第10章(1)层合板刚度理论.ppt

第10章 层合板的宏观力学性能,§10.1 经典层合理论,经典层合理论，更确切一点是经典薄层层合理论或者经典层合板理论。在复合材料著作中，经典层合理论常常缩写为CLT。 它包含应力和变形假设, 从基本元件(单层)，得到最后结果(结构层合板)。,第10章 层合板的宏观力学性能,10.1.1 单层的应力应变性能,在平面应力状态下，正交各向异性材料单层在材料主方向上的应力应变关系为：,在单层平面内任意坐标系中的应力为：,(10-1),(10-2),方程（10-1）和（10-2）两者都可以设想为多层层合板第k层的应力应变关系。方程（10-2）可写为：,(10-3),第10章 层合板的宏观力学性能,10.1.2 层合板的应变和应力变化,假定层合板是由粘结得很好的许多单层组成的，而且假定粘结是非常薄的且没有剪切变形，即单层边界两边的位移是连续的，层间不能滑移。因而，层合板相当于一块具有非常特殊性能的单层板，但仍像一块单层材料一样作用。 假设薄板 ：,（1） 假设垂直于层合板中面的一根初始直线，在层合板承受拉伸和弯曲后仍保持直线并垂直于中面，要求垂直于中面的法线在变形后仍保持直的并垂直中面，相当于忽略了垂直于中面的平面内的剪应变：,第10章 层合板的宏观力学性能,(2)假定表示法线的长度不变，因而垂直于中面的应变同样忽略不计,板的克希荷夫（Kirohhoff)假设和壳的克希荷夫勒甫（KirohhoffLove)假设。,任意点从变形前到变形后在x方向的位移是,直线ABCD在变形后仍垂直于中面，,是层合板中面在x方向的斜率，即,因此，在层合板厚度上任一点z的位移u为：,同理，y方向的位移v为：,(10-4),(10-5),(10-6),(10-7),第10章 层合板的宏观力学性能,根据克希荷夫勒甫假设，即,，层合板应变已经减少为,和,对于小应变（线弹性），应变由位移确定如下：,于是，对于在方程（10-6）和（10-7）导出的位移u、v，应变为：,或,。,(10-8),(10-9),(10-10),第10章 层合板的宏观力学性能,中面应变为：,中面曲率为：,(10-11),(10-12),方程（10-12）是中面的曲率。 很容易证明克希荷夫假设，说明层合板厚度的应变是线性变化的。,第10章 层合板的宏观力学性能,第k层的应力用层合板中面的应变和曲率表示如下：,因为层合板每层的,可以是不同的，即使沿层合板厚度的应变变化是线性的，,其应力变化未必是线性的。典型的应变和应力变化示于图102中。,层合板 应变变化 特性模型 应力变化 图10-2 假定的沿层合板厚度的应变和应力变化,(10-13),第10章 层合板的宏观力学性能,10.1.3 层合板的合力和合力矩,作用于层合板上的合力和合力矩是由沿着层合板厚度对各单层上的应力积分而得到的，例如:,(10-14),图10-3 层合平板的平面力 图10-4 层合平板的力矩,实际上，,是层合板横截面单位长度（或宽度）上的力，如图10-3所示。,是单位长度上的力矩，如图10-4所示。,同样，,第10章 层合板的宏观力学性能,N层层合板上的全部合力和合力矩定义为：,式中，,和,由图10-5确定。,这些合力和合力矩在积分后与 z 无关.,图10-5 n层层合板的几何性质,注意:,(10-15),第10章 层合板的宏观力学性能,将（10-13）代入(10-15) 得：,因为,不是z的函数，因此可以从求和记号中移出。,于是，方程（10-16）和（10-17）可写成：,(10-16),(10-17),(10-18),第10章 层合板的宏观力学性能,式中：,式中：,-拉伸刚度,-耦合刚度,-弯曲刚度,（意味着层合板在弯曲和拉伸之间有相互耦合）,(10-19),(10-20),第10章 层合板的宏观力学性能,图10-6 两层不对称层合板在拉伸荷载下的扭转,这是一块两层尼龙增强的层合板，承受着合力,，由于支承的方式，,当层合板的材料主方向与层合板的x轴成+,和-,时，我们能证明：,因此，合力,产生层合板的扭转，可由除了一般的拉伸应变,和,外，还有,项得到证明。,第10章 层合板的宏观力学性能,§ 10.2 层合板刚度的特殊情况,1.对象：专门讨论层合板的某些特殊情况，其刚度与一般形式的方程不同，是简化值。一些情况很平常，而另一些情况则较为特殊，但都有助于理解层合板刚度的概念。 2.方法：本节是一个逐步复杂化的特殊情况。多数情况是从用许多单层组成的层合板得出的，这些单层具有相同的材料性能和厚度，但它们的材料主方向彼此不同，也不同于层合板轴的方向。对其它更一般的情况也作了研究。 3.过程: 首先处理单层结构的刚度， 其次讨论和分类对称于中面的层合板， 然后描述与中面反对称的层合板。 最后讨论与中面完全不对称的层合板。,10.2.1单层结构,本节所处理的特殊单层结构是各向同性，特殊正交各向异性，一般正交各向异性以及各向异性的。从分析角度来看，一般正交各向异性结构和各向异性层没有区别，但是正交各向异性材料只有四个独立的材料性能参数。,1. 各向同性单层,对于材料性能为 和厚度 t 的各向同性单层， （10.1.20）式的层合板刚度简化为：,(10.2.1),10.2.1单层结构,因此，合力仅仅与层合板中面内的应变有关，而合力矩则仅仅与中面的曲率有关：,因而，各向同性单层的拉伸与弯曲之间没有耦合影响。同样,(10.2.2),(10.2.3),(10.2.4),10.2.1单层结构,2. 特殊正交各向异性单层,对于厚度为 t 和方程 （9-7）给出的单层刚度Qij的特殊正交各向异性单层，其层合板的刚度为：,(10.2.5),10.2.1单层结构,因此，和各向同性单层一样，合力仅与面内的应变有关，合力矩也仅与曲率有关：,(10.2.6),(10.2.7),10.2.1单层结构,3. 一般正交各向异性单层,对于一块厚度为 t 和方程 （9-26）给出单层刚度 的一般正交各向异性单层，其层合板刚度为：,同样，弯曲和拉伸之间无耦合影响，因而合力和合力矩可表示为：,(10.2.8),10.2.1单层结构,(10.2.9),(10.2.10),注意：与各向同性单层和特殊正交各向异性单层都不同，其拉力既依赖于伸长应变也依赖于剪应变，合剪力 既依赖于伸长应变 ，也依赖于剪应变 。合力矩依赖于曲率 和扭率 。,4. 各向异性单层,一般正交各向异性单层和各向异性单层之间在外观上的区别仅在于后者是由方程 （9-30）以隐函式给出单层刚度 ，而一般正交各向异性单层的刚度 则由方程（9-26）给出。层合板刚度为,10.2.1单层结构,(10.2.11),10.2.2对称层合板,对于几何与材料性能都对称于中面的层合板，一般刚度方程（10.1.20）可大大简化。因为 和厚度 的对称性，可以证明所有的耦合刚度 Bij 为零，弯曲和拉伸直接按耦合影响的消除有两个重要的实际结果。 首先，这种层合板通常比具有耦合影响的层合板更容易分析； 其次，对称层合板没有因固化后冷却时的热收缩引起的扭曲倾向。 因此，通常采用对称层合板，除非因特殊需要而采用不对称层合板。例如，层合板的部分作用是热防护，但热只来自层合板的一侧，这样多半采用不对称层合板。,对称层合板的合力和合力矩为：,对称层合板的特殊情况将在下面分节中讨论。在下列情况中，方程（10.2.12）和方程（10.2.13）中的 和 有不同的值，有些值甚至是零。,(10.2.12),(10.2.13),10.2.2对称层合板,1. 多层各向同性的对称层合板,如果不同厚度的多片各向同性层，在几何和材料性能二个方面都对称于中面排列，组成的层合板不会出现弯曲和拉伸之间的耦合影响。,由三片各向同性层组成的对称层合板的简单例子如图10-7,10.2.2对称层合板,图10-7,有不同弹性性能和厚度的六片各向同性层组成的对称层合板的一个更复杂的例子由表10-1给出。表10-1中层3和层4可视作厚度为6t 的单层薄片而不改变刚度特性。,表10-1 六层各向同性层组成的对称层合板,一般情况的拉伸和弯曲刚度由方程（10.1.21）计算，其中第 层为：,合力和合力矩为：,(10.2.14),(10.2.15),10.2.2对称层合板,式中，对于各向同性层，由于方程（10.2.14）的第一个条件， 和 。涉及到 和 的某些特殊形式，可以容易用一些简单例子得到证明。,(10.2.16),10.2.2对称层合板,2. 多层特殊正交各向异性层组成的对称层合板,多层特殊正交各向异性层组成的对称层合板，因包括了刚度 和 而使分析复杂。如果要求层合板没有这些刚度,层合板可以由材料主方向与层合板轴一致的正交各向异性层制成。如果单层的厚度、位置及其材料性能对称于板的中面，则弯曲和拉伸之间也无耦合影响。一般的例子列在表10-2中：,表10-2 五层特殊正交各向异性层组成的对称层合板,10.2.2对称层合板,(10.2.17),10.2.2对称层合板,拉伸与弯曲刚度由方程（10.1.21）计算，其中第 层为：,因为 和 为零，所以刚度 和 为零。同样，由于对称性，刚度 也为零。所以这类层合板可称为特殊正交各向异性层合板，它们相当于特殊正交各向异性单层板，合力和合力矩一次为方程（10.2.15）和（10.2.16）的形式。,当单层的厚度和材料的性能完全相同，材料主方向与层合板轴交替成 和 。例如 时，是一种十分普通的由多层特定正交各向异性层组成的对称层合板的特殊情况。这种层合板称为正规对称正交铺设层合板。由厚度和性能都相同的三层组成的正规对称正交铺设层合板的简单例子示图10-8中。,10.2.2对称层合板,图10-8 三层正规对称正交 铺设层合板的分解图,在图10-8中，每片薄层的纤维方向用细线表示。层合板必须有奇数层，以满足没有弯曲和拉伸间耦合影响的对称要求。,有偶数层的正交铺设层合板显然是不对称的，这将在10.2.3节中讨论。一种较少见的正交铺设层合板的情况是：它有厚度相等的奇数层，和厚度相等而与奇数厚度不等的偶数层，这种层合板将在4.4节层合板刚度的理论和实验比较中讨论。这种层合板的普通例子是常见的胶合板。,按照建立各种刚度的推理来说明一切过程。首先考虑拉伸刚度：,(10.2.18),10.2.2对称层合板,Aij 是各单层的 和单层厚度的乘积之和。因而，得到各个 Aij为零的唯一办法是使所有的 等于零；或某些 是负值而某些是正值，使它们与各自厚度的乘积之和为零。根据转换后单层刚度 的表达式（9-26），因为所有的三角函数都是偶次幂，显然 和 是正定的，厚度当然总是正值。因此， 和 是正定的。然而，单层与层合板轴成0°和90°时， 和 为零。这样，对于正交各向异性层与层合板轴成0°或90°铺设的层合板，A16和 A26等于零。,其次，考虑耦合刚度：,(10.2.19),10.2.2对称层合板,如果正交辅设层合板对称于中面，那么容易证明所有的Bij全为零。,最后，考虑弯曲刚度：,（10.2.20）,为各个单层的 和（ ）项的乘积之和。因为 和 是正定的，于是 和 也是正定的。同样，单层的材料主方向与层合板轴成 和 时， 和 为零。于是 和 也为零。,10.2.2对称层合板,3. 多层一般正交各向异性层组成的对称层合板,多层一般正交各向异性单层对称于中面排列的层合板在弯曲和拉伸之间不存在耦合影响，即 为零。所以合力和合力矩依次由方程（10.2.12）和（10.2.13）表示。这里，由于法向力和剪应变、剪力和正应变、法向弯矩和扭转、扭转力矩和正向曲率之间的耦合影响，所有的 和 全是需要的。这种耦合影响由 刚度证实。,这类对称层合板的一个特殊分支称作正规对称角铺设层合板。该种层合板有等厚度的正交各向异性单层，且相邻单层的材料性能主方向与层合板轴成相反的角度，例如 。这样，为了对称，必须是奇数层。三层正规对称铺设层合板的简单例子示于图10-9中。,10.2.2对称层合板,图10-9 三层正规对称角铺设层合板的分解图,10.2.2对称层合板,一般正交各向异性单层组成的对称层合板的例子见表10-3。,表10-3 五层一般正交各向异性单层组成的对称层合板,包括 和 在内的上述耦合影响，对于对称角铺设层合板取特殊形式。当 （对于这类层合板的最小N值）时，可以证明这些刚度为最大，且随着N值增大，刚度按1N的比例减小。,实际上，在拉伸和弯曲刚度 和 的表达式中：,（10.2.21）,（10.2.22）,10.2.2对称层合板,显然， 和 是交错符号项的和，因为,（10.2.23）,于是，对于多层对称角铺设层合板，当其分别和其它的 和 比较时， 和 值是非常小的。,当考虑了对称性而经常有 为零的优越条件和低的 和 时，多层对称角铺设层合板比某些一般的层合板能作出更显著、实用、有利的简化。,10.2.2对称层合板,此外，多层对称角铺设层合板比简单正交铺设层合板有更大的剪切刚度，所以经常被使用。A16,A26,D16 和D26对各类问题的影响是重要的，因为即使一个小的A16或D16也可能引起和这些刚度恰好为零的情况很不相同的结果。只有在A16,A26,D16 和D26恰好为零的情况下，才可以不作进一步思考或分析。,4. 多层各向异性单层组成的对称层合板,多层各向异性单层组成的对称于中面排列的层合板的一般情况，除了由于对称而消除Bij以外，没有任何刚度的简化。刚度A16,A26,D16 和D26都存在，也不因层数的增加而趋于零。例如由各向异性单层方程 （9-30） 根据Qij矩阵导出的刚度A16，比正交各向异性单层有更多的独立的材料性能常数。因此，对这种类型则不能像其它层合板一样能作许多刚度简化。,10.2.2对称层合板,10.2.3 反对称层合板,2.3反对称层合板 经常需要对称于中面的层合板以避免弯曲和拉伸间的耦合影响。然而，层合复合材料的许多实际应用却需要不对称层合板以达到设计要求。例如，制造一个预扭的喷气涡轮叶片，耦合影响是其必要的特征。又如，如果必须增加单向纤维单层制成的层合板的剪切刚度，一种方法是把铺层与层合板轴成某种角度。为了限制在重量和成本要求的范围内，这种单层需要偶数层数，一层对一层交错定向，即 。因此，破坏了中面对称，层合板的性能特征也基本上改变了对称性。虽然所举例的层合板是不对称的，它反对称中面，而某些观点的简化也是可能的。,如果相邻单层材料主方向与层合板轴的交角反号，一般反对称层合板必须有偶数层数。此外，每一对单层必须有相同的厚度。上述规定仅在铺设角为 或 时除外；如果中心层是 或 ，则奇数层数复合定义（中心层在图形上被分为两层且看作相同方向的两层）。,各向异性单层组成的反对称层合板的刚度，不能比方程（10-18）和（10-19）中表示的刚度更简化,10.2.3 反对称层合板,（10-18）,（10-19）,（10.2.24）,然而，作为一般正交各向异性层的材料性能反对称和厚度对称的结果，拉伸耦合刚度A16为：,（10-20）,是容易视为零的，因为：,（10.2.25）,10.2.3 反对称层合板,且对称于中面的各层厚度相同，由此几何项乘以 是相同。同样，A26等于零，弯曲扭转耦合刚度D16为,（10.2.26）,因为方程（10.2.25）仍然是成立的，对称于中面两层的几何项乘以 是相同的。上述原理也适用于D26。,对于不同类型一般正交各向异性层的反对称层合板，耦合刚度Bij是不同的。事实上除了下列的合力和合力矩,（10.2.27）,（10.2.28）,之外，不存在一般表达式。,10.2.3 反对称层合板,两种重要类型的反对称层合板 a. 反对称正交铺设层合板,由正交各向异性层材料主方向与层合板轴成 和 相互交错布置的偶数层数的反对称正交铺设层板的简单例子如图10-10所示。,图10-10 反对称正交铺设层合板的分解图,10.2.3 反对称层合板,一个更复杂的例子由表10-4中给出，这种层合板没有A16,A26,D16和D26，但有弯曲和拉伸之间的耦合影响。我们将在下面说明，耦合影响是这样的，以致合力和合力矩为：,表10-4 六层特殊正交各向异性层组成的反对称层合板,（10.2.29）,（10.2.30）,正规反对称正交铺设层合板规定各层厚度相等，由于制造简单，所以是普通的层合板。随着层数增加，可证明耦合刚度B11趋于零。,10.2.3 反对称层合板,b. 反对称角铺设层合板,反对称角铺设层合板由在中面一侧与层合板坐标方向成 的层和在另一侧与轴方向成 的相应等厚度层组成。反对称角铺设层合板的简单例子示于图10-11，更复杂的例子由表10-5给出。,10.2.3 反对称层合板,图10-11两层正规对称角铺设层合板的分解图,为了便于制造，正规反对称角铺设层合板的每层厚度都相同，这类层合板可进一步限制在只有一个 单值，而表10-5中有几个 值，方向不同。,10.2.3 反对称层合板,表10-5 六层反对称角铺设层合板,反对称角铺设层合板的合力和合力矩为,（10.2.31）,（10.2.32）,对一个固定的层合板厚度，随着层数的增加，耦合刚度 B16和B26趋于零。,10.2.3 反对称层合板,10.2.4 不对称层合板,2.4不对称层合板 对于厚度为 和材料性能为 和 的多层各向同性层 的一般情况，拉伸、耦合和弯曲刚度由方程（10-20）给出，其中：,（10.2.33）,当 为任意值时，刚度不可能有特殊简化。也就是说，弯曲和拉伸的耦合作用可以由不同材料性能和可能有（但非必要）不同厚度的各向同性层不对称于中面排列而得到。因而，弯曲和拉伸间的耦合不是说明材料正交各向异性性而是说明层合板的非均匀性，亦即几何和材料性能两者的组合。合力和合力矩为：,（10.2.34）,（10.2.35）,10.2.4 不对称层合板,对多层特殊正交各向异性层组成的不对称层合板，可以证明有方程（10.2.34）和（10.2.35）表示的合力和合力矩，但A22,B22和D22分别与A11,B11和D22不同，即没有剪切耦合项。所以这种层合板问题的解与各向同性层同样容易。,多层一般正交各向异性层合多层各向异性层组成的不对称层合板的合力和合力矩不比方程（10-18）和（10-19）的形式更简单。所有刚度全部出现。因此，由这两种中任一种组成的层合板比多层各向同性层或多层特殊正交各向异性所组成的层合板更难以分析。,10.2.4 不对称层合板,10.2.5 小结,小结： 以中面为参考的单层“层合板”（当然，这种构造不是层合板，但层合板刚度必须简化为单层刚度）不存在弯曲和拉伸的耦合影响。对其它任意参考面，这种耦合影响的确存在。,一般说来，多层层合板有弯曲和拉伸之间的耦合作用。这种耦合作用受层合板的几何和材料性能的影响。然而，几何和材料性能有这样的组合，可以消除弯曲和拉伸之间的耦合影响。所有特殊情况都有重要的应用，应该很好理解。注意，根据各种特殊情况的综合，层片（各向同性、正交各向异性等）的弹性对称不是必需维持在层合板中。对称性可以增加、减少或保持相同。此外，三个刚度矩阵A,B和D的对称性毋需相同。,必须理解弯曲和拉伸之间耦合影响的基本概念，因为有许多复合材料的应用会因忽视了解耦合影响而造成破坏。这种耦合影响是正确分析偏心价肋和壳的关键。例如卡德和琼斯指出：如果纵向肋置于受轴向载荷圆柱壳的外边，其屈曲载荷是用同样的肋加于壳体里边的两倍。以前，肋和壳体之间耦合影响是被忽略的！,用各层厚度、材料性能主方向和全部铺设顺序描述层合本板是十分复杂的。然而，用下述铺设顺序术语，可使所有参数以简明扼要的方式来表示。对于正规（等厚度层）层合板，列出各层及其定向，例如 。仅需要给出材料主方。许多不同的层合板可以用同样的层片组成，例如 。对于不正规（各层厚度不相同）层合板，在以前的记号中，必须附加层厚的记号，例如 。对于对称层合板，可将 简化 对称。这种记号将在以后的章节中使用。,10.2.5 小结,