分的确界式定义设是一个非空可测集,其中为互不相交的可测集,是任意一个可测分割,记为函数在上的上确界,为函数在上的下确界,相对于分割作和称为关于分割的大和数,称为关于分割的小和数.记为在闭区间上的上积分,记为在闭区间上的下积分.若两个积分的值相等,则称在上可积,并称这个共同值为在上Lebesgue可积,记作.3 （3）对两者的比较 Riemann积分的确界式定义与Lebesgue积分的确界式定义有相同的思路：第一,先对积分区间进行分割,从而定义区间的大和与小和；第二,定义大和的下确界为上积分,小和的上确界为下积分；第三,若上下积分值相等,则被积函数再此积分区域上是可积的. 虽然两者形式相似,但具体定义还是有一定的区别：第一,从积分区域来看, Lebesgue积分的适用范围较广.因为Riemann积分的积分区域是闭集,而Lebesgue积分的积分区域是可测集,可测集的范围大于闭集.第二,从分割方法来看, Riemann积分将定义域分割为自变量很接近的若干个小区间,而Lebesgue积分将定义域分割为函数值很接近的若干个小集合.第三,从测度的选取来看, Riemann积分采取的是约当测度,而Lebesgue积分采取的是Lebesgue测度.第四,从被积函数来看,在Riemann积分理论中被积函数是有界的,而在Lebesgue积分理论中被积函数是可测的.第五,Lebesgue积分中,有界,这一条件可以忽略,而在Riemann积分则不可以.(二）Riemann积分与Lebesgue微积分在积分基本定理中的比较1. Riemann积分中微积分基本定理Riemann积分要求在闭区间上是可微的,并且在此区间上是可积的,才有.这一结论使得积分和微分之间有了联系,但是在上可积是一个很大的限制条件.在1881年意大利数学家Volterra就作出了可微函数, 其导数是有界的,但是导数不是可积的.所以说,Riemann积分下微积分基本定理这一结论的适应面过窄.2. Lebesgue积分中微积分基本定理Lebesgue积分要求在闭区间是绝对连续的,则有.43. 对两者的比较有上述表达可以比较得出,在Lebesgue积分下的微积分基本理论放松了Riemann积分理论中微分后在积分可还原的条件,而且还延续了Riemann积分理论中积分后再微分可以还原的特点.所以说,在积分与微分的关系问题上,Lebesgue积分显得更加优越.（三）Riemann积分与Lebesgue在一些主要性质上的比较 1.Riemann积分的主要性质5性质1 线性性质：若函数在上可积,则在上可积（为实数）,且.性质2 积分区间的可加性：在上可积的充要条件是,任给,在与上都可积.此时又有等式.证 充分性 在与上都可积,故任给,分别存在分割与,使得,.现令,它是对的一个分割,且有.由此证得,在上可积.必要性 已知在上可积,故任给,存在对的某分割,使得,在上在增加一个分点,得到一个新的分割,则分割在与上的部分,分别对与的分割,记为与,则有.所以在与上都可积.以上述证明为基础,下面我们开始证明.为此对做分割,恒使点为此区间上的一个分点,则在与上的部分各自构成相应的分割与.因为所以当时,对上式取极限,就能得到.性质3 单调性：若与为上的两个可积函数,且则有.证 令,根据积分的可加性知,在也是可积的,则有.所以.性质4 绝对值不等式：若为上的可积函数,则在也可积,并且.证 为上的可积函数,故任给,存在某分割,使得,根据绝对值不等式可得所以说在可积.再由不等式易证得注 这个命题的逆命题一般不成立,例如 在上不可积,但,它在上可积.例1 求其中解 对于分段的定积分,通常利用积分区间的可加性来计算,即2. Lebesgue积分的主要性质5性质1 线性性质：若在可测集上可积,则可积,并且性质2 积分区域的可加性：设互不相交在每个上有积分时,在每个上有积分,且性质3 单调性：若在可测集上可积,且则性质4 绝对值不等式性：若在可测集上可积,则也是上的可积函数,并且性质5 绝对可积性：若在可测集上可积也是上的可积函数.3.对两者的比较综上所述,Riemann积分与Lebesgue积分在线性性、积分区间可加性、绝对值不等式性和绝对可积性方面的基本形式完全一致.两者的不同点在于：其一,Lebesgue积分的积分值可以有限也可以无限,而Riemann积分中的积分值只能是有限值；其二,Riemann积分与Lebesgue积分在绝对可积性上有所不同；其三,Lebesgue积分具有绝对连续性而Riemann积分不具备该性质.我们又一次发现Lebesgue积分比Riemann积分更具优越性.（四） Riemann积分与Lebesgue在积分与极限交换次序条件的比较1. Riemann积分中积分与极限的交换次序的条件在Riemann积分下,要交换数列极限与积分的次序函数列要满足一致收敛,否则不能交换.然而,这一条件通常情况下又不容易满足.2. Lebesgue积分中积分与极限的交换次序的条件Lebesgue积分中积分与极限的交换次序的充要条件,即Lebesgue控制收敛定理.首先介绍一个定理，Riesz定理：给定可测集上几乎出处有限的可测函数列在上依测度收敛于几乎出处有限的可测函数,则存在子列使得在有了上述定理的基础上我们来了解Lebesgue控制收敛定理.设（i）是可测集上的可测函数列,（ii）且在可积（称为所控制,而称为控制函数）,（iii）依测度收敛于,则在上可积,且证 由于依测度收敛于,由Riesz定理,存在子列收敛于且由得由可积,得出在可积,同样说明在每一个在上都是可积的.再证分两个步骤证明：（i）先设对任给的因为可积,由Lebesgue积分的绝对连续性,存在使得当时有又因为依测度收敛于,所以存在使得当时,其中所以当时,有因此 这就证明了当时,成立（ii）设因为在上可积,由非负可测函数积分的定义,对任给的存在使得所以 另一方面,上的可测函数列满足且依测度收敛于0,故由情形（i）的证明知存在正整数当时,有因此 即3. 对两者的比较 相对于Riemann积分,Lebesgue积分在积分与极限的交换次序的条件要求较为宽松,也更加容易验证.Lebesgue控制收敛定理的创立凸显出Lebesgue积分理论的极大优越性.例2 求.分析 因为不一致收敛,所以在Riemann积分不能计算.而在Lebesgue积分中,由于又因为在上可积,满足Lebesgue控制收敛定理,故可以交换积分与极限的次序,从而计算出结果.解 又在上可积,由Lebesgue控制收敛定理得：例3 分析 在Riemann积分理论中不一致收敛,所以在其中无法计算.而在Lebesgue积分中满足Lebesgue控制收敛定理,所以这道题目可以交换积分与极限的次序,从而计算出结果.解 因为所以,根据Lebesgue控制收敛定理有又因为所以四、关于Riemann积分与Lebesgue积分的实例从前面的论述中我们知道,引入Lebesgue积分是为了克服Riemann积分的不足,从而扩大可积函数类.显见,Riemann积分与Lebesgue积分是不同的,两者在计算上有着很重要的联系,但又不是蕴含关系.我们知道:对于定义在上的函数,如果它是Riemann可积的,则它必是Lebesgue可积的.这样我们在计算Lebesgue积分时,可以考虑其是否Riemann可积.如果是,可以化成Riemann积分来求解.对于无界函数的积分或函数在无穷区间上的积分,Riemann积分是作为广义积分来定义的.广义的Riemann积分并不一定Lebesgue可积,所以Lebesgue积分虽然是Riemann积分的推广,却不是广义Riemann积分的推广.在计算Lebesgue积分问题时要正确区分相应的Riemann积分是正常积分还是广义积分,从而选择适当的方法去计算.例4 函数在上是否Riemann可积？是否Lebesgue可积？计算函数在上的积分值.9解 在上,除了点外,都间断,因而在上不是Riemann可积的.但是在上有界可测,所以在上Lebesgue可积.因为所以又在上Riemann可积, 所以例5 在线段上作测度为的无处稠密的完备集.此集的邻接区间按它们之长度减小的顺序进行编号然后在上给出函数此函数Riemann可积还是Lebesgue可积？求在上的Lebesgue积分值.下面先介绍一下Levi定理：设均为可测集上的非负可测函数,并且在上有 对所有的收敛于则解 因为在一正测度上间断,所以它不是Riemann可积,但是它是Lebesgue可积的.且有又在上Riemann可积,故 由题设知是邻接区间长度,等于的测度,所以例6 计算定义在上的Riemann函数的积分值.解 令,则有例7 证明：上广义Riemann可积函数Lebesgue可积的充要条件广义Riemann可积.且此时两个积分的值相等.10证 设在上广义Riemann可积,且在点无界.必要性 设Lebesgue可积,则当时,在上有界Riemann可积,也在上有界Riemann可积,从而在上Lebesgue可积,有由的任意性可知,在上广义Riemann可积.充分性 设也是广义Riemann可积,则因为广义Riemann可积,且由所设有 选点列使,且作函数因为显然在上Lebesgue可积,且由积分的区间可加性质,在上Lebesgue可积,从而在上Lebesgue可积,且有 因为是上的单调增加函数列,故由Levi定理,在上Lebesgue可积.由于对任何故取的控制函数,则依据控制收敛定理,有类似可证有无穷极限的广义Riemann可积函数情形.只需将所取的,使即可.五、总结通过对Riemann积分和Lebesgue积分的关联性的研究,我们知道Riemann积分在应用领域取得了巨大的成功,但是Riemann积分的应用范围因为其定义的局限而受到限制.由于Riemann可积函数主要是连续函数或不连续点不太多的函数,使得Riemann积分在许多问题的应用中遇到了瓶颈.而Lebesgue积分是对Riemann积分的拓展与提升,在数学分析中有举足轻重的地位.Lebesgue积分可积函数类广泛,并且还具备良好的性质,理论也相当完备.第一，扩大了微积分基本定理的使用范围,Lebesgue提出当有界时,证明微积分定理相对容易.但是在有限值且无界时,只要是可积的,微积分基本定理依然成立在Lebesgue积分的意义下,任何绝对连续函数都可积的所以在微积分基本定理中只需满足是上的绝对连续函数,则.第二， Lebesgue积分将积分的几何意义进一步推广,将Riemann积分中曲边梯形面积推广至在上的下方图形集的测度问题上.第三，遇到有关重积分的计算时,重积分化为累次积分的条件发生减弱.在Lebesgue积分理论下,只需可测且有一个累次积分存在,就可以将重积分化为累次积分.然而在Riemann积分理中,重积分与两个累次积分都存在时才相等.第四，在二重积分与累次积分的关系问题上,把积分推广于无界函数的情形时,用Riemann积分理论无法应对.而Lebesgue重积分理论,扩大了用累次积分计算二重积分函数范围.第五，Lebesgue积分理论在数学分析中十分有用,特别是是在三角级数问题中,得到了广泛的应用.参考文献1 华东师大数学系.数学分析M.北京:高等教育出版社,2001.2 中科大高数教研室.高等数学导论M.北京:中国科学技术大学出版社,1996.3 张筑生.数学分析新讲M.北京:北京大学出版社,1991.4 匡继昌.实分析引论M.湖南:湖南教育出版社,1996.5 程其襄.实变函数与泛函分析基础M.北京:高等教育出版社,1983.6 周民强.实变函数论M.北京:北京大学出版社,2001.7 赵焕光.实变函数M.四川:四川大学出版社,2004.8 周民强.数学分析M.上海:上海科学技术出版社,2003.9 王军涛.Riemann与Lebesgue积分比较.河南科技学院学报,2008.Vol 36,No.4.10 周成林.勒贝格积分与黎曼积分的区别于联系.新乡学报,2005.Vol 20,No.9.16