数学课程标准(2011版)初中数学《图形与几何》修订的解读.ppt

义务教育课程标准数学教科书 （七年级，图形与几何） 讲 座,一、“图形与几何”在“课程内容”方面的变化 1.将标准（实验稿）中的“空间 与图形”改为“图形与几何”. 标准（2011）修订组组长史宁中 教授的解释为：“图形”是存在，“空间” 是存在的背景，“几何”是运用规则对图形 进行研究.改为“图形与几何”更准确一些.,2.将标准（实验稿）中“图形的认识” 和“图形与证明”合并为“图形的性质”. 标准（实验稿）将“空间与图形”分为 图形的认识、图形与变换、图形与坐标、图形与证 明4个部分；标准将“空间与图形”分为图形 的性质、图形的变化、图形与坐标3个部分. 将原来的“图形的认识”和“图形与证明”合 并为“图形的性质”，除了更有利于在探索、发现 、证明图形性质的过程中，体现两种推理（合情推 理与演绎推理）相辅相成的关系外，更决定了“图 形与几何”的教学内容将发生结构性的变化.,标准（实验稿）将“图形的认识”、“图形与证明”这两个具体目材分开，决定了现行教材中，涉及几何证明的内容只能安排在八年级下学期和九年级进行，而在七年级及八年级上学期只能运用合情推理探索、发现图形的性质.这样安排有两个方面的问题：一是将合情推理与演绎推理分开，割裂了它们之间的相辅相成的关系；二是重复较多，给人以“证”了两次，“用”了两次的感觉. 根据 标准修订的教材将从七年级上学期的“余角、补角、对顶角”开始进行推理证明，合情推理与演绎推理也将得到进一步的融合.,3.明确了9条基本事实： 两点确定一条直线； 两点之间线段最短； 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这条两直线平行； 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； 三边分别相等的两角三角形全等； 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.,对“9条基本事实”的几点说明： （1）标准未将“两条直线相交只有一个交 点”作为“基本事实”（在用“图形的运动、变化 研究图形性质的过程中有较为广泛的应用）. 教学时，对学有余力的学生可引导思考： 如图，相交于点O 的直线 a、b 还有另外的交点吗？ 如果直线a、b有另一个交点 O, 那么经过点 O 、 O就有两条直线， 这与基本事实“经过两点有且只有一条直线”不相 符.于是我们知道：两条直线相交只有一个交点.,(2)“两直线平行，同位角相等”不再作为 “基本事实”，而作为定理要求加以证明. 对此，教材的处理方法是： 通过“数学实验”活动探索、发现结论，并 明晰定理-明确该定理今后可以运用推理的方法 加以证明-在相应的“阅读”材料中运用“反证 法 ”进行推理（给学有余力的学生课后阅读、思 考-在八年级学习“反证法”时，通过证明加以 确认. 这样处理相关内容，既符合标准要求， 又不违背学生的认知规律.,“读一读”一种说理的方法： 如图，直线AB、CD被直线EF所截， ABCD，1与2是同位角. 假设12，那么可以过直线 AB与EF的交点O作直线OG，使EOG =2，直线OG与直线AB是两条直线. 根据基本事实“同位角相等，两直线平行”由 EOG=2，可以得到OG CD. 这样，过点O就有两条直线AB、OG都与CD平行， 这与基本事实“过直线外一点，有且只有一条直线 与这条直线平行”矛盾. 这说明12的假设不正确，于是 1=2.,4.删去了“两组对角分别相等的四边 形是平行四边形”、“菱形的对角线平分 一组对角”等定理；删去了“等腰梯形的 性质”、“圆与圆的位置关系”等内容. 降低了关于“视图与投影”的要求 （未将“视点、视角、盲区”列入数学教 学内容）.,关于“圆周角定理”. 引导学生通过画图，感知 弧BC所对的圆心角只有1个， 而所对的圆周角有无数多个. 怎样将无限的问题转化为有限的问题加以研究呢？ （引导学生对问题进行分类）,探索圆周角与圆心角之间的数量关系. 图1 图2 图3 通过作直径AD，将“图2”、“图3”中的相关问题转化为“图1”中的已知问题.,通过对圆周角定理的探索，引导学生感悟： 1.一条弧所对的圆周角有无数多个，而逐一研究这无数多个圆周角与圆心角之间的数量关系是困难的，因此必须对圆周角相对于圆心的位置进行分类.这样既渗透了分类思想，又促使学生学会数学地思考问题. 2.证明过程体现了“由特殊到一般，再由一般到特殊的转化过程”（从特殊入手，发展到一般，而解决一般情况又要用到特殊的结论）. 通过对“圆周角定理”的探索、证明，使学生对数学思想有进一步的认识，学会数学地思考问题.,5.增加了下列定理的证明: 相似三角形的判定定理和性质定理，垂径定 理，圆周角定理，切线长定理（“定理”可以用 来解题，但不要求运用这些定理证明其他命题）. 为证明“相似三角形的判定定理（1）”， 教材增加了如下预备知识： 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所 得的对应线段成比例. 从这个“基本事实”出发，通过推理，得到 ：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所 构成的三角形与原三角形相似.,6.对于“证明”，不仅要求“知道证明的意 义和必要性，知道证明要合乎逻辑”，而且要求 “知道证明的过程可以有不同的表达形式”.强调 “证明”除了用简化了的三段论证表达外，还可 以采用其他符合学生思维过程的表达形式. 标准纠正了一些师生认识上的误区：学 几何=学证明=学“三段论证”. 根据标准，教材除了运用图形平移、旋 转、翻折，探索、发现图形的性质外（“合情推 理”过程），对一些图形的性质还运用图形的运 动加以确认.,案例：确认“平行四边形的性质”. 操作： （1）在平行四边形ABCD中，连 连接AC，取AC的中点O（如图1）; （2）用透明纸覆盖在图1上， 描出平行四边形 ABCD及对角线AC; 3.用针钉在点O处，将图形旋转 （图1） 1800. 你发现了什么？,运用图形的运动、变化确认图形的性质： 因为O是AC的中点，所以点A 与点C重合. 由AB CD，可知 BAC = DCA，于是AB落在射线CD上； 由AD BC，可知 DAC= （图2） BCA，于是CB落在射线AD上. 因为“两条直线相交只有一个交点”，所以AB与CB 的交点B与点D重合；如果连接BD，那么BD经过点O，且被 点O平分（图2）. 这样，我们知道：平行四边形是中心对称图形，对角 线的交点是它的对称中心.,案例：探索并证明“垂径定理”. （1）操作、思考：在O内分别画 直径AB、弦CD，使ABCD，垂足为P， 所画图中有哪些相等的量？ （2）运用图形的运动变化确认相应 结论：沿直径将所画圆形纸片对折， 因为圆是轴对称图形，所以沿直径AB 将圆形纸片对折时，弧ADB与弧ACB重 合.又因为APD=APD= 900，所以PD 与PC重合，点D与点C重合. 于是，PC=PD，弧AC=弧AD，弧BC=弧BD.,（3）运用演绎推理证明相应结论： 如图，AB是O的直径，CD是O 的弦， ABCD，垂足为P. 连接OC、OD.在OCD中， OC=OD，OP CD ， PC=PD，BOC=BOD. 又BOC=BOD， AOC=AOD. 弧BC=弧BD，弧AC=弧AD. 课本交替使用合情推理、演绎推理以及图形运动的方法，探索并证明“垂径定理”，引导学生体会探索发现并证明图形性质有多种方法.,二、教材特色及教学建议 1.教材将“图形与几何”课程整合为全等变换、相似变换和对称变换3个主体结构，以“图形的运动变化”为主线，展开对“图形与几何”的研究. 其中，对称变换包括： （1）轴对称图形：主要研究轴对称与轴对称图形的性质及等腰三角形； （2）中心对称图形：主要研究中心对称图形的性质及平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）； （3）对称图形：主要从轴对称性及旋转不变性的角度研究圆.,布鲁纳认为，如果学生没有掌握一般原理，就不能激发智慧；如果学生学的知识没有结构把它联系起来，就容易遗忘；如果不教给学生学科的基本结构，就不能从已知推断未知. 教材以“对称”为基本结构来探索图形的基本性质 ：由“轴对称”探索等腰三角形、等边三角形、直角三角形、角平分线、线段的垂直平分线的性质；由“中心对称”探索平行四边形、矩形、菱形、正方形、三角形中位线的性质；由“对称变换”探索圆心角、弧、弦之间的相等关系 以及垂径定理、切线长定理等.,这样处理教材有3个好处： （1）有了图形的翻折、旋转等基本结构，学生再动手、动脑就会理解透彻、印象深刻； （2）抓住了图形的共性，如平行四边形、矩形、菱形、正方形的共性都是中心对称图形，具有中心对称的一切性质；等腰三角形、等边三角形、角、线段都是轴对称图形，具有轴对称的一切性质； （3）有了“对称”这样一根主线，纲举目张，使知识更显统一、和谐. 教学时，要将“图形与几何”的教学置于“几何变换”的基本结构中.,2.教材对“图形与几何”的研究，充分展现了合情推理与演绎推理之间的内在联系. （1）通过图形的折叠、旋转等操作活动，引导学生发现图形的性质，并在这一过程中，使学生感悟到发现问题、提出问题，往往要运用观察、操作、图形的运动变化等手段. （2）引导学生在发现问题的基础上进行推理，使学生体会到运用合情推理研究图形的性质往往是进行演绎推理，探索解题途径的“源”，而演绎推理的过程只是解决问题的“流”. 这样，学生对图形的研究，就经历了发现问题、提出问题和分析问题、解决问题的过程.,案例：探索三角形内角和. 发现结论： （1）任意画一个三角形，用量角器量出各内角的度数，并求它们的和； （2）把ABC的3个内角剪开（如图1），然后把它们的顶点重合在同一点C，拼成图2. 你得到什么结论？ 这样，通过操作、探索活动，发现了三角形3个内角之间的数量关系. （图1） （图2）,证明结论的正确性： 如图3，作BC的延长线 CD，过点C作CEAB， 1=B，2=A. 1+2+ACB=1800， A+B+ACB=1800， 即三角形3个内角的和等于1800. 图3,证明“三角形内角和定理”的关键是 “作BC的延长线CD，过点C作CEAB ”. 这一添加辅助线的方法正是通过图形的 运动变化，经过操作、探索得到的，这是解 决问题的“源”，而其证明过程只是解决问 题的“流”.,3.关于“推理能力”. 标准指出：“推理一般应包括合 情推理和演绎推理”，“推理能力的发展 应贯穿于整个数学学习过程中”. 审查通过的七年级数学教材在强化合 情推理与演绎推理融合的同时，遵循小步 子、多层次的原则，由易到难、由浅入深 地逐步发展学生的演绎推理能力.,（1）在第6章“平面图形的认识（一）”中， 定义“线段的中点”、“角平分线”等概念后， 用“因为，所以 ” 的句式进行简单推 理（此时，只出“因”和“果”，引导学生弄清 因与果的关系）. 如图，因为B是线段AC的中点， 所以AB=BC= AC或AC=2AB=2BC. 如图，因为OC是AOB的平分线， 所以AOC=BOC= AOB或AOB =2AOC=2BOC.,在探索、确认“余角、补角、对顶角”的 性质后，用 “因为，所以 ” 的表达 方式进行简单的推理（此时只出“因”、“果” ，不出由因得果的理由）. 如图1，AC=BD，线段AD与线段BC有怎样的数 量关系？为什么？ （图1） （图2） 如图2，OB是AOC的平分线，COD=2AOB. COD与AOC有怎样的数量关系？为什么？,如图，直线AB、CD相交于点O， OE平分AOC. （1）画OE的反向延长线OF； （2）OF是BOD的平分线吗？为什么？ 如图，BD平分ABC，CE平分ACB， DBC=ECB.ABC与ACB相等吗？为 什么？ 教材通过这些简单的推理训练，意在 引导学生学会“有条理地表达”，由浅 入深地逐步发展学生的演绎推理能力.,（2）在第7章“平面图形的认识（二）”中，探 索发现直线平行的条件、平行线的性质后，用“因 为，所以 ，理由是”的句式进行推 理（此处出三段论证的3个要素，但没有形式化地 表达推理过程）；在第12章“证明”中，正式给出 形式化的三段论证“ ， （）” ，并以“三角形内角和定理”为范例，完整地呈现 命题证明的全过程；在“三角形全等”一章中，结 合有关内容较为系统地运用演绎推理的方法证明图 形的性质，引导学生学会综合法的书写.,案例：如图，ADBC，A=C.判断AB与DC的 位置关系，并说明理由. 解：在图中，ABDC. 因为ADBC， 所以C=CDE. 理由是：两直线平行，内错角相等. 这样由C=CDE，A=C，可得A=CDE. 因为A=CDE， 所以ABDC. 理由是：同位角相等，两直线平行.,上例中，用“这样由C=CDE，A= C，可得A=CDE”的表述，是为了避免 使用“等量代换”这个术语，是为了确保学 生“懂”，这里不要过早进入形式化的表述. 过早地，不注重本质的形式化的表述和 训练，可能会使学生远离数学的本质，使思 维缺乏逻辑性和条理性.推理的本质是“有条 理的思考和表达”，而不是 “ ， （）”的形式.,如图，ADEF，1+2= 1800. 1与BAD相等吗？ 如图，点D、E分别在AB、BC上， DEAC，1=2.AF与BC有怎样的 位置关系？为什么？ 对于推理的第2个层次，教材同样通过一些 简单的推理训练，反复引导学生学会“有条理地 表达”，由浅入深地逐步发展学生的演绎推理能 力.,4.关于“展开过程”. 一个数学问题的发现和解决，往往要经历观察、猜想、归纳、推理等思维过程.这个过程，实际上就是数学知识和数学思想的发生过程，是学生在获得数学基础知识、基本技能的同时获得基本数学思想和基本数学活动经验的过程，是我们研究图形性质的一个带普遍性的认识过程.,案例：探索“垂线段最短”的性质,问题1 如图1，怎样测量跳远的成绩？ （图1） 如图2，从人行横道线上 （图2） 点P处过马路，怎样走线路最短？你能把最短的线路画出来吗？,问题2 如图3，点P在直线l外，点O、 O1、O2、O3在直线l上，其中POl， PO叫做点P到直线l的垂线段. 量出线段PO、PO1、PO2、PO3的长 度. 在这些线段中，哪一条最短？ （图3）,问题3 如图4，P是直线l外一点， POl，垂足为O，O1、O2是l上任意两点. （1）在图4中，画出所给图形沿直线 l翻折后的图形； （2）你能说明POPO1，POPO2吗？ （图4）,问题4 如图5，P是AOB的边OB上一 点. （1）过点P画OA的垂线，垂足为H； （2）过点P画OB的垂线，交OA于点C. 分别比较PH与PC、PC与CO、PH与CO的 大小，并说明理由. （图5）,“问题1”是从生活实际提出问题，引导学生运用生活经验感知垂线段的性质；“问题2”是从数学内部提出问题，运用数学活动探索垂线段的性质；“问题3”是引导学生运用说理的方法确认垂线段的性质；“问题4”是垂线段性质的应用. 这样，在引导学生探索垂线段性质的过程中，就较为充分地经历了“观察、操作探索、猜想推理应用”的认识过程. 同时，通过探索活动也使学生感悟到：“距 离”的本质是“最短”，这是“两点间的距离”、 “点到直线的距离”的共同点，垂线段的性质， 把点到直线的距离转化为点到点（垂足）的距离.,案例：用直尺和圆规作一个角等于已知角 （1）用量角器可以画出大小在 00 到1800之间的任何角. 观察图中 点D的位置，可以发现，点D在量角 器的边缘弧上，并且与点C的距离 随着角的大小的确定而确定（这是引导学生探索 “用直尺和圆规作一个角等于已知角”的操作步 骤的关键，这也是这一探索活动能有序展开的关 键既关注探究过程的“路”，又关注探究过程 的“度”）. （2）议一议：只用直尺和圆规，怎样作一个 角等于已知角？把你的想法与同学交流.,标准强调：在数学教学过程中，要鼓励 学生自主探索和合作交流，引导学生从事观察、 实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动，使 生能主动获取知识.因此，操作、探索活动成了 数学教学中不可或缺的重要组成部分. 标准 强调：“在基本技能的教学中， 不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要 使学生理解程序和步骤的道理”. 教材不是单纯 的“知识点”的代名词.教学时，在呈现知识的 同时，必须注重过程与方法（数学思考和问题解 决），情感与态度等方面的目标. 要求，是每位教师必须思考的.,5.关于“控制教学难度”. “降低难度，提高要求”是标准修 订的重要指导思想之一. 数学思想既是以知识为载体，又是数学 知识在更高层次上的抽象与概括，引导学 生感悟数学思想，并不一定依赖于“载体” 的难度（总的要求是：问题的难度要控制， 感悟的数学思想的层次要高）.,在“走进图形世界”一章中，教材比较多 地展开了“观察、操作、认识”的过程，比较多 地引导学生通过生活实际和实物模型来认识基本 几何体，这实际上是揭示了认识图形的过程与方 法. 推理能力的形成不同于知识和技能的掌握， 需要一个长期、缓慢的过程.在“平面图形的认 识（一）、（二）”中，教材遵循小步子、多层 次的原则，严格控制例、习题的难度，把教学的 重点放在“学会有条理地表达”上，把发展学生 的推理能力融合在“过程”中.,案例：用“叠合法”比较线段、角的大小. 用叠合的方法比较AOB与A，O，B ，的大小，只要 移动AOB，使顶点O与 O，重合，边OA 与边O，A，重叠，并 使OB与O，B，在O，A， 的同侧 （如图）. 此时，如果边OB落在A，O，B，的内部，那么AOB A，O，B，.想一想，OB落在什么位置时，AOB A，O，B，AOB=A，O，B，？ 这一过程直观性强，学生容易理解，但揭示了 运用图形的运动变化研究图形性质的思想，并为后 续的相关研究做了较好的铺垫.,案例：关于简单物体的主视图、左视图和俯视图. 为控制教学难度，课本在 “主视图、左视图、俯视图”一 节中采取了以下几个措施： （1）用“斜二测画法”画 几何体的直观图时，在已知图形 中取互相垂直的轴ox、oy，然后画它们的对应轴 ，使x,o,y,=450，或x,o,y,=1350.本节画几何体的 直观图时，均取x,o,y,=1350，目的是使学生能从 物体的左面较为清晰地观察所给几何体，并画出 它的左视图.,（2）当我们从某种角度观察物体时，物体的有些 轮廓线可能被遮挡住，因此画“视图”时规定，看得见 的轮廓线画成实线，看不见的轮廓线画成虚线.由于学生 初次接触“视图”，对此，教材中所给物体的摆放均遵 循“平、正、稳”的原则，摆放成标准位置，并且使 “从三个方向”观察物体时，物体中看不见的轮廓线与 看得见的轮廓线相重合，避免画物体的主视图、左视图 、俯视图时出现虚线.例如，下图是同一个物体的两种不 同的摆放位置，显然图1的摆放位置降低了问题的难度. （图1） （图2）,（3）删去了用小立方块搭物体，然后画出所搭物体 的3个视图的例、习题.目的有2个： 用小立方块搭物体变化较多，难度较大，而标 准只要求会画常见几何体和简单物体的视图. “三视图”规定，画出的“视图”应是物体的轮 廓线.如由6个小立方块搭成的物体，如果把它看成一个 整体，拼缝应认为已粘连、腻平，那么“图1”所示物体 的三视图应画成“图2”. （图1） （图2）,案例 制作密封容器. 一个密封容器的主视图、左视图、俯视图分 别为长方形、长方形和正方形，试描述这个容器 的形状，并画出它的表面展开图. 本例将由“视图”（平面图形）想象简单物 体（立体图形），由简单物体（立体图形）探索 它的表面展开图（平面图形）结合起来，意在引 导学生再次感受平面图形与立体图形相互间的转 化关系，具有一定的综合性.同时，也落实了 标准提出的“通过实例，了解视图与展开图 在现实生活中的应用”的课程目标.,“主视图、左视图、俯视图”的教学要点有3个： 1.让学生经历从不同方向观察物体的活动过程，感 受从不同方向观察物体看到的形状往往是不同的. 2.感受由“视图”（平面图形）到简单物体（立体 图形），由简单物体（立体图形）到“视图”（平面图 形）的相互间的转化关系. 3.感受“分解”与“综合”的思考过程：画简单物 体的主视图、左视图、俯视图，是从3个方向对物体进行 “分解”；由所给物体的主视图、左视图、俯视图，想 象简单物体，由是把物体从3个方向上反映出来的形状加 以“综合”.在教学中，要注意引导学生感受“分解”与 “综合”的思考过程.,6.关于“想与做”的关系. “走进图形世界”一章重在发展学生的“空间观念”. 对此，教材主要体现在2个层面上： （1）从直观到抽象，从实物操作到空间想象. 课本注重让学生经历图形的运动变化、展开与折叠等 数学活动过程，在活动中引导学生认识常见的几何体以及 点、线、面和一些简单平面图形；通过对某些几何体的主 视图、左视图、俯视图的认识以及展开与折叠活动，在平 面图形与立体图形的转化中发展学生的空间观念. 由于学生是生活在三维空间中的，因而学生对图形的 认识是从立体图形开始的，他们认识图形与几何的方式和 过程，应该是观察、操作、想象和推理.,从直观到抽象，从实物操作到穿间想象， 如： P120中的“试一试”； P121中的“议一议”； P123习题第2题； P125的图形运动； P128习题第1题等.,（2）通过“先做后想”与“先想后做” 等活动发展学生的空间观念. 教学时，在指导学生从事观察、操作、 实验活动的同时，要引导学生认识到，观察 、操作、实验的目的是为了获得抽象的规律 ，发展空间想象力和推理能力.学生的认识 过程应当是基于操作，又高于操作从事抽 象、概括活动，归纳数学对象的特征，发展 有条理地思考和表达.,“先做后想”如：P129“数学实验室” 中的“（1）”;P130“做一做”中的“2” 等. “先想后做”如：P129“数学实验室” 中的“（2）”;P131“做一做”中的“3” 和“4”；P133“习题”中的“6”；P143 “复习题”中的“11”等.,案例：数学活动 “设计包装纸箱”. 活动设计： （1）设计2块产品的包装纸箱，使所用材料最少 学生通过实际摆放可知共有 3种方式.在这3种方式中，体积不 发生变化，外表面积会起变化，并 以如图所示的摆放方式其外表面积最小，感悟到： 2块产品的表面积之和一定时，当其重叠部分的面 积最大时，外表面积最小.,（2）设计10块产品的包装纸箱，使所用材料最 少. 学生根据“（1）”中的活动 经验，是不会将所有可能的摆放 方式都一一列出来的，只会选择 其中几种可能的摆放方式.通过比较这几种可能的 方式，可以发现，以如图所示的摆放方式其外表 面积最小. 通过活动，学生对摆放方式有了自己的选择， 并对“重叠部分的面积”、对摆放方式中“长、 宽、高的接近程度”有了自己的认识.,，,（3）设计30块产品的包装纸箱，使所用材料 最少. 有了“（1）”和“（2）”的活动 经验，学生一般能进行有效的摆放，并 能比较列出的摆放方式，发现如图所示 的摆放方式所用材料最少，进一步归纳出：把一 定数量规格相同的小长方体摆放成一个大长方体， 当大长方体的长、宽、高之和较小（重叠部分的面 积较大）时，它的外表面积较小. 上述活动的过程是一个操作思考归纳的过 程，是一个“先做后想”的过程.,对活动的拓展、延伸（变“先做后想”为 “先想后做”）： 对30进行因数分解：30=1310=235，根 据分解结果可以预设方案（将其中的一个因数看 作层数，另2个因数的积看作每层的块数）： （1）摆10层，每层3块；（2）摆5层，每 层6块；（3）摆3层，每层10块；（4）摆2层， 每层15块. 这样，再进行比较，就可以较为迅速地得 出所需的方案.,谢 谢！,