材料力学 第4章 弯曲内力.ppt

1,材 料 力 学,第4章 弯曲内力,2,§4.1 弯曲的概念和工程实例 了解 §4.2 剪力与弯矩 重点掌握 §4.3 剪力图和弯矩图 重点掌握 §4.4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系 重点掌握 §4.5 叠加法绘制弯矩图 掌握,第 4 章 弯曲内力,3,本章重点,（1）剪力和弯矩的计算 （2）剪力图和弯矩图 （3）剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系,重要概念,梁，弯曲变形、平面弯曲、剪力、弯矩,本章难点,（1）画剪力图和弯矩图 （2）剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系,§4.1 弯曲的概念和工程实例,一、 弯曲的概念,以弯曲变形为主的杆件！,？,梁,弯曲变形: 杆件受垂直于轴线的外力或位于其轴线所在平面内的外力偶作用时,轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲变形。,受力特点：杆件受到垂直于杆件轴线方向的外力作用或受到在杆轴线所在平面内的外力偶的作用。,变形特点：杆件的轴线由直变弯。,5,桥式吊车,二、工程实例,6,火车轮轴,7,车床：车刀杆,8,桥梁 露台,9,直立式反应塔,合成塔,锥形齿轮轴,11,三、常见梁的截面形状,对称面,圆形,矩形,工字形,它们都有对称轴，梁横截面的对称轴和梁的轴线所组成的平面通常称为纵向对称平面 。,12,平面弯曲:作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲.,四、平面弯曲,平面弯曲是弯曲问题中最简单的形式。,构件特点：具有纵向对称平面。,受力特点：横向外力或外力合力，以及外力偶矩作用在纵向对 称平面内。,变形特点：轴线由直线变为曲线，曲线仍位于纵向对称平面内。,五、梁的计算简图,梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。,1. 构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。,2. 载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：,载荷类型,集中力,集中力偶,分布载荷,q,F,Me,14,固定铰支座 如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。,可动铰支座 如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。,3. 支座简化,固定端 如：游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等。,15,4. 静定梁与超静定梁,静定梁：由静力学方程可求出支反力。 超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。,静定梁,超静定梁,16,5. 静定梁的三种基本形式,梁的跨度：梁的两支座之间的长度。,悬臂梁,简支梁,外伸梁,17,例1如图示结构的计算简图为:,F,吊车横梁简化,19,火车轮轴简化,20,露台,21,直立式反应塔,22,§4.2 梁的内力剪力与弯矩,1、梁的内力剪力与弯矩,已知：如图，F，a，l。 求：距A端x处截面上内力。,解：求支反力,解得：,23,求内力截面法,FS,M,M,FS, 弯曲构件内力,剪力FS,弯矩M,C,C,C,剪力和弯矩,剪力FS：平行于横截面的内力系的合力。 即：切应力的合力。,弯矩M：垂直于横截面的内力系的合力偶矩。 即正应力的合力偶矩,24,2、剪力和弯矩的正负号规定,剪力FS: 截面上的剪力对梁上任意一点的矩为顺时针转向时，剪力为正；反之为负。（左上右下为正，左下右上为负。）,25,2、剪力和弯矩的正负号规定,弯矩M：弯矩使梁呈上凹下凸的变形为正；反之为负。 （左顺右逆为正，左逆右顺为负。）,26,3、用截面法求指定截面上的剪力和弯矩 截面法是求梁的内力的最基本的方法。其步骤为 (1) 求支座反力。 (2) 用假想的截面将梁从要求剪力和弯矩的位置截开。 (3) 取截面的任一侧为隔离体，作出其受力图，列平衡方程求出剪力和弯矩。,27,例4.1 求图示外伸梁1-1、22、3-3、4-4 截面上的内力。,解：(1)求支座反力。,28,2、 A 求1-1截面的剪力和弯矩,B 求2-2截面的剪力和弯矩,29,C 求3-3截面的剪力和弯矩,D 求4-4截面的剪力和弯矩,30,(3) 讨论,可见：1、在集中力偶作用处剪力无变化,而弯矩有变化，其变化值等于该截面上的集中力偶的大小。 2、在集中力作用处弯矩无变化，而剪力有变化,其变化值等于该截面上的集中力的大小。,31,(1) 求剪力的规律 梁内任一截面上的剪力FS，在数值上等于该截面一侧（左侧或右侧）所有外力在平行于剪力方向投影的代数和。,外力取正、负号的方法是： 外力绕该截面顺时针转向取正，逆时针转向取负。 或：左上右下-正，反之-负。 作用在梁上的力偶对剪力没有影响。,或,4、剪力和弯矩的计算规律,32,(2) 求弯矩的规律 梁内任一截面上的弯矩M，等于该截面一侧（左侧或右侧）所有外力对该截面形心的力矩的代数和。,外力矩取正、负号的方法是： 左段梁：外力（包括外力偶）对截面形心的力矩为顺时针时，在截面上产生正弯矩，反之为负弯矩； 右段梁：外力（包括外力偶）对截面形心的力矩为逆时针时，在截面上产生正弯矩，反之为负弯矩。 即：左顺右逆-正，反之负。向上的力均产生正弯矩，向下的力均产生负弯矩。,或,33,解：（1）支反力,例4.2 简支梁受均布力q和集中力偶Me=ql2/4的作用，求C截面的剪力和弯矩。,FRA,FRB,B,FRA,FRB,B,（2）求C截面剪力和弯矩,利用两条规律直接用外力计算截面上的剪力和弯矩,B、求C截面稍右截面处的剪力和弯矩,A、求C截面稍左截面处的剪力和弯矩,35,一、剪力方程和弯矩方程 用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程.,剪力方程,弯矩方程,§4.3 剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图,36,弯矩为正值画在 x 轴下侧,负值画在x 轴上侧(弯矩图画在梁受拉的一侧）,二、剪力图和弯矩图,正剪力画在 x 轴上侧, 负剪力画在x 轴下侧,以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置,以纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为剪力图和弯矩图。,例4.3求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。,解: 建立坐标系,列出梁的剪力方程和弯矩方程,根据方程画内力图,F,FL,（+）,（）,F,（a）,可知：,固定端x = 0 ：,FSmax = F,解：写出内力方程,根据方程画内力图,L,q, qL,（）,（b）,固定端x = 0 ：,39,例题4.4 图示的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载用.试作此梁的剪力图和弯矩图.,解： （1） 求支反力,l,q,A,B,（2）列剪力方程和弯矩方程.,40,剪力图为一倾斜直线,ql/2,弯矩图为一条二次抛物线,令,得驻点,弯矩的极值,（3）绘剪力图和弯矩图.,ql/2,（2）绘剪力图和弯矩图.,|FS |max、Mmax 所在截面为危险截面。,注意：|FS |max、Mmax不一定为同一 截面。,42,注意：一般情况下，梁全长上的剪力和弯矩不能用一个函数表示，外力有突变时，剪力方程和弯矩方程可能发生变化，应分段描述。 分段原则： 集中力作用点、集中力偶作用点 分布荷载起点和终点 支座处,43,例4.5 图示简支梁C点受集中力F作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：1求约束反力,2写出剪力和弯矩方程,AC：,CB：,44,剪力方程和弯矩方程,x,x,3、依方程画出剪力图和弯矩图,(+),AC：,CB：,可见,在集中力作用处,剪力有突变，突变值等于该集中力的大小，从左到右突变方向与集中力方向相同。 弯矩在该处有折点。,45,剪力和弯矩突变处：,FS,x,例4.6 图示简支梁C点受集中力偶作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：1求约束反力,2写出剪力和弯矩方程,AC,CB,C,Me,b,A,B,剪力和弯矩方程,AC,CB,3、画剪力图和弯矩图,可见,在集中力偶作用处,弯矩有突变，突变值等于该集中力偶的大小。从左到右，顺（逆）时针集中力偶作用处，弯矩图向下（上）突变。剪力在该处无变化,由例题可知 FS 图、M 图的一些特征：,(1) 梁上无均布载荷 q 作用处，FS 图为一水平线，M 图为一直线，常为斜直线；,(2) 在 均布载荷 q 作用处，FS 图为斜直线，M 图为一抛物线；,(3) 在集中力 F 作用处，FS 图上有突变, 从左到右突变方向与集中力方向相同，M 图上有一折点；,(4) 在集中力偶 Me 作用处，FS 图上无影响，M 图上有一突变,突变值等于该集中力偶的大小。突变方向：从左到右，顺（逆）时针集中力偶作用处，弯矩图向下（上）突变。,(5) | M |max可能发生在集中力或集中力偶作用处。,49,作剪力图和弯矩图的步骤 1. 确定支座反力 2. 建立坐标系(一般以梁的左端点为原点) 3. 分段 在载荷变化处分段 4. 列出每一段的剪力方程和弯矩方程 5. 根据剪力方程和弯矩方程画出剪力图和弯矩图,更简便的作图方法？,6. 确定 | FS |max、| M |max 及其所在截面位置。,50,1、 剪力、弯矩与分布荷载q（x）间的关系,对dx 段进行平衡分析，有：,q(x),q(x),M(x)+d M(x),FS(x)+d FS(x),FS(x),M(x),A,剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。,§4.4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系,51,q(x),M(x)+d M(x),FS(x)+dFS(x),FS(x),M(x),dx,A,y,弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。,弯矩与荷载集度的关系是：,略去二阶微量得：,52,2、几种常见荷载作用下梁的内力图特征,（1）梁上无荷载区段，q(x)=0,FS图为一水平直线,增函数 减函数 常数,弯矩图为一斜直线或水平线,53,（2）梁上有均布荷载区段， q(x)=q,FS图为斜直线 ，倾斜方向与q同,弯矩图为一抛物线，且凸向与荷载 q（x）指向相同。,54,讨论：,（3）集中力作用点处，剪力图有突变。 从左到右，向上（下）集中力作用处，剪力图向上（下）突变，突变量等于该集中力。弯矩图的斜率也发生变化，弯矩图上有尖角。 （4）集中力偶作用处，弯矩图有突变，剪力图无变化。 从左到右，顺（逆）时针集中力偶作用处，弯矩图向下（上）突变，突变幅度为集中力偶的大小。 （5）在FS（x）=0的截面 弯矩的斜率为零，弯矩为极值。 （6）弯矩的极值，可能在FS（x）=0的截面上，也可能在集中力或集中力偶作用处。,55,讨论：,（7）利用上式可得：,两截面上的剪力之差等于两截面之间载荷图的面积,两截面上的弯矩之差等于两截面之间剪力图的面积,2、剪力、弯矩与外力间的关系,外力,无外力段,均布载荷段,集中力,集中力偶,FS图特征,M图特征,水平直线,斜直线,自左向右突变,无变化,斜直线,降函数,抛物线,自左向右折角,自左向右突变,57,利用剪力、弯矩与分布荷载集度之间的关系及特殊点的内力值来作图的方法。,3、简易作图法（利用微分关系作图）,简易作图法的步骤： (1) 求支座反力。 (2) 确定控制截面(剪力、弯矩变化区间的端点，称为控制面)，将梁进行分段 梁的端截面、集中力、集中力偶的作用截面、分布荷载的起止截面、驻点（导数为零的点、极值点）所在截面都是梁分段时的控制截面。 (3) 求控制截面的剪力值、弯矩值 。 (4) 由各梁段上的荷载情况，根据规律确定其对应的剪力图和弯矩图的形状，连线作图。,58,三要点,三个微分方程确定了图形的形状；,控制面确定图形的位置；图形在什么位置会发生突变,极值点至关重要,作剪力图和弯矩图,根据外力确定图形形状直线、曲线,画图之前形成剪力图与弯矩图的大致图像,集中力作用点的两侧截面； 集中力偶作用点的两侧截面； 均布载荷（集度相同）起点和终点处的截面。,有没有极值点？,极值点的位置在哪里？,极值点的弯矩数值怎样确定？,59,例4.7 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。,分几段？几个控制面？,各段剪力图的形状？,各段弯矩图的形状？,剪力图有没有突变？,弯矩图有没有突变？,要不要先求支座反力？,q,qa2,qa,A,B,C,D,a,a,a,A,60,4.7 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。,解: 确定控制面，将梁分段,梁的端点、集中荷载作用点、分布荷载起点和终点、极值点（M导数为零的点）等。,分2段，,3个控制面,61,a,a,左端点A：,线形：根据内力与分布荷载的关系及集中载荷点的规律确定,分区点B：,M 的驻点：,右端点C：,A,C,qa2,62,例4.8 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。,解：求支反力,左端点A：,B点左：,B点右：,C点左：,C点右：,右端点D：,q,qa2,qa,qa/2,qa/2,qa/2,qa/2,qa/2,A,B,C,D,a,a,a,画剪力图：,M 的驻点：,q,qa2,qa,FRA,FRD,A,B,C,D,a,a,a,qa/2,qa/2,（）,qa2/2,（）,（）,qa2/2,3qa2/8,例4.8 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。,64,左端点A：,B点左：,B点右：,C点左：,M 的驻点：,C点右：,右端点D：,q,qa2,qa,qa/2,qa/2,qa/2,qa/2,qa/2,A,B,C,D,qa2/2,qa2/2,qa2/2,3qa2/8,a,a,a,（）,（）,画弯矩图：,65,剪力图的简便作图方法： 从左往右作图，线段走向与力的方向相同。,qa/2,qa/2,qa/2,qa,（）,66,1、叠加原理：在小变形条件下，梁横截面的内力为各荷载的线性函数。即梁在几个荷载共同作用下产生的内力等于各荷载单独作用产生的内力的代数和。,2、 利用叠加原理作梁的弯矩图的步骤： （1）先分别作出梁在各荷载单独作用下的弯矩图； （2）将各弯矩图相应的纵坐标代数叠加。,§4.5 叠加法绘制弯矩图,67,例4.9 绘制下列图示梁的弯矩图。,=,+,+,=,(1),68,(2),q,q,q,q,=,+,=,+,+,(3),Fa,=,+,=,+,Fa,+,70,利用微分关系作梁的剪力图和弯矩图,课堂练习,71,本章结束,谢谢大家,