高二数学课件：4.4 《生活中的优化问题举例》.ppt
44 生活中的优化问题举例,生活中经常遇到求利润最大，用料最省，效率最高等问题，这些问题通常称为 通过前面的学习，我们知道 是求函数最大(小)值的有力工具，运用 ，可以解决一些生活中的 解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系，这需通过分析、联想、抽象和转化完成函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域是开区间，函数在开区间上有惟一的极值，则它就是函数的最值,自学导引,1,2,优化问题,导数,导数,优化问题,数学建模,利用导数解决实际问题中的最值问题时应注意什么？ 提示 (1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去 (2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f(x)0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值 (3)在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的定义区间,自主探究,有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形 场地的最大面积为 ( ) A32 m2 B18 m2 C16 m2 D14 m2 解析 设矩形长为x m，则宽为(8x)m，矩形面积Sx(8x)(0x8) 令S82x0，得x4 m，此时Smax4216(m2) (当然也可用配方法或基本不等式法求最值) 答案 C,预习测评,1,以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形的面积的最大值为 ( ) A10 B15 C25 D50 解析 法一：如图，设NOB，则矩形面积为S5sin ·2·5cos 25sin 2，故Smax25.,2,答案 C,如右图所示，某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为_,3,答案 32米，16米,用总长为6 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为34，那么容器容积最大时，高为_m.,4,答案 0.5,利用导数解决实际问题的一般方法 (1)细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最值的变量y与自变量x，找出变量y与x的关系，即列出函数关系yf(x)，再根据实际问题确定函数yf(x)的定义域，这样就把实际问题转化成了数学问题 (2)求f(x)，解方程f(x)0，求出定义域内所有的实数根 (3)比较函数在各个根和端点处的函数值的大小，根据问题的实际意义确定函数的最大值或最小值,要点阐释,注意：求实际问题的最值时，一定要考虑问题的实际意义，不符合实际意义的理论值要舍去 在实际问题中，若在函数的定义域内，使f(x)0成立的值只有一个，且函数在这一点处取得极大(小)值，则不与端点值比较，也可以知道这就是最大(或小)值,在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去边长相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？,典例剖析,题型一 容积(或面积)最大问题,【例1】,答：当箱底边长为40 cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000 cm3. 点评 在实际问题中，有时会遇到函数在定义区间内只有一个点使f(x)0.如果函数在该点取得极大(小)值，极值就是函数的最大(小)值,做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27，且用料 最省，则圆柱的底面半径为_,1,答案 3,题型二 时间、费用最省问题,点评 利用导数的方法解决实际问题，要注意构造函数，但与解决一般的函数问题有区别，即注意利用导数所求出的函数最值点是否符合现实问题的要求,一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10 km/h时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以_ km/h的速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小,2,答案 20,某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0x30)的平方成正比已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件 (1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 解 (1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f(x)元，则依题意有 f(x)(30x9)(432kx2)(21x)(432kx2) 又由已知条件24k·22，于是有k6， 所以f(x)6x3126x2432x9 072，x0,30,题型三 利润最大问题,【例3】,点评 利润(收益)销售额成本，在有关利润(收益)的问题中，注意应用此公式列函数式,所以每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元 点评 关于利润最大问题，利润等于收入减去成本，而收入等于产量乘价格，由此可得出利润与产量的函数关系式，再用导数求最大利润,甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元 (1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？,误区警示 忽略实际问题中函数的定义域致误,【例4】,纠错心得 在运用导数解决实际问题的过程中，忽略实际问题中函数的定义域而造成结果求解错误解决问题的主要措施为：在准确理解题意的基础上，正确建立数学模型，在实际问题中的定义域范围内找出问题的最优解.,
