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北师大版小学数学 知识点总结,数学思想,数形结合思想 转化思想 化曲为直思想 极限思想 归纳类比思想 函数思想 概率统计思想 方程思想 建模思想,小学数学知识结构网,1.数和数的运算 2.代数的初步知识 3.应用题 4.量的计量 5.几何的初步知识 6.简单的统计,数和数的运算,1、数的分类 2、整数和小数数位排列表 3、数的读法和写法 4、数的改写 5、数大小的比较 6、分数和小数的基本性质 7、四则运算的意义 8、四则运算的法则 9、四则混合运算的运算顺序 10、运算定律与简便算法 11、数的其它运算,1、数的分类,2、整数和小数数位顺序表,1、数位：各个计数单位所占的位置，叫做数位。,3、数的读写,4、数的改写,1、整数改写成用“万”或“亿”作单位的数：只要在“万”位或（“亿”位）的右下角点上小数点，再在这个数的末尾添上“万”字（或“亿”字）。 2、小数改写成分数：先改写成分母是10，100，1000的分数再约分。 3、小数改写成百分数：先把小数点向右移动两位，添上“%”。 4、分数改写成小数：如果是带分数要先化成假分数，再用分数的分子去除以分母。 5、分数改成百分数：先改写成小数，再改写。 6、百分数改写成小数：先去掉“%”号，再把小数点向左移两位。 7、小数改写成百分数：先把小数点向右移动两位，同时加上“%”号。 8、省略一个数某一位后面的尾数，写成近似数。 （1）用“四舍五入”法：看要保留的这一位后一位的数是否满5，如果满5就向前一位进一；否则，则舍去尾数。 （2）进位法：一般用于在材料需求上，只要保留的数位后面还有数，就向前一位进1。 （3）去尾法：把保留的数位后面所有数去掉。,5、数大小的比较,1、比较两个整数的大小： 1）如果位数不同，那么位数多的数就大； 2）如果位数相同，左起第一位上的数大的那个数就大； 3）如果左起第一位上的数相同，就比较左起第二位上的数 2、比较两个小数的大小： 1）先看它们的整数部分，整数部分大那个数就大， 2）整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大； 3）十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大。 3、比较两个分数的大小： 1）分子相同的，分母小的那个数就大； 2）分母相同的，分子大的那个数就大； 3）异分母分数，用通分的方法转化成同分母分数再比较。 4、比较两个不同类型的数的大小： 先把这两个数化成相同类型的数，再比较。,6、分数和小数的基本性质,1、一个数加上0，还得原数。 2、一个数减去0，还得原数。 3、被减数等于减数，差是0。 4、一个数和1相乘，仍得原数。 5、一个数和0个乘，仍得0。 6、一个数除以1还得原数。 7、0除以一个非零的数还得0。 8、0不能作除数，0也不能作分母。 9、被除数等于除数，商是1。 10、0没有倒数，1的倒数是1。 11、在除法里，被除数和除数，同时乘以或者除以相同的数（0除外），商不变。 12、在乘法里，一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）若干倍，积也扩大（或缩小）相同的倍数。 13、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 14、小数的基本性质：小数的未尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。 15、小数点位置移动引起小数大小变化规律： 小数点向右移动一位，原来的数就扩大10倍； 小数点向左移动一位，原来的数就缩小10倍； 小数点向右移动两位，原来的数就扩大100倍； 小数点向左移动两位，原来的数就缩小100倍；,7、四则运算的意义,* 注意：整数四则运算的意义对其它数也适用。,8、四则运算的法则,1、整数加、减计算法则： 1）要把相同数位对齐，再把相同计数单位上的数相加或相减； 2）哪一位满十就向前一位进。 2、小数加、减法的计算法则： 1）计算小数加、减法，先把各数的小数点对齐（也就是把相同数位上的数对齐）， 2）再按照整数加、减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点点上小数点。 （得数的小数部分末尾有0，一般要把0去掉。） 3、分数加、减计算法则： 1）分母相同时，只把分子相加、减，分母不变； 2）分母不相同时，要先通分成同分母分数再相加、减。,8、四则运算的法则,4、整数乘法法则： 1）从右起，依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数，乘到哪一位，得数的末尾就和第二个因数的哪一位对个因数的哪一位对齐； 2）然后把几次乘得的数加起来。 （整数末尾有0的乘法：可以先把0前面的数相乘，然后看各因数的末尾一共有几个0，就在乘得的数的末尾添写几个0。） 5、小数乘法法则： 1）按整数乘法的法则算出积； 2）再看因数中一共有几位小数，就从得数的右边起数出几位，点上小数点。 3）得数的小数部分末尾有0，一般要把0去掉。 6、分数乘法法则：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。能约分的先约分。,7、整数的除法法则 1）从被除数的高位起，先看除数有几位，再用除数试除被除数的前几位，如果它比除数小，再试除多一位数； 2）除到被除数的哪一位，就在那一位上面写上商； 3）每次除后余下的数必须比除数小。 8、除数是整数的小数除法法则： 1）按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐； 2）如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面补零，再继续除。 9、除数是小数的小数除法法则： 1）先看除数中有几位小数，就把被除数的小数点向右移动几位，数位不够的用零补足； 2）然后按照除数是整数的小数除法来除 10、分数的除法法则： 甲数除以乙数（零除外）等于甲数乘以乙数的倒数。,8、四则运算的法则,11、加法的验算 1）交换加数的位置再算一次； 2）用得数来减去其中一个加数，得数和另一个另数相同。 12、减法的验算 1）用被减数减去差，和减数相同。 2）用减数加上差，等于被减数。 13、乘法的验算： 1）交换加因数的位置再算一次。 2）积除以其中一个因数，商等于另一个因数。 14、除法的验算： 1）用被除数除以所得的商，得数等于除数。 2）用除数乘上所得的商，得数和被除数相同。 * 注意：上面的验算方法对所有数都适用。,8、四则运算的法则,9、四则混合运算的运算顺序,（一） 1、加减法各部分间的关系： 2、乘除法各部分间的关系： 一个加数 = 和 另一个加数 一个因数 = 积 ÷ 另一个因数 被减数 = 减数 + 差 被除数 = 商 × 除数 减数 = 被减数 - 差 除数 = 被除数 ÷ 商 （二）运算顺序： 1、加法和减法叫做第一级运算，乘法和除法叫做第二级运算。 2、在一个没有括号的算式里，如果只含同一级运算，要从左往右依 次计算；如果含有两级运算，要先做第一级运算，后做第二级运算。 3、有括号的算式里，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。,例1：8.5（5.64.8）×13,例2：29.83.4×（5.6+0.7）÷3.1,10、运算定律与简便算法,一、运算定律： 1、加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。即：a+b=b+a 2、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。即：a×b=b×a 3、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再同第三个数相加；或者先把后两个数相加，再同第一个数相加，它们的和不变。即：(a+b)+c=a+(b+c) 4、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再同第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再同第一个数相乘，它们的积不变。即：(a×b)×c=a×(b×c) 5、乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加结果不变。即a×b+a×c=a×(b+c),二、简便运算 1、加减计算：1）480+325+75 = 480+（325+75）= 480+400 = 880 2）137+31+63 =（137+63）+31 = 200+31 = 231 3）13046-34 = 130-（46+34）= 130-80 = 50 4）43764137 =（437137）64 = 30064 = 236 5）25699 = 56100+1 = 156+1 = 157 6）795+198 = 795+2002 = 9952 = 993 2、乘除计算：1）43×25×4 = 43×（25×4）= 43×100 = 4300 2）125×17×8 =（125×8）×17 = 1000×17 = 17000 3）25×16 = 25×（4×4）=（25×4）×4 = 100×4 = 400 4）102×43 =（100+2）×43 = 100×43+2×43 = 4300+86 = 4386 5）9×37+9×63 = 9×（37+63）= 9×100 = 900 6）420÷28 = 420÷（7×4）= 420÷7÷4=60÷4 = 15,11、数的其它运算,1、求一个整数的约数：从1开始，分别用整数“1“到“ “数来除数，能整除数的数就是的约数。 2、求一个整数的倍数：从1开始，分别用任意整数乘数就能得到的倍数： 如：7的倍数有：7（7×1），14（7×2），21（7×3）。 3、分解质因数：把一个整数用质因数相乘的形式表示出来：可用短除法一般从最小的质数2开始试起，依次用质数来除这个数，除到商也是质数为止。 4、短除法：同时用质数去除这两个数一直除到商是质数为止。 5、求两个数的最大公约数。 1）如果两个数是互质数，那么这两个数的最大公约数就是1。 2）如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。 3）用短除法把两个数分解质因数，再把所有的质因数乘起来。 6、求几个数的最小公倍数： 1）如果两个数是互质数，那么它们的最小公倍数就是这两数的积。 2）如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是它们的最小公倍数。 3）用短除法把几个数分解质因数，再把所有的质因数和商乘起来。,7、求一个数的倒数。 1）求一个整数的倒数，只要用这数作分母，用1作分子，所得的数就是这个数的倒数。如：3的倒数是1/3。 2）求一个分数的倒数，只要交换分子和分母的位置所得的分：把一个分数化成分子和分母都比较小但分数的过程大小不变。 8、求一个数的最简分数，根据分数的基本性质把分数的分子、分母同时除以它们的最大公约数。 9、约分：把一个分数化成分子和分母都比较小但分数的大小不变的过程叫做约分。 10、通分：把两个分数化成同分母分数。 11、判断一个分数能否化成有限小数： 1）先把这个分数化成最简分数。 2）再把所得最简分数的分母分解质因数。 3）如果分母只含2和5两种质因数，那么这个分数就能化成有限小数，否则，就不能化成有限小数。,代数的初步知识,1、用字母表示数可以简明地表达数量关系。运算定律和计算公式，为研究和解决问题带来很多方便。 例如：a乘4.5可以写做a×4.5还可以写作4.5a。 2、含有未知数的等式叫做方程。 3、使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 4、求出方程的解的过程叫做解方程，在小学里，我们主要是应用加、减、乘、除法中各部分间的关系来解方程。,(一)代数初步知识,1、比：两个数相除，又叫做两个数的比。 2、比值：把比的前项除以后项所得的商叫做比值。 3、比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。 4、比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等到于两个内项的积。 5、解比例：根据比例的基本性质，求比例中的末知项，叫做解比例。 6、比例尺：图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺 图上距离:实际距离比例尺或图上距离/实际距离比例尺 7、成正比例的量 （1）两种相关的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 （2）正比例关系：/（一定） 8、成反比例的量 （1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 （2）反比例关系：×（一定）,（二）比和比例,应用题,1、解应用题的一般步骤,1、弄清题意，找出数量间的相等关系； 2、用未知数表示所求数量，列出方程； 3、解方程； 4、检验，并写出答案。,（三）列方程解应用题的一般过程：,1、弄清题意，找出已知条件和所求问题； 2、分析题里的数量关系，确定先算什么，再算什么； 3、根据题意，列出算式，算出得数； 4、检验，并写出答案。,（二）解应用题的一般过程：,（一）常见的数量关系：,1、收入-支出=结余 2、单价×数量=总价 3、单产量×数量=总产量 4、速度×时间=路程 5、工效×时间=工作总量 6、本金×利率×时间=利息 7、发芽种子数÷试验种子数×100%=发芽率 8、应纳税额÷各种收入×100%=税率,典型应用题的概念及计算方法,量的计量,回首页,1、常用计量单位表,1、常用计量单位表,2、名数的改写,1、名数：含有单位名称的数叫做名数。 2、单名数：只含一个计量单位的名数叫单名数。 3、复名数：含有两个或两个以上的计量单位的名数叫复名数。 4、把高级单位的名数改写成低级单位的名数用进率去乘。如： 把低级单位的名数改写成高级单位的名数用进率去除。如：,数 5 米 名数 单位名称,3时 20分=（ ）分 60×320=200, 2.6吨=（ ）吨（ ）千克 1000×0.6,3080克=（ ）千克（ ）克 3080÷1000=380,5分 45秒=（ ）分 545÷60=5.75,1、平面图形的分类及概念,2、立体图形的分类及概念,3、平面图形的周长、面积计算公式表,立体图形的表面积、体积计算公式表,5、其它的几何概念,1、距离：从直线外一点到这条直线所垂直线段的长度叫做距离。 2、三角形的内角和等于180°。 3、周长：围成一个图形的所有边长的总和叫做这个图形的周长。 4、面积：物体的表面或围成的平面图形的大小，叫做它们的面积。 5、表面积：一个立体图形所有的面的面积总和，叫做它的表面积。 6、体积：一个立体图形所占空间的大小，叫做它的体积。 7、容积：一个容器所能容纳物体体积的多少叫做该容器的容积。 8、角的计量单位是“度“，用符号“°“表示。 9、角的大小要看两条边叉开的大小，叉开的越大，角越大。角的大小与角的两边画出的长短没有关系。 10、平行线间的距离都相等。 11、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合。这个图形叫做轴对称图形。 12、对称轴：这条直线叫做对称轴。 13、两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。,6、关于几何的一些操作知识,2、垂线的画法： 1）过直线上一点画这条直线的垂线。 2）过直线外一点画这条直线的垂线。,1、画一个角的步骤如下： 画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，零刻度线和射线重合； 在量角器所取刻度线的地方点一个点； 以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。,3、画平行线的步骤是： 固定三角板，沿一条直角边先画一条直线； 用直尺紧靠三角板的另一条直线边， 固定直尺然后平移三角板； 再沿一条直角边画出另一条直线,4、例：画一个长是2.5厘米，宽是2厘米的长方形。画的步骤如下： 画一条2.5厘米长的线段； 从画出的线段两端，在同侧画两条与这条线段垂直的线段，使它们分别长2厘米。 把这两条线段另外的端点连接起来。,5、圆的画法： 分开圆规的两脚，在直线上确定半径： 固定圆规有针尖的脚，确定圆心； 旋转有铅笔尖的一只脚画出一个圆。,简单的统计,五、几何的初步知识,六、简单的统计,回首页,统计的方法,（1）收集数据：对于静止的事物一般直接“数”出数量。 对于流动的事物一般用“画正字”的方法获取数量。 （2）整理数据：找出数据的范围，最大是多少，最少是多少； 根据实际情况把数据分成几个组； 按组记录数据。 （3）制作统计图（表）。,一、条形统计图：用一个单位长度表示一定的数量,根据数量的多少画成长短不同的直条,然后把这些直条按一定的顺序排列起来。从条形统计图中很容易看出各种数量的多少。条形统计图一般简称条形图,也叫长条图或直条图 制条形统计图的一般步骤： 根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。 在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔。 在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。 按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量。,统计图的分类及制作方法,二、折线统计图是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。 制折线统计的步骤与制条形统计图基本相同，只是不画直条，而是按照数据大小描出各点，再用线段顺次连接起来。,三、扇形统计图：用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数。通过扇形统计可以清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系。 制作扇形统计图的一般步骤是： 先算出各部分数量占总数量的百分之几。 再算出表示各部分数量的扇形的圆心角度数。 取适当的半径画一个圆，并按照上面算出的圆心角的度数，在圆里面画出各个扇形。 在每个扇形中标明所表示的各部分数量名称和所占的百分数，并用不同的颜色或条纹把各个扇形区别开。,有关角的一些知识,1锐角的定义 人教版 第六册中对锐角的定义是 “小于90度的角叫做锐角” 第十册中又补充为 “大于0度而小于90度的角叫做锐角” 教材的编写意图是为了更加适应该学段学生的认知能力和水平，三年级学生的理解能力和认知水平比较有限，可能无法理解0度角，所以只定义为“小于90度的角叫做锐角”，而五年级学生认知理解的能力和水平都提高了，能够理解0度角了，所以才将原来片面的说法纠正过来了。至于在教学中，教师可以根据本班学生的具体情况而决定如何定义锐角。,20度角是不是锐角 0度的角也是角，是一种特殊的角，但不是锐角。 我们现在研究的锐角是指“大于0度而小于90度”这个范围中的角。 3能否说0度角是一条射线 既然是角，就应该是从一个顶点引出的两条射线组成的，0度角也不例外，只是两条射线重合在一起，可以说看似是一条射线，但不能说只有一条射线。,4大于180度小于360度的角是什么角 大于180度而小于360度的角叫做优角。 小于平角的角叫做劣角. 如：锐角、直角、钝角等都是劣角。 在小学数学中，一般只出锐角、直角、钝角、平角、周角等名称，这些都可以在量角的基础上来认识，在认识直角的基础上，引出其他的角。,对数学、教材的再认识 数学是什么？ 数学就是一种思想方法。 数学的教学就是思想方法的教学。 数学教学只有“通过以思想方法的分析来带动具体数学知识的获得”，才能把数学课“讲活、讲懂、讲深”。 教材是什么？ 教材无非是个例子，是一个载体；教材更是一个方向，一个学习方案，一种思维方法；但我们更希望教材是一个“引子”。引发我们对教学资源的整合，对更多数学思想的思考，理解教材，读出教材应有的厚度。领会教材，才能走出教材。,