第十章习题106答案6228162820130426102520.doc

10.6 高斯公式 通量与散度习题10.61. 利用高斯公式计算曲面积分：（1）其中为平面所围成的立体的表面的外侧；解：（2）其中为球面的外侧；解：（3）其中为上半球体的表面的外侧；解：（4）其中为介于和之间的圆柱体的整个表面的外侧；解：（5）其中为平面所围成的立方体的全表面的外侧；解：（6）其中为由柱面与平面所围立体边界的外侧；解：（7）其中为锥面与部分的外侧，为侧的单位法向量；解：令，取上侧，则（8）其中为椭球面的外侧；解：，作变换得2. 计算下列曲面积分：（1）其中为锥面的外侧；解：设取上侧，则(2) 其中为半球面的上侧；解：设取下侧，则（3）其中为球面的外侧；解：设取左侧，取后侧，则3. 设是常向量，为任意的逐块光滑闭曲面的外侧，为侧的单位法向量。证明证明：设，则4. 计算其中，为球面外侧单位法向量。解：5. 计算其中为闭曲面外侧单位法向量，闭曲面为下面三种情形：（1）解：（2）解：令取内侧。则（3）不包含原点的闭曲面。6. 设是三维调和函数，即满足且有二阶连续的偏导数。证明（1）其中，为的外法向方向导数；证明：(2)若在边界面上恒为零，则在区域上恒为零（为的边界面）。证明：所以，为常值函数，而其在边界上为零，所以在整个区域上为零。7. 求下列向量穿过曲面流向指定侧的通量：（1）其中为圆柱的全表面，流向外侧；解：（2）其中为立方体的全表面，流向外侧；解：（3）其中为以点为球心，半径的球面，流向外侧；解：（4）其中为闭区域的边界曲面，流向外侧。解：8. 求下列向量场的散度：（1）解：（2）解：（3）解：9. 设是两个定义在闭区域上的具有二阶连续偏导数的函数，依次表示沿的外法线方向的方向导数。证明其中为空间闭区域的整个边界曲面。这个公式叫做格林第二公式。证明：所以10. 利用高斯公式推证阿基米德原理：浸没在液体中的物体所受液体的压力的合力（即浮力）的方向铅直向上，其大小等于这物体所排开的液体的重力。证明：建立坐标系，使液面为平面，轴竖直向上。设物体表面内法向量为则这就是阿基米德原理。