第十三章轴对称.doc

八年级（上）数学【预习案】 班别 姓名第十三章 轴对称13.1轴对称第一课时 13.1.1轴对称一、 新课引入1、观察以上图形，看看它们有什么共同特点？跟同学们交流一下.答：2、在生活中,你还能找到哪些对称的例子?答：二、学习目标1、理解轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念；2、了解轴对称图形的对称轴、对应点.三 、研读课本认真阅读课本第58至59页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程.知识点一 轴对称图形活动1把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就剪出了美丽的窗花.观察得到的窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？结论 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 _ _，这个图形就叫做轴对称图形，_就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称.练一练 如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴.知识点二 轴对称活动2下面的每对图形有什么共同特点？归纳 上图中的每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形能与右边的图形 _ .结论 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够_，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后_是对应点，叫做对称点.练一练 请你标出下图中的点A,B,C的对称点A,B,C.知识点三 轴对称图形和轴对称的联系思考（1）成轴对称的两个图形全等吗？（2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？（3）这两个图形对称吗？结论（1） 成轴对称的两个图形 .（2） 如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形 .（3） 这两个图形 .四、归纳小结1、如果一个平面图形沿一条直线 ，直线两旁的部分能够 _ ，这个图形就叫做 ，这条直线就是它的 . 2、把一个图形沿着某一条直线 ，如果它能够与另一个图形 _ ，那么就说这两个图形 _ ，这条直线叫做 ，折叠后重合的点是对应点，叫做 _ .3、成轴对称的两个图形和轴对称图形沿对称轴分成两个图形都 _.4、学习反思： .五、强化训练1、下面给出的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗?如果是,指出它们的对称轴,并找出一对对应点.2、羊字象征吉祥和美好，下图的图案与羊有关，其中是轴对称图形的有（ ） A1个 B 2个 C3个 D4个3、下列各图形是轴对称图形吗?如果是,画出它们的一条对称轴. 4、下列各图，你能找出它们的对称轴吗？有多少条? 13.1轴对称第二课时 13.1.1轴对称(2)一、新课引入1、什么叫做轴对称图形?答：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分 ，这个图形就叫做 _ _ ，这条直线就是它的 _ .2、什么叫做轴对称?答：把一个图形沿着 _ ，如果它能够与另一个图形 _ ，那么就说这两个图形 _ ，这条直线叫做 _ ，折叠后重合的点是对应点，叫做 .二、学习目标1、了解线段垂直平分线的定义；2、掌握轴对称图形的性质.三 、研读课本认真阅读课本第59至60页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程.知识点一 线段的垂直平分线1、观察下图，ABC和ABC关于直线MN对称，点A，B，C分别是点A，B，C的对称点，线段A A，B B,C C与直线MN有什么关系？答：AP PA,MPA=MPA= 点B与B，点C与C也有类似情况.因此，对称轴所在的直线经过对称点所连线段的 _ ，并且 于这条线段.定义：经过线段 并且 于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.练一练 如图,MN是线段AB的垂直平分线 _ _ 且 _ = _ _ = _ = _ 知识点二 轴对称和轴对称图形的性质1、图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么 是任何一对对应点所连线段的 _ .2、轴对称图形的性质：类似地，轴对称图形的对称轴，是 _ 对应点所连线段的 _.练一练 如图，垂直平分 ；垂直平分 ；垂直平分 .四、归纳小结1、经过线段 并且 于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.2、图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么 是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.3、轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的 _.4、学习反思： _.5、 强化训练1、 下列平面图形中，不是轴对称图形的是( )2、下列说法错误的是( )A关于某条直线对称的两个三角形一定全等B轴对称图形至少有一条对称轴C全等三角形一定能关于某条直线对称D角是关于它的平分线对称的图形3、轴对称图形中任意一组对应点的连线的_是该图形的对称轴.4、下列图形：角；两相交直线；圆；正方形.其中轴对称图形有（ ）A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个4、如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中是轴对称图形的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个5.下列图形中对称轴最多的是（ ）A.圆 B.正方形C.等腰三角形 D.长方形6.下列图形中不一定为轴对称图形的是（ ）A.等腰三角形 B.正五角星 C.梯形 D.长方形7、如图，ABC和ABC关于直线对称，B90°，AB6 cm.求 B的度数和AB的长.8、分别找出具有一条对称轴、两条对称轴、三条对称轴、四条对称轴的几何图形，并画出来(包括对称轴）.第三课时13.1.2线段的垂直平分线的性质一、新课引入画一个等腰三角形，概括一下等腰三角形的定义是什么？二、学习目标1、探究线段垂直平分线的性质并学会证明；2、学会利用尺规作直线外一点的垂线.三 、研读课本认真阅读课本第61至62页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程.知识点一 线段的垂直平分线的性质 1、如图，直线垂直平分线段AB，P1、P2、P3是上的点，分别量一量点P1、P2、P3，到点A与点B的距离，你有什么发现？结论：点P1、P2、P3，到点A的距离与它们到点B的距离分别 .即AP1=BP1，AP2=BP2，2、线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段 的距离 _.几何语言表示：PCAB且AC=CB，PA_PB3、证明线段垂直平分线的性质.如图，直线AB，垂足为C，AC=CB,点P在上.求证：PA=PB.证明：AB， _ = _ =_.在 和 中 _ _ _（公共边） ( ). .练一练 如图， ADBC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，则AB AC CE，AB+BD DE（填“”、“”“”）.知识点二 线段的垂直平分线的性质的逆定理1、线段垂直平分线的性质的逆定理与一条线段两个端点 _ ，在这条线段的 _ 上.几何语言表示：PA=PB，PC_AB且AC_CB. 2、证明线段垂直平分线的性质的逆定理已知：如图，PA=PB求证：点P在线段AB的垂直平分线上.证明：过P作PCAB,垂足为C在RtACP 和RtBCP中 _ _（ ） （ ）AC=BCPC是线段AB的垂直平分线点P在线段AB的垂直平分线上.练一练已知：如图，AB=AC，MB=MC.直线AM是线段BC的垂直平分线吗？解：直线AM_线段BC的垂直平分线.证明如下：知识点三 （尺规作图）作已知直线的垂线例1 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.已知：直线AB和AB外一点C.求作：AB的垂线，使它经过点C.作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的 _ .（2）以点C为圆心，CK长为 _ _ ，交AB于点D和E.（3）分别以点 和点 为圆心， _的长为半径作弧，两弧相交于点F.（4）作直线CF.直线CF就是所求作的垂线. . C想一想：为什么直线CF就是所求作的垂线，应用了什么性质？答：_.四、归纳小结1、线段垂直平分线上的点与这条线段 的距离 .2、与一条线段两个端点 ，在这条线段的 .3、学习反思： .五、强化训练如图，在ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE3cm，ABD的周长为13cm，求ABC的周长. 13.1轴对称第四课时 作图形的对称轴一、新课引入1、复习角平分线的作法：作AOB的平分线.二、学习目标1、掌握线段垂直平分线的作法；2、能熟练地作出图形的对称轴.三 、研读课本认真阅读课本第62至63页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程.知识点一 作成轴对称的两个图形的对称轴如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对_ 所连线段的 _ .因此，我们只要找出一对 _ ，作出连接它们的线段的 _ _ _，就可以得到这两个图形的对称轴.例2 如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？分析：A、B两点关于某条直线成轴对称，就是作出线段AB的 _ .以下作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图.作法：如图，（1）分别以点A和点B为圆心， _ 的长度为半径作弧（想一想为什么），两弧相交于C，D两点；（2）作直线_._就是所求作的直线.温馨提示：1、作弧时半径一定要大于，否则两弧就没有两个交点.2、我们也可以用这种方法确定线段的中点.练一练 如图，与图形A成轴对称的是哪个图形？作出它们的对称轴.知识点二 作轴对称图形的对称轴1、对于轴对称图形，只要找到任意一组_，作出对应点所连线段的_，就得到此图形的对称轴.2、如图所示，五角星是轴对称图形吗？它有几条对称轴？请用尺规作出这些对称轴.练一练1、作出下列图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？2、如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？4、 归纳小结1、 口述线段垂直平分线的作法.2、 回顾如何作出图形的对称轴.3、学习反思： .五、强化训练1、如图，与图形A成轴对称的是哪个图形？作出它们的对称轴. 2、 ABC和ABC是轴对称图形，请作出关于ABC和ABC对称的对称轴.3、如图，A、B两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂分别向两村供水.若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？请画出图形.说说你的理由！13.2 画轴对称图形第五课时 画轴对称图形（1）一、新课引入试一试，在一张半透明的纸的左边部分，画一只左脚印，把这张纸对折后描图，打开对折的纸，就能得到相应右脚印. 二、学习目标1、理解并掌握关于直线对称的图形的性质；2、会画出一个图形关于直线对称的图形.三 、研读课本认真阅读课本第67至68页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程.知识点一 画轴对称图形1、由一个平面图形可以得到与它关于一条直线对称的图形，这个图形与原图形的 、 完全相同；新图形上的每一个点都是原图形上的某一个点关于 的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴 _ .2、几何图形都可以看作由 _ 组成，对于某些图形，只要画出图形中的一些 _ （如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的 _.例1 如图，已知ABC和直线，画出与ABC关于直线对称的图形.分析： ABC可以由三个 的位置确定，只要能分别画出这三个_关于直线的 _ ，连接这些 ，就能得到要画的图形.画法：如图，（1）过点A画直线的 _ ，垂足为O,在垂线上截取OA _ ，A就是点A关于直线的对称点；（2）同理，分别画出点B,C关于直线的对称点B,C；（3）连接 、 、 .则ABC即为所求.练一练1、如图，把下列图形补成关于直线对称的图形.2、用纸片剪一个三角形，分别沿它一边的中线、高、角平分线对折，看看哪些部分能够重合，哪些部分不能重合.四、归纳小结1、口述画轴对称图形的作法.2、一个平面图形关于一条直线对称的图形，连接任意一对对应点的线段被对称轴 .3、学习反思： .五、 强化训练1、下列英文字母：S,E,Q,U,R,A,N中，可以看作是轴对称图形的有 _.2、小明从镜中看到电子钟示数是12：01，则此时时间是（ ）A12：01 B. 10：51C. 11：59 D. 10：213、如图，将各图形补成关于直线对称的图形.4试分别作出已知图形关于给定直线的对称图形（1）（2）13.2 画轴对称图形第六课时 用坐标表示轴对称一、新课引入如图是一幅老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的.如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y 轴建立平面直角坐标系，根据如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗?答：二、学习目标1、掌握关于x，y 轴对称的点的坐标特征；2、掌握在平面直角坐标系中作已知图形的轴对称图形.三 、研读课本认真阅读课本第69至70页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程.知识点一 关于x，y 轴对称的点的坐标在平面直角坐标系中，画出下列已知点及其关于坐标轴的对称点，并把它们的坐标填入表格中，对称点的坐标有怎样的规律？ 归纳点（x，y）关于x 轴对称的点的坐标是（ _ ， _ ）； 点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（ _ ，_ ）.练一练1、 点A（2，-2）关于x轴对称的点的坐标是（ _ ，_ ）.2、点A（-4，3）关于y 轴对称点是点B，则B点坐标是（ _ ， _ ）.3、分别写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标：A（-2，6）,B（1，-2）， C（-1，3）,D（-4,-2）,E（1，0）.解：关于x轴对称的点的坐标分别是： 关于y轴对称的点的坐标分别是： 知识点二 作已知图形的轴对称图形例2 四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（-5，1），B（-2，1），C（-2，5），D（-5，4），分别画出与四边形ABCD关于y轴和x 轴对称的图形.解：点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（ _ ， _ ），因此四边形ABCD的顶点A,B,C,D关于y轴对称的点分别为A(_ ,_ _ ),B( _ , ),C( _ , ),D( , _ )，依次连接AB,BC,CD，DA，就可以得到与四边形ABCD关于y 轴对称的四边形ABCD. 类似地，请你在上图作出与四边形ABCD关于x轴对称的四边形ABCD.A、B、C、D的坐标分别是：_.练一练 1、如图，ABO关于x轴对称，点A的坐标为（1，-2），标出点B的坐标.2、如图利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别作出与ABC关于x轴和y轴对称的图形.4、 归纳小结1、 点（x，y）关于x 轴对称的点的坐标是（ _ ， _ ）； 点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（ _ ，_ ）.2、对于求作关于坐标轴对称的图形问题，先求出已知图形中的一些 _（如多边形的顶点）的对称点的 _ ，然后描出并连接这些点，就可以得到这个图形关于坐标轴对称的图形.3、学习反思： .五、强化训练1、 点P（2，-3）关于x轴对称的点P的坐标是_，关于y轴对称的点P的坐标是_.2、点P1(-2a,a-1)在x轴上，则点P1的坐标是 ，点P1关于y轴的对称点P2的坐标为 _ .13.3 等腰三角形第七课时 13.3.1等腰三角形（1）一、新课引入画一个等腰三角形，概括一下等腰三角形的定义和各部分的名称.二、学习目标1、理解并掌握等腰三角形的概念及性质；2、等腰三角形的概念及性质的应用.三 、研读课本认真阅读课本第75至76页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程.知识点一 等腰三角形的性质探究1如图，把一张长方形的纸片按图中虚线对折，并剪下阴影部分，再把它展开，得到的ABC有什么特点？由此得，等腰三角形的定义 有两条边 _ 的三角形叫做等腰三角形.探究2 把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角，填写表格：重合的线段重合的角由此得，等腰三角形的性质1 等腰三角形的两个底角 _（简写成“ _ ”）.等腰三角形的性质2 等腰三角形的顶角 _ _ _ 、底边上的 _ 、底边上的 _ 相互重合（简写成 “ _ ”）.等腰三角形的性质3 等腰三角形是_图形，它的对称轴是_所在直线.练一练 如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数.知识点二 证明等腰三角形的性质1和性质21、如图，ABC中，ABAC, 求证：BC.证明： 作底边BC的中线AD，AD是BC的中线_=_（ ）在BAD与CAD中_ ADAD( )_( )BC（ ）.2、如图，ABC中，ABAC, BD=CD.求证：ADBC且BADCAD.证明：由上题证明得BADCAD_°_等腰ABC底边上的中线AD平分顶角BAC并垂直于底边BC.试一试 把上面的已知条件换成AB=AC，BADCAD或AB=AC，ADBC证明“三线合一”.练一练 如图，ABC是等腰直角三角形（AB=AC,BAC=900）,AD是底边BC上的高，写出B,C,BAD,DAC的度数，并写出图中有哪些相等的线段？知识点二 等腰三角形的性质应用例1 如图，在ABC中，ABAC，点D在AC上，且BDBCAD.求ABC各角的度数.解：ABAC,BDBCAD, ABC= _ BDC, _ ABD( )，设Ax，则BDC 2x，从而ABC 2x.于是在ABC中，有A+ABC+C 1800.解得，x360.在ABC中，A 360，ABCC .练一练 如图，在ABC中，ABADDC,BAD260.求B,C的度数.四、归纳小结1、 _ 的三角形叫做等腰三角形.2、等腰三角形的两个底角 _ ；等腰三角形的 _ 、 、_ 相互重合；等腰三角形是_图形，它的对称轴是_所在直线.3、学习反思： .五、强化训练1、等腰三角形的一个内角为800则另两个内角为 .2、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为500，则它的顶角为 _ .3、如图所示，点D、E在ABC的边BC上，ABAC,AD=AE.求证：BD=CE。13.3 等腰三角形第八课时 13.3.1等腰三角形（2）一、新课引入1、回顾等腰三角形的性质.2、 等腰三角形的一个内角为110°，则另两个内角为 .二、学习目标1、理解并掌握等腰三角形的判定定理及推论；2、能利用其性质与判定证明；3、能根据已知线段求作等腰三角形.三 、研读课本认真阅读课本第77至78页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程.知识点一 等腰三角形的判定思考 我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等.反过来，如果有两角相等，那么它们所对的边有什么关系？已知：在ABC中，B=C.求证：AB=AC.证明：作ABC的角平分线_.在BAD和CAD中BAD=_B=C（ ）AD=AD（ ）_( ) _（ ）由此得，等腰三角形的判定方法 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也 _ （简写成“ _ ”）.练一练 1、如图，A360，DBC360,C=720.分别计算1，2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形.2、如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？知识点二 几何命题的证明例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.已知：CAE是ABC的外角，12，ADBC.求证：ABAC.分析：要证ABAC，可先证B=_.证明：ADBC，1B（ ）2C（ ），而已知 12， .ABAC.（ ）回顾 证明几何命题的步骤：（1）明确命题中的 和 ；（2）根据题意，画出 _ ，并用 _表示已知和求证；（3）经过分析，找出有已知推出要证的结论的途径，写出 .练一练1、求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.2、如图，AC和BD相交于点O,且ABDC,OAOB.求证OCOD.知识点三 （尺规作图）作等腰三角形例3 已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形. _ a _ h _作法：（请把图形画在下面）（1）作线段ABa.（2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D.（3）在MN上取一点C，使得DC=h.(4)连接AC,BC.则_就是所求作的等腰三角形.四、归纳小结1、等腰三角形的判定： .2、比较等腰三角形性质与判定的异同.3、学习反思： .五、强化训练1、如果等腰三角形有一边长是6，另一边长是8，那么它的周长是 _.2、如果等腰三角形的两边长分别是4、8，那么它的周长是 .3、如图，AB，CEDA,CE交AB于E.求证：CEB是等腰三角形.13.3 等腰三角形第九课时 13.3.2 等边三角形（1）一、新课引入1、回顾等腰三角形的性质.2、若等腰三角形的两边长为3和4，则其周长为多少? 二、学习目标1、理解等边三角形的定义；2、熟识等边三角形的性质及判定.三 、研读课本认真阅读课本第79至80页的内容，完成下面练习并体验知识点的形成过程.知识点一 等边三角形的定义和性质1、 _的三角形叫做等边三角形.等边三角形也称正三角形，它是特殊的等腰三角形.2、等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都 _ ，并且每一个角都等于 _ .3、证明等边三角形的性质.已知：ABC是等边三角形.求证：ABC600.证明：如图，ABC是等边三角形，AB _ _ （等边三角形的_）A _ _ （等边对_）A+B+C_（_定理）ABC600.练一练1、等边三角形 轴对称图形（填是或否）.如果是，它有 条对称轴，分别是三边的 .2、等腰三角形的一个内角是600，其中一边的长为a，则这个三角形的周长为 _ .3、等边三角形ABC中，AD是BC上的高，BDECDF600，图中有哪些与BD相等的线段？知识点二 等边三角形的判定等边三角形的判定方法1 三条边都_的三角形是等边三角形（定义）.等边三角形的判定方法2 三个角都_的三角形是等边三角形.已知：ABC中，ABC600.求证：ABC是等边三角形.证明：ABC中，ABC600AB=AC，AB= _ ，BC= _ （等角对_） _ = _ = _ ABC是等边三角形（等边三角形的_）等边三角形的判定方法3 有一个角是 _ 的 _三角形是等边三角形.已知：ABC是等腰三角形，ABAC，A600求证：ABC是等边三角形.证明：ABC是等腰三角形，ABAC，B （ ）又A600，A+B+C_A 600ABC是等边三角形（三个角都_的三角形是等边三角形）例4 如图，ABC是等边三角形，DEBC，分别交AB，AC于点D，E.求证：ADE是等边三角形.证明：ABC是等边三角形，A _ _ （等边三角形的_）DEBC，ADE _， AED _（ ）A _ _ _ ADE是等边三角形（三个角都_的三角形是等边三角形）练一练 请用其他证法证明例4.证明：ABC是等边三角形，A _ =60º（ ）DEBC，ADE _=60º，AED _ =60º（ ）ADE=AEDAD=AE( )ADE是等边三角形（有一个角是 _ 的 _三角形是等边三角形）四、归纳小结1、三条边都 _ 的三角形叫做 .2、等边三角形的三个内角都 ，并且每一个角都等于 _ .3、等边三角形的判定方法：（1）定义： 都相等的三角形是等边三角形.（2） 都相等的三角形是等边三角形.（3）有一个角是 的 三角形是等边三角形.4、学习反思： .五、强化训练1、以下能判定是等边三角形的个数为（ ）（1）有两个角为600的三角形；（2）三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为600的等腰三角形.A.4个 B.3个 C.2个 D.1个2、如图，在等边三角形ABC的三边上