高考专题【全程复习方略】（福建专版）2014高考数学第二章第十二节导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例课件理.ppt

第十二节 导数在研究函数中的应用 与生活中的优化问题举例,1.利用导数研究函数的单调性,单调递增,常数,单调递减,【即时应用】 (1)函数f(x)=1+x-sinx在(0,2)上的单调情况是_. (2)函数y3x26ln x的单调递增区间为_，单调递减区间为_. 【解析】(1)在(0，2)上有f(x)=1-cosx0，所以f(x)在(0,2)上单调递增.,(2)y=3x2-6lnx，y6x y=3x2-6lnx的定义域为(0，)， 由y0得x1， 单调递增区间为(1，)； 由y0得0x1. 单调递减区间为(0,1). 答案：(1)单调递增 (2)(1，+) (0，1),2.函数的极值与导数 (1)函数极值的定义,f(c)f(x),f(c)f(x),0,(2)驻点 若f(c)=0,则_叫作函数f(x)的驻点. (3)求函数极值的方法 求导数f(x); 求f(x)的驻点，即求_的根； 检查f(x)在驻点左右的符号，如果在驻点左侧附近为_， 右侧附近为_，那么函数y=f(x)在这个驻点处取得极大值；如 果在驻点的左侧附近为_，右侧附近为_，那么函数y=f(x)在 这个驻点处取得极小值.,x=c,f(x)=0,正,负,负,正,【即时应用】 (1)判断下列结论的正误.(请在括号中填“”或“×”) 导数为零的点一定是极值点 ( ) 如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0) 是极大值 ( ) 如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0) 是极小值 ( ) 如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0) 是极大值 ( ),(2)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点的个数为_. (3)设函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是_.,【解析】(1)由极值的定义可得，只有正确； (2)从f(x)的图象可知f(x)在(a，b)内从左到右的单调性依次为增减增减，所以f(x)在(a，b)内只有一个极小值点；,(3)f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1既有极大值又有极小值， f(x)=3x2+2ax+a+6的图象与x轴有两个不同的交点， =(2a)2-12(a+6)0， 解得a6. 答案：(1)× × × (2)1 (3)a6,3.求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的_. (2)将函数y=f(x)的所有极值与_比 较，其中_的一个是最大值，_的一个是最小值.,极值,端点处的函数值f(a)、f(b),最大,最小,【即时应用】 (1)思考：最值是否一定是极值？ 提示：最值不一定是极值.如果最值在端点处取得就不是极值. (2)函数f(x)=3x-4x3在区间0,1上的最大值是_. 【解析】由f(x)=3-12x2=0得x=± ， f(0)=0，f( )=1，f(1)=-1，f(x)max=1. 答案：1,(3)函数f(x) ex(sinxcosx)在区间0， 上的值域为_. 【解析】f(x) ex(sinxcosx) ex(cosxsinx) excosx，当0x 时，f(x)0， f(x)是0， 上的增函数. f(x)的最大值为f( ) ， f(x)的最小值为f(0) .故值域为 ， . 答案： ， ,4.三次函数F(x)的单调区间和极值 设F(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),则F(x)=3ax2+2bx+c.,分类,性质,(-,+),(-,+),(-,+),(-,+),分类,性质,(u,v),(-,u)、(v,+),(-,u)、(v,+),(u,v),【即时应用】 (1)函数f(x)=x3-3x2+1的单调递减区间是_. (2)若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是_. (3)函数f(x)=x3+3x2+4x-a的极值点的个数是_. (4)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取极值10，则f(2)=_.,【解析】(1)由已知得f(x)=3x2-6x，令f(x)=3x2-6x=0，解得x=0或x=2，当x0，当02时f(x)0， 所以函数f(x)=x3-3x2+1的单调递减区间是(0,2). (2)函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y=3x2+2x+m0恒成立， 即=4-12m0，m . (3)f(x)=3x2+6x+4=3(x+1)2+10，则f(x)在R上是增函数，故不存在极值点.,(4)f(x)=3x2+2ax+b，由题意 , 即 ,得a=4或a=-3. 但当a=-3时，b=3,f(x)=3x2-6x+30，故不存在极值，a=4，b=-11，f(2)=18. 答案：(1)(0,2) (2) ,+) (3)0 (4)18,5.利用导数研究生活中的优化问题 (1)生活中常遇到求利润最大，用料最省，效率最高等一些实际问题，这些问题通常称为优化问题. (2)利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：,【即时应用】 (1)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位： 万件)的函数关系式为y=- x3+81x-234，则使该生产厂家获得 最大年利润的年产量为_. (2)将边长为1 m的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成 两块，其中一块是梯形，记S= ,则S的最小值是 _.,【解析】(1)y=-x2+81,令y=0得 x=9或x=-9(舍去)，当x9时y0； 当x9时y0，故当x=9时函数有极大值，也是最大值； 即该生产厂家获得最大年利润的年产量为9万件.,(2)设剪成的小正三角形的边长为x， 则：S= = S(x)= S(x)= =,令S(x)=0(0x1),得x= , 当x(0, )时，S(x)0,S(x)递减； 当x( ,1)时，S(x)0,S(x)递增； 故当x= 时，S取得最小值 . 答案：(1)9万件 (2),热点考向 1 利用导数研究函数的单调性 【方法点睛】 1.导数在函数单调性方面的应用 (1)利用导数判断函数的单调性； (2)利用导数求函数的单调区间； (3)已知函数单调性，求参数的范围.,2.导数法求函数单调区间的一般步骤 (1)求定义域：求出函数y=f(x)的定义域. (2)求根：求导数f(x)=0在定义域内的根. (3)划分区间：用求得的根划分定义域所在的区间. (4)确定符号：确定f(x)在各个区间内的符号. (5)结果：据f(x)的符号得相应区间上的单调性. 【提醒】当f(x)不含参数时，也可通过解不等式f(x)0(或f(x)0)直接得到单调递增(或递减)区间.,【例1】(1)(2013·三明模拟)已知函数f(x)=x2+3x-2ln x，则 函数f(x)的单调递减区间为( ) (A) (B) (C)(-,-2) (D) (2)(2012·北京高考改编)已知函数f(x)=ax2+1(a0),g(x) =x3+bx. 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公切 线,求a,b的值; 当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间.,【解题指南】(1)保证函数有意义的前提下，利用f(x)0求 解. (2)利用交点既在曲线y=f(x)上,也在曲线y=g(x)上，在公切 点处导数相等，构造方程组求解；构造函数F(x)=f(x)+g(x)， 再利用导数求单调区间. 【规范解答】(1)选D.函数f(x)=x2+3x-2ln x的定义域为 (0,+).因为 令 即2x2+3x-2 0，解得 又x0，所以 故函数f(x)的单调递减区间为,(2)f(x)=2ax,g(x)=3x2+b， 由已知可得 解得a=b=3.,令F(x)=f(x)+g(x)= F(x)= 令F(x)=0，得 a0,x10得， 由F(x)0得， 单调递增区间是 单调递减区间为,【互动探究】在本例题(2)中，若条件不变，讨论函数f(x) +g(x)当a0时，在区间(-，-1)上的单调性. 【解析】由本例答案知，当a0时，函数的单调递增区间是 单调递减区间为 当 即0a2时，f(x)+g(x)在(-，-1)上为增函数； 当 即2a6时，f(x)+g(x)在 上单调递 增，在 上单调递减；,当 即a6时，f(x)+g(x)在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增. 综上，当0a2时，f(x)+g(x)在(-,-1)上为增函数; 当2a6时，f(x)+g(x)在 上单调递增，在 上单调递减; 当a6时，f(x)+g(x)在 上单调递增，在 上 单调递减，在 上单调递增.,【变式备选】已知函数f(x)=x3-ax-1. (1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数a,使f(x)在(-1，1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.,【解析】(1)由已知f(x)=3x2-a, f(x)在(-,+)上单调递增， f(x)=3x2-a0在(-,+)上恒成立， 即a3x2对xR恒成立. 3x20,只需a0, 又a=0时，f(x)=3x20,且只有f(0)=0, 故f(x)=x3-1在R上是增函数，a0.,(2)由f(x)=3x2-a0在(-1,1)上恒成立， 得a3x2在(-1,1)上恒成立. -1x1,3x23,只需a3. 当a=3时，f(x)=3(x2-1), 在(-1,1)上，有f(x)0, 即f(x)在(-1，1)上为减函数，a3. 故存在实数a3,使f(x)在(-1，1)上单调递减.,热点考向 2 利用导数研究函数的极值(最值) 【方法点睛】 应用函数极值应注意的问题 (1)注意极大值与极小值的判断. (2)已知极值求参数的值:注意f(x0)=0是函数y=f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件. (3)数形结合求参数的范围.利用导数研究了函数的单调性和极值后，可以画出草图，进行观察分析，确定满足条件的参数范围.,【例2】设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f(x),若函数y=f(x) 的图象关于直线x=- 对称，且f(1)=0. (1)求实数a,b的值; (2)求函数f(x)的极值. 【解题指南】y=f(x)的图象是抛物线，易确定对称轴，从而 可求a，b；然后按照求函数极值的步骤求极值即可.,【规范解答】(1)f(x)=6x2+2ax+b=6(x+ )2+b- ，函数 y=f(x)的图象关于直线x=- 对称，所以- =- a=3， 又f(1)=06+2a+b=0b=-12； (2)由(1)知f(x)=2x3+3x2-12x+1,f(x)=6x2+6x-12，令 f(x)=0得x1=-2,x2=1； 所以函数f(x)在(-,-2)上递增，在(-2,1)上递减，在(1,+) 上递增，所以函数f(x)在x=-2处取得极大值f(-2)=21，在x=1 处取得极小值f(1)=-6.,【反思·感悟】1.求函数的极值时，一定要注意观察极大值与极小值的情况，否则极易弄混极大值、极小值. 2.利用导数研究了单调性和极值，就可以大体知道函数的图象，为数形结合解题提供了方便.,3.函数最值的求解策略 (1)根据最值的定义，求在闭区间a,b上连续，开区间(a,b)内可导的函数的最值时，可将过程简化，即不用判断使f(x)=0成立的点是极大值点还是极小值点，直接将极值点与端点的函数值进行比较，就可判定最大(小)值. (2)定义在开区间(a,b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点.,【变式训练】已知函数f(x)=(x-k)ex. (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间0,1上的最小值.,【解析】(1)f(x)=(x-k+1)ex.令f(x)=0,得x=k-1,k-1将区间(-,+)分为两个区间，列表如下： 所以f(x)的单调递减区间是(-,k-1)； 单调递增区间是(k-1,+).,(2)当k-10，即k1时，函数f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)=-k；当0k-11，即 1k2时，由(1)知f(x)在0,k-1)上单调递减，在(k-1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k-1)=-ek-1.当k-11,即k2时，函数f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)=(1-k)e. 综上，当k1时，f(x)在区间0,1上的最小值为-k； 当1k2时，f(x)在区间0,1上的最小值为-ek-1； 当k2时，f(x)在区间0,1上的最小值为(1-k)e.,【变式备选】(2012·莆田模拟)已知函数f(x)= +lnx. (1)当a=1时，求f(x)在 ，2上的最大及最小值； (2)当12(x-1); (3)若函数g(x)=f(x)- 在区间(1，2)上不单调，求a的取值范 围.,【解析】(1)当a=1时，f(x)= +lnx-1, f(x)= (x ,2), 令f(x)=0得x=1. f(x)0得1x2, f(x)在 ,1上单调递减，在1，2上单调递增,故f(x)min=f(1)=0，最大值为f( )与f(2)中的较大者， f( )=1-ln2,f(2)=ln2- . f(2)-f( )=2ln2- = 易知e316,f(2)f( ) 故f(x)max=1-ln2.,(2)令F(x)=(x+1)lnx-2(x-1) F(x)=lnx+ -1. 由(1)知F(x)在(1，2)上单调递增. F(x)F(1)=0. 故F(x)在(1，2)上单调递增， F(x)F(1)=0. 即(x+1)lnx2(x-1).,(3)g(x)=f(x)- = +lnx- ， g(x)= g(x)在(1，2)上不单调， x2-ax+1=0在(1，2)上有根且无重根， 即方程a=x+ 在(1，2)上有根，且无重根. 2a .,热点考向 3 导数在实际问题中的应用 【方法点睛】 1.导数在实际问题中的应用 在求实际问题中的最值时，一般要先恰当的选择变量，建立函数关系式，并确定其定义域，然后利用导数求函数最值的方法加以解决.注意检验结果与实际是否相符.,2.实际问题中的最值 有关函数最大值、最小值的实际问题，一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题中，如果遇到函数在区间内只有一个极值点，那么不与区间端点比较，就可以知道这个极值点就是最大(小)值点.,【例3】(2011·福建高考)某商场销售某种商品的经验表明， 该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千 克)满足关系式y= +10(x-6)2，其中3x6，a为常数，已知 销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. (1)求a的值； (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商 场每日销售该商品所获得的利润最大.,【解题指南】本题为导数应用题. (1)根据x=5，y=11得a的值. (2)先将利润表示为x的函数，再根据函数关系式的结构特征，用导数求其最值.,【规范解答】(1)由题意知x=5时，y=11，所以 +10=11,解得a=2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y= +10(x-6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)=(x-3) +10(x-6)2=2+10(x-3)(x-6)2,3x6 从而f(x)=10(x-6)2+2(x-3)(x-6) =30(x-4)(x-6).,于是，当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如表所示， 由表可得，x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点. 答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.,【反思·感悟】1.解决导数的实际问题，数学建模是关键，恰当变量的选择，决定了解答过程的繁简；函数模型的确定，决定了能否解决这个问题. 2.解决导数的实际问题必须考虑实际意义，忽视定义域，往往是这类题目失分的主要原因.,【变式训练】(2012·南平模拟)某工厂每天生产某种产品最多 不超过40件，并且在生产过程中产品的正品率P与每日生产产 品件数x(xN*)间的关系为P= ,每生产一件正品盈利 4 000元，每出现一件次品亏损2 000元.(注：正品率=产品的 正品件数÷产品总件数×100%) (1)将日利润y表示成日产量x的函数； (2)求该厂的日产量x为多少件时，日利润y最大？并求出日利 润y的最大值.,【解析】(1)y=4 000· ·x-2 000(1- )·x =3 600x- x3， 所求的函数关系式是y=- x3+3 600x(xN*,1x40).,(2)显然y=3 600-4x2，令y=0,解得x=30. 当1x0;当30x40时，y0. 函数y=- x3+3 600x(xN*,1x40)在1，30)上是单调 递增函数，在(30，40上是单调递减函数. 当x=30时，函数y=- x3+3 600x(xN*，1x40)取最大 值，最大值为- ×303+3 600×30=72 000(元). 该厂的日产量为30件时，日利润最大，其最大值为72 000元.,【变式备选】(2012·莆田模拟)某企业科研课题组计划研发一种新产品，根据分析和预测，能获得10万元1 000万元的投资利益.企业拟制订方案对课题组进行奖励.奖励方案为：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过投资收益的20%，同时奖金不超过9万元，并用函数y=f(x)模拟这一奖励方案. (1)试写出模拟函数y=f(x)所满足的条件； (2)试分析函数模型f(x)=4lgx-3是否符合奖励方案的要求？并说明你的理由.,【解析】(1)由题意，模拟函数y=f(x)所满足的条件是： y=f(x)在10，1 000上是增函数；f(x)9; f(x) x. (2)函数模型f(x)=4lgx-3符合奖励方案.理由： 对于函数f(x)=4lgx-3，显然在10，1 000上是增函数,满足条件， 又当x10,1 000y1,9从而满足条件，,下面证明f(x) x，即4lgx-3 x， 设g(x)=4lgx-3- x(10x1 000), g(x)= 因为e lgelg = , 则20lge10, 则g(x)0对x10,1 000恒成立，所以g(x)=4lgx-3- x 在10，1 000上递减， 则g(x)g(10)=-10，即4lgx-3- x0恒成立， 所以f(x) x，满足条件.,1.(2012·大纲版全国卷)已知函数yx3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c( ) (A)-2或2 (B)-9或3 (C)-1或1 (D)-3或1 【解析】选A.设y=f(x)，f(x)=3(x+1)(x-1)，当x=-1或x=1时取得极值，f(1)=0或f(-1)=0，即c-2=0或c+2=0，解得c=2或c=-2.,2.(2011·湖南高考)设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图象 分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为( ) (A)1 (B) (C) (D),【解析】选D.由题意|MN|=t2-lnt(t0)， 不妨令h(t)=t2-lnt，则h(t)=2t- ，令h(t)=0解得t= ， 因为t(0, )时，h(t)0，当t( ,+)时， h(t)0，所以当t= 时，|MN|达到最小.,3.(2012·陕西高考)设函数f(x)=xex，则( ) (A)x=1为f(x)的极大值点 (B)x=1为f(x)的极小值点 (C)x=-1为f(x)的极大值点 (D)x=-1为f(x)的极小值点 【解析】选D.f(x)=xex，f(x)=(xex)=ex+xex= ex(x+1)，令f(x)=0，则x=-1.当x-1时，f(x)0，x=-1为f(x)的极小值点.,4.(2012·厦门模拟)甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方 生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济 损失并获得一定净收入，在乙方不赔付的情况下，乙方的年利 润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系，x=2 000 .若乙方每生 产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格).,(1)将乙方的实际年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量； (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002t2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？,【解析】(1)因为赔付价格为 s元/吨，所以乙方的实际年利润 为：w=2 000 -st(t0)， 因为w=2 000 -st=-s( - )2+ , 所以当t=( )2时，w取得最大值.所以乙方取得最大利润的年 产量t=( )2吨.,(2)设甲方净收入为v元，则v=st-0.002t2, 将t=( )2代入上式，得到甲方净收入v与赔付价格s之间的函 数关系式 v= ,又v= = 令v=0得s=20.当s0；当s20时，v0.所以s=20 时，v取得最大值. 因此甲方向乙方要求赔付价格s为20元/吨时，获最大净收入.,