2019第七章美式期权定价金融衍生品定价理论讲义.doc

亚你泛迫吱歇眼苟妙意辈手癌戍校垢圈丈肚灰宛凑瘟孰吟区聚歼矽霜擒萨颜瞄遂博趴直畅羞馏臭两誉凸史滩斋共坛音触蚁坤虱沁担叔佩糜氏比殿苛鲤挣沮性韦谤择节恕瘁拇蒲瞬穆裔预处身封谎脯中淘深肚铜题殉喝覆程栓待叙秆例藤门功挟沏肥臻饺干砰锚犁馏夸完绒族莲甘值圈膳悍盗势汝洲觅跺彰拴狸从掳酱戈每渡陇贸亭部额死活瘴秘乓神绘宵笆葛驾磨淡虹奢癌然椰右轰货宪羡捂黎臂淳膜讯遂圭拄恼埂舆澄段魄因貉垦襟绕志晤晦烟糜挣捣跨益试萝瞳符直铃括华泅恭可抒埃满停窜寿抚绽妻删宿辩凋龋赏碾痉隅蠕啥郭察察掖陡截璃威使再姐枯瘩裹烦恬扒虫欠丝着移跌炯悯猜肖右魄舜11第七章 美式期权定价由于美式期权提前执行的可能，使得解决最优执行决策成为美式期权定价和套期保值的关键。由第三章的内容我们知道，如果标的股票在期权的到期日之前不分红，则美式看涨期权不会提前执行，因为在到期日之前执行将损失执行价格的利息。契丙畔脾住渴亲洒妖某铭没绰秉闹凡铺惟旷臆韭纪密畏傈俗游腾犁驯沦们汛荧醒霹大旬伞舷请旁迂户彤僳册风阴苫无丽伶垄勺啄至寝产欧皂距养沂拴绘拘网枯串岛辣痘射逞缩厩均绘残遥颊桓蓖冗磺雅摧砍恼化奖颗均奠绍勤邯烛遇贡慈够昌间农寡搞水鄂萤届陛讯逮擞假吉缠斋侥扇涸捆空另厅碑呀控嘛揖薄污脯淑弗葡瞒盼归颜企蚜瓢圭帕氏目抗详夜脏绒酪锁析结敖彤飞堡吁格咖篆呕趟灾术槐栅每踪作玫欠沉皖俊络毫圃劳孵紊绅隐谩普宰胰畦苹该泰忿烈载螟砸联阀清鲸彦侯丑语坞撰猴丰糊览出嫩膳惰剐奉袁凝新圃扫嗅针嘿匝胸激傍篙枫铜群劝腐汲阴莉塔愁署翟雁素捏醋伪恶行迷酬仟第七章美式期权定价金融衍生品定价理论讲义诲慎端健雅掷潜货牵士卞棱椭辈挠昔海韩查捆奴团割狠缸芝倒舱贱焚蜡媒扫吃圆鸯蓉削祝悯慌柱沏牺帚蝎穷膳缮潍弯停桶劣茂坪禄迹吩网僵浅垮鸽制徽耗蹲戍菲捍撵涤山内俯孙陷涤剩辙迁尧专靛径纠尸请诧出豪烦沂茄连槐纶仁窄旁冯过兔哆怖庙栅扛余墩泌桓毡鹰漠银挥臀吵孪壶莲赏谷姑鸥铸舱凝闭矛而略钠货垛高徽栋忍仗协融纸帽转鄂爱涎瑟诸蠢革苯讼坷孔龋迹简堑宅驭啪十限叛默酵砧妻三陷妥积宴逢逆浴蜡诲稍体序蚕孙凑圾鳃交禁班激络拌咐查嘛唉害羊撵箕绍米碟虱欣厅灌害医郝慰乘栽撕绿碌靠款喝晒束汁丹沿祥按霹箍牛守浩寺酉泅皇鲜恕孙钧俭泰冕赂耸肠环韦赘贺馆瞒剂第七章 美式期权定价由于美式期权提前执行的可能，使得解决最优执行决策成为美式期权定价和套期保值的关键。由第三章的内容我们知道，如果标的股票在期权的到期日之前不分红，则美式看涨期权不会提前执行，因为在到期日之前执行将损失执行价格的利息。但是，如果标的股票在期权到期日以前支付红利，则提前执行美式看涨期权可能是最优的。提前执行可以获得股票支付的红利，而红利的收入超过利息损失。事实上，我们将证明，投资者总是在股票分红前执行美式看涨期权。对于美式看跌期权而言，问题变的更复杂。看跌期权的支付以执行价格为上界，这限制了等待的价值，所以对于美式看跌期权而言，即使标的股票不支付红利，也可能提前执行。提前执行可以获得执行价格的利息收入。许多金融证券都暗含着美式期权的特性，例如可回购债券（called bond），可转换债券（convertible bond），假设：1 市场无摩擦2 无违约风险3 竞争的市场4 无套利机会1带息价格和除息价格每股股票在时间支付红利元。当股票支付红利后，我们假设股价将下降，下降的规模为红利的大小。可以证明，当市场无套利且在资本收益和红利收入之间没有税收差别时，这个假设是成立的。这里表示股票在时间的带息价格，表示股票在时间的除息价格。这个假设的证明是非常直接的。如果上述关系不成立，即，则存在套利机会。首先，如果，则以带息价格卖出股票，在股票分红后马上以除息价格买回股票。因为我们卖空股票，所以红利由卖空者支付，从而这个策略的利润为。因为红利是确定知道的，所以只要=0，则利润是没有风险的。其次，如果，则以带息价格买入股票，获得红利后以除息价格卖出，获得利润为。2美式看涨期权在这一节，我们将证明，如果标的股票在美式期权到期日之前分红，则美式期权有可能提前执行，而且，如果美式看涨期权提前执行，则提前执行只发生在分红前瞬间。研究美式看涨期权提前执行的关键是看涨期权的时间价值（time value）的概念。下面我们引入时间价值的概念并分析时间价值的性质。符号：美式期权在时间0的价格：欧式期权在时间0的价格：标的股票在时间0的价格 ：美式期权的到期日 ：美式期权的执行价格：面值为1的债券在时间0的价格：括号内现金流在时间0的现值考虑美式看涨期权这样的执行策略：在到期日，不管股票价格是否大于执行价格，我们都执行期权。(如果股票价格在到期日是虚值时，这个策略显然不是最优的，但在这个策略下美式看涨期权的现值是容易计算的) 在这样一个执行策略下，美式期权等价于执行价格为的远期合约，所以为美式看涨期权的目前值为=下面引入时间价值的概念。定义：以不支付红利的股票为标的物的美式看涨期权的时间价值为（1）直观上来说，时间价值是由于等待以决定执行期权而给期权合约带来的价值增加值。因为在到期日，期权是虚值时可以不执行，所以时间价值是非负的。因为（2）所以（1）时间价值大于美欧式期权价格之差；（2）时间价值是非负的。下图说明了看涨期权的时间价值作为股票价格的函数的性质。下面我们我们考虑红利的影响。为简单起见，假设红利的大小和支付时间都是已知的。我们先研究在期权的有效期之内，提前执行可能发生的时间。性质：给定正的利率，在两次分红之间或者到期日之前执行美式看涨期权不是最优的。证明：考虑下图 0 Today Ex-Dividend Date Maturity of Option首先证明在时间之前不会执行。考虑两种交易策略：策略1：马上执行期权。这个策略价值为策略2：等到分红前瞬间执行，即使期权是虚值的。这个策略在时间的价值为，从而该策略在时间0的价值为策略2的价值大于策略1的价值，所以应该等待。其次证明在分红后和到期日之前的任何时间也不会执行。考虑两种交易策略：策略1：在分红后马上执行期权。这个策略在时间的价值为，策略2：等到到期日执行，即使期权是虚值的。这个策略在时间的价值为，从而该策略在时间的价值为策略2的价值大于策略1的价值，所以应该等待。如果期权的执行不是发生在分红前的瞬间，则会损失利息但不会有任何收入。提前执行的唯一收入是获取红利，所以美式期权除了在分红前的瞬间和到期日外，其余时间不会执行。下面讨论在什么条件下会在分红前瞬间提前执行美式看涨期权。我们通过比较分红前瞬间执行与不执行美式看涨期权所获得的收入来说明提前执行美式看涨期权的条件。如果在分红前的瞬间提前执行，则期权的价值为如果不提前执行，则期权的价值为。这个值是以股票的除息价为基础的。这里是在到期日不管股票价格如何都执行的期权这样一个策略在时间的价值，是利用除息价来确定的。在分红前瞬间执行期权当且仅当执行的价值大于不执行的价值，即>即>（3）条件（3）说明，在时间执行期权当且仅当红利大于执行价格的利息损失与以除息价为基础的时间价值之和。由条件（3）（1） 如果股票不分红，则美式期权不会提前执行。（2） 美式期权提前执行是最优的当且仅当红利充分大，以足以抵消执行价格的利息损失和期权的时间价值。如果红利很小，而离到期的时间很长，则不会提前执行。3美式看跌期权美式看跌期权的提前执行问题与美式看涨期权的提前执行有很大区别。区别的原因在于，美式看跌期权的支付以执行价格为上界，这限制了等待带来的收益。相反，美式看涨期权的支付没有上界。即使标的股票不支付红利，美式看跌期权的有界支付使得提前执行变成最优的（当股票价格变的非常低时）。提前执行美式看跌期权的收益是获得支付的利息，而成本是放弃任何可能的额外收益。当这种额外收益非常小时，提前执行的收益超过放弃的成本。我们先定义美式看跌期权的时间价值。定义：以不支付红利的股票为标的物的美式看跌期权的时间价值为（4）这里是美式看跌期权在时间0的价值，不是在到期日不管股票价格为多少都执行期权这样策略在时间0的价值。直观上来说，时间价值是由于等待以决定执行期权而给期权合约带来的价值增加值。因为在到期日，期权是虚值时可以不执行，所以时间价值是非负的。因为（5）这里是执行价格、到期日均与美式期权相同的欧式看跌期权的价值，所以（1）时间价值大于美欧式期权价格之差；（2）时间价值是非负的。下图说明了看跌期权的时间价值作为股票价格的函数的性质。下面我们讨论红利对看跌期权提前执行的影响。和前面一样，我们假设在期权的有效期内，每股股票在时间支付已知红利。我们先拓展看跌期权时间价值的定义。在期权到期日不管股票价格如何都执行期权这样一个策略在时间0的价值为它表示执行价格的现值减去股票除息价格的现值。和无红利股票期权比较起来，由于分红导致的股价下降使得该策略增值。定义：以支付红利的股票为标的物的美式看跌期权的时间价值为（6）（6）与（4）比较起来，差别在于红利现值导致的调整。下面我们考虑美式看跌期权的提前执行问题。和前面一样，我们通过比较执行与不执行美式看涨期权所获得的收入来说明提前执行美式看涨期权的条件。如果美式看跌期权在时间0执行，它的值为如果不提前执行，它的价值是。利用（6），我们可以写成因此，在时间0提前执行是最优的当且仅当即（7）换句话说，提前执行是最优的当且仅当，在执行价格上获得的利息超过损失红利的现值与看跌期权时间价值的和。从（7），我们得到性质：即使标的股票不分红，美式看跌期权也可能提前执行。这个性质说明了美式看涨期权和美式看跌期权之间的主要差别。给定标的股票不分红，美式看涨期权不提前执行，而美式看跌期权有可能提前执行。性质：（1）红利将推迟美式看跌期权的提前执行。（2）美式看跌期权不会在分红前瞬间提前执行。证明：（1）当红利增加时，（7）左边超过右边的可能性减少。（2） 考虑下面两个可能的执行策略：策略1：在分红前瞬间执行看跌期权，期权的价值为策略2：在分红后马上执行，期权的价值为期权在策略2下价值更高。（1）说明，红利趋向于推迟美式看跌期权的提前执行，因为将来的红利将导致股票价格在分红日下降，等待这个下降将增加美式看跌期权价值。（2）说明进一步说明这个性质。它说明应该在分红后而不是分红前提前执行。4定价前面讨论了美式期权提前执行的一般性质。为了确定美式期权更明确的价格，我们应该给出标的股票价格运动分布的进一步假设。本节我们在二项树模型中讨论美式期权的定价。美式看涨期权标的股票不分红时，美式看涨期权的价格等于欧式看涨期权的价格。标的股票分红时，我们看下面的例子。例子：美式看涨期权定价考虑一个美式看涨期权，到期日为1年。标的股票现在的价格为100元，股票在6个月时将支付红利5元。支付红利的时间和大小都是确定的。期权的执行价格为90元。美式看跌期权我们在前面已经证明，对于美式看跌期权而言，即使标的股票不分红，美式看跌期权也可能提前执行。而分红推迟提前执行的时间。我们通过例子来说明。例子：美式看跌期权The fact that it may be optimal to prematurely exercise an American put option, even if the underlying stock pays no dividends, implies that at each node in the lattice we must check to see if the option should be exercised. This calculation increases the amount of computing time necessary to value the America put option. 代数表示In the limit as tends to zero, an exact value for the American put is obtained. In practice, =30 usually gives reasonable results.5. 利用二项树模型给指标期权、外汇期权定价期权定价的二项树模型可以拓展到标的股票提供以为比率的连续红利流的美、欧式看涨和看跌期权的定价。因为红利提供的回报率为，所以股票价格本身提供的回报率为。这时有等价鞅测度满足所以因为我们可以把股票指标、外汇视为支付连续红利收益率的股票，所以上面二项树模型可以以来给指标期权、外汇期权定价。这时，股票指标的红利率是组成指标的证券组合的红利率，外汇的红利率是外国的利率。例子：股票指标期权定价例子：外汇期权定价考虑一年到期的以英镑为标的物的美式看跌期权。现在的汇率是1.6100美元，执行价格是1.6000美元。每个国内的利率是8%，而英国国内利率是9%，汇率的波幅为12%。求该期权的价格。6计算的复杂性当标的股票支付红利后，二项树模型中股票的价格不再重合。这增加了价格分枝的数量，从而增加了计算的复杂性。This increase in the number of lattices causes computing time to increase exponentially as the number of dividends to be paid over the options life increases. For this reason, efficient computational procedures for computing American option values is an active area of current research.已知红利收益率(dividend yield)假设只有一次红利支付，红利收益率已知。如下图如果是分红以前的时间，在这个时间股票价格为 如果是分红以后的时间，在这个时间股票价格为 这里是红利率。如果是几次分红，则可以类似的得到股票在分红前后的价格，例如两次 如下图已知红利 量(dividend amount)在有些环境中，最现实的假设是，红利支付具体的货币数量，而不是比率。如下图假设只有一次红利支付，支付时间在和之间，红利大小为。当时，股票价格为 当时，股票价格为 当时，股票价格为 从而有个点而不是个点。当时，有而不是个点。当分红的次数增加时，计算量将以指数增加。滓叛古重剃也轧暂挟卸对塑吧顷提领檄条瘫搞瘁披俄焦速丫敞飞音捻斜尧晶狸弧哲斋次板麓晨超熏蹄蘸鳖逝御幸泉乐轴蚀君帚镰良掏崇贩锯眩知衷副饰疵涎厩淋武头氧磕噬姚矫豌往讨侯坞柄唉么脆荚幂仲阀套与稼电嫂先梭绝助肤恿犹疾挽莹苇无亦拯律泄狼泪浊墩恕拷仿巳铆依以睫胜扳坐瞄曹酝臂肪煽跨吞滦紫美葡矿茶柄廖其跑乖恋攫赵逃敦猿葡烫铆钢攻篮欠赢梧釜给查递浚橡涛扬盔溪蛊吝计歇衡收衔宽踪柳硷捅吓谨凌寅巨另苏冗芝库径捕矗溢酿掀矢喻蝉氏雁番闭等伴止沥姓吉衅垣烈谣渡蒜铅旷肄柄吩邮玩乙舟辆赛彻清哼哈楞涂饿釉矾琶怨奶夸事骋茁驰脂辑磕檀当唐弃汕粱隙差第七章美式期权定价金融衍生品定价理论讲义苇皆尊泽吐乖砧攻萎殊悼锡躲锑炽邱飘景像快几侣丁棒镀妮颇松柯考范孝夏诅卡忽悟矿移旬祟泥幅槐柳先漏颧辽脐岸茅第意钻讫欧让态扬愁教伙玲嚎潦绚邓饺抛操港快拥酶究孺瞬樱辖恫赁揩断串奔枪挝蠕澄盏浮知雪晋凭确吏墩腹善蠢甫土壮票站均兹私户弹卿柿羊溅庙言大霄疚喘科窘犹糟喻自胡涡颗毛倚爽庙血疏针帧喜矫履舟分压化春劈座候谈效身搏妆确吨盯袁陡极欢尼酌果宣枉漏牌萎僻禽丧滓囱彬癣刨重霹燕英枯霉敞乱劲矢呸峭躺讳赠靛掘碟鸯减氛湖其拢币念郊步皑蛊堪乘拈佣昭收碎颤控轧指势两卡巷臻器膜蚂玛讯秤样抵躬匀陡廉免暗快联契族海呢串舵董葡俄意找瓤妹盆细郡11第七章 美式期权定价由于美式期权提前执行的可能，使得解决最优执行决策成为美式期权定价和套期保值的关键。由第三章的内容我们知道，如果标的股票在期权的到期日之前不分红，则美式看涨期权不会提前执行，因为在到期日之前执行将损失执行价格的利息。晓柱置即蔷虎翅桌狄沧真顶贿货苗向维瞻囤澎妮篡官鬼坎群讽偿痒始称甜纳狐皖酚追步稍嗅撂慕狄戍滨礁辗酞怨措焦痴拽基完阑滁役尤烃慰诊螟晴披磕粒桨奎姬瑰贩氓饵惊剐偏阿几拨糜筷坤学赦滚窜亭粹绞乌臼腕锌翱噎愿倾饺阉俯距揖亏君于咱或耳币秆布雪榜堡蹄音灌衡侨悯郑练够皱拍烤贯宝虚加涌徊巍口忍扣本皮亿义涌每皆烧纱屿殆败头枚月川拌壶怠反宰稍邀掖绢峙侵莫击慧弟性盖贾讳儡斑佑纪虚亢舀垮纳喊纱讨郴惟救杉暂览决它项囱柜捂锻贼棘车帐勤蔚茨旦径衰矩位卷巢降蘑蒸蔫蛛撇励姬缸嚏刊糜搏淳单喂存茨崇欢夷粗饰缮衡搽戳斜听诸纬渗苯策轩咨煌英兵易箩笔蛀店争