高中数学2011年高考题型专题冲刺精讲(数学)专题五：解析几何(学生版).doc

2011年高考题型专题冲刺精讲（数学）专题五 解析几何本文档由 高中数学免费下载平台：数学1618（http:/www.shuxue1618.com ）为您分享，更多资料尽在数学1618【命题特点】近三年高考解析几何每年出一道满分为12分的解析几何大题.究其原因,一是解析几何是中学数学的一个重要组成部分,二是同学们在未来学习、发展中的需要所致.细细品读这三年的解析几何大题,感觉如山间的涓涓清泉滋润心田,甘甜可口,不愿离去.为了找到清泉流向远方的目标,我从其志、探其源、求其真.经过探究,发现这几年的解析几何大题的命题特点可概括如下:依纲靠本,查基考能;朴实取材,独具匠心;不断创新,关注交汇;交切中点,核是线圆;长度面积,最值定值;平行垂直,向量驾驭;求轨探迹,运动探究;数形结合,各领风骚;灵气十足,回味无穷;文理有别,意境深远. 复习建议1.加强直线和圆锥曲线的基础知识，初步掌握了解决直线与圆锥曲线有关问题的基本技能和基本方法。2由于直线与圆锥曲线是高考考查的重点内容，选择、填空题灵活多变，思维能力要求较高，解答题背景新颖、综合性强，代数推理能力要求高，因此有必要对直线与圆锥曲线的重点内容、高考的 热点问题作深入的研究。3在第一轮复习的基础上，再通过纵向深入，横向联系，进一步掌握解决直线与圆锥曲线问题的思想和方法，提高我们分析问题和解决问题的能力。4.在注重提高计算能力的同时，要加强心理辅导，帮助学生克服惧怕计算的心态。【试题常见设计形式】近四年新教材高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型： 求曲线方程(类型确定、类型未定)； 直线与圆锥曲线的交点问题(含切线问题)； 与曲线有关的最(极)值问题； 与曲线有关的几何证明(对称性或求对称曲线、平行、垂直)； 探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征；解析几何虽然内容庞杂，但基本问题却只有几个.如求直线与圆锥曲线的方程；求动点的轨迹或轨迹方程；求特定对象的值；求变量的取值范围或最值；不等关系的判定与证明；圆锥曲线有关性质的探求与证明等.对各类问题，学生应从理论上掌握几种基本方法，使之在实际应用中有法可依，克服解题的盲目性.如“求变量的取值范围”，可指导学生掌握三种方法：几何法（数形结合），函数法和不等式法. 从宏观上把握解决直线与圆锥曲线问题的解题要点，能帮助学生易于找到解题切入点，优化解题过程，常用的解题策略有：建立适当的平面直角坐标系；设而不求，变式消元；利用韦达定理沟通坐标与参数的关系；发掘平面几何性质，简化代数运算；用函数与方程思想沟通等与不等的关系；注意对特殊情形的检验和补充；充分利用向量的工具作用；注意运算的可行性分析，等等。运算是解析几何的瓶颈，它严重制约考生得分的高低，甚至形成心理障碍.教学中要指导学生注重算理、算法，细化运算过程，转化相关条件，回避非必求量，注意整体代换等运算技能，从能力的角度提高对运算的认识，反思运算失误的经验教训，不断提高运算水平.【突破方法技巧】1突出解析几何的基本思想：解析几何的实质是用代数方法研究几何问题，通过曲线的方程研究曲线的性质，因此要掌握求曲线方程的思路和方法，它是解析几何的核心之一.求曲线的方程的常用方法有两类： 一类是曲线形状明确，方程形式已知(如直线、圆、圆锥曲线的标准方程等)，常用待定系数法求方程. 战略合作伙伴：有机蔬菜专卖网：居家购菜网（http:/www.like-green.com ） 另一类是曲线形状不明确或不便于用标准形式表示，一般采用以下方法：（1）直译法：将原题中由文字语言明确给出动点所满足的等量关系直接翻译成由动点坐标表示的等量关系式.（2）代入法：所求动点与已知动点有着相互关系，可用所求动点坐标（x,y）表示出已知动点的坐标，然后代入已知的曲线方程.（3）参数法：通过一个（或多个）中间变量的引入，使所求点的坐标之间的关系更容易确立，消去参数得坐标的直接关系便是普通方程. （4）交轨法：动点是两条动曲线的交点构成的，由x,y满足的两个动曲线方程中消去参数，可得所求方程.故交轨法也属参数法.2.熟练掌握直线、圆及圆锥曲线的基本知识(1)直线和圆直线的倾斜角及其斜率确定了直线的方向.需要注意的是：()倾斜角的范围是：0<；()所有的直线必有倾斜角，但未必有斜率.直线方程的四种特殊形式，每一种形式都有各自成立的条件，应在不同的题设条件下灵活使用.如截距式不能表示平行于x轴,y轴以及过原点的直线，在求直线方程时尤其是要注意斜率不存在的情况.讨论点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，一般可从代数特征(方程组解的个数)或几何特征(点或直线到圆心的距离与两圆的圆心距与半径的关系)去考虑，其中几何特征较为简捷、实用.(2)椭圆 完整地理解椭圆的定义并重视定义在解题中的应用.椭圆是平面内到两定点F1,F2的距离之和等于常数2a(2aF1F2)的动点的轨迹.还有另一种定义（圆锥曲线的统一定义）：平面内到定点的距离和到定直线的距离之比为常数e(0e1)的动点轨迹为椭圆，（顺便指出：e1，e=1时的轨迹分别为双曲线和抛物线）.椭圆的标准方程有两种形式，决定于焦点所在的坐标轴.焦点是F（±c,0）时，标准方程为=1(ab0)；焦点是F（0，±c）时，标准方程为=1(ab0).这里隐含，此关系体现在OFB(B为短轴端点)中.深刻理解a，b，c，e，的本质含义及相互关系，实际上就掌握了几何性质.(3)双曲线 类比椭圆，双曲线也有两种定义，两种标准方程形式.同样要重视定义在解题中的运用，要深刻理解几何量a，b，c，e， 的本质含义及其相互间的关系.双曲线的渐近线是区别于椭圆的一道“风景线”，其实它是矩形的两条对角线所在的直线（参照课本）. 双曲线=±1(a0,b0)隐含了一个附加公式此关系体现在OAB(A,B分别为实轴，虚轴的一个端点)中；特别地，当a=b时的双曲线称为等轴（边）双曲线，其离心率为 .(4)抛物线 抛物线的定义：平面内到一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹（F l）.定义指明了抛物线上的点到焦点与准线的距离相等，并在解题中有突出的运用.抛物线方程（标准）有四种形式：和 (p0)，选择时必须判定开口与对称轴.掌握几何性质，注意分清2p , p ,的几何意义.3.掌握直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法(1)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系，可将直线l的方程代入曲线C的方程，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x的一元方程ax2bxc=0，然后利用“”法.(2)有关弦长问题，应用弦长公式及韦达定理，设而不求;有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线的定义的运用，以简化运算.(3)有关弦的中点问题，除了利用韦达定理外，要注意灵活运用“点差法”，设而不求，简化运算.(4)有关垂直关系问题，应注意运用斜率关系(或向量方法)及韦达定理，设而不求，整体处理.(5)有关圆锥曲线关于直线l的对称问题中，若A，A是对称点，则应抓住AA的中点在l上及kAA·kl=1这两个关键条件解决问题. (6)有关直线与圆锥曲线的位置关系中的存在性问题，一般采用“假设反证法”或“假设验证法”来解决.【典型例题分析】考点一、曲线（轨迹）方程的求法常见的求轨迹方程的方法：（1）单动点的轨迹问题直接法（五步曲）+ 待定系数法（定义法）；（2）双动点的轨迹问题代入法；（3）多动点的轨迹问题参数法 + 交轨法。【例1】2010宁夏、设分别是椭圆的左、右焦点，过斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列。（1）求的离心率；（2） 设点满足，求的方程【例2】2010北京、在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.()求动点P的轨迹方程；()设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。【例3】2010辽宁、设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,. （I）求椭圆C的离心率；（II）如果|AB|=，求椭圆C的方程.【例4】2010广东、一条双曲线的左、右顶点分别为A1,A2，点，是双曲线上不同的两个动点。 （1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程式；（2）若过点H(0, h)（h>1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且 ,求h的值。来考点二、圆锥曲线的几何性质圆锥曲线中的基本元素：长短轴，焦距，渐近线，离心率等，在自身多处综合就会演变成中档题，要求熟练掌握其关系，灵活运用图形帮助分析。圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心.【例5】如图（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：（）求点P的轨迹方程；（）若,求点P的坐标. 【例6】2010江西设椭圆：，抛物线：. (1) 若经过的两个焦点，求的离心率；(2) 设，又为与不在轴上的两个交点，若的垂心为，且的重心在上，求椭圆和抛物线的方程考点三、 有关圆锥曲线的定义的问题利用圆锥曲线的第一、第二定义求解.【例7】如图，F为双曲线C：的右焦点 P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点 已知四边形为平行四边形， （）写出双曲线C的离心率与的关系式；（）当时，经过焦点F且品行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程 【例8】设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线 （）求椭圆的方程；（）设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点， 若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明：点在以为直径的圆内 考点四、 直线与圆锥曲线位置关系问题（1）求解直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法。 （2）注意韦达定理的应用。 弦长公式：斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB，若A、B两点的坐标分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)则 （3）注意斜率不存在的情况的讨论和焦半径公式的使用。（4）有关中点弦问题 <1>已知直线与圆锥曲线方程，求弦的中点及与中点有关的问题，常用韦达定理。 <2>有关弦的中点轨迹，中点弦所在直线方程，中点坐标问题，有时采用“差分法”可简化运算。【例9】已知双曲线的两个焦点为 在曲线C上. （）求双曲线C的方程； （）记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若OEF的面积为求直线l的方程【例10】设点在直线上，过点作双曲线的两条切线，切点为，定点(，0) （1）过点作直线的垂线，垂足为，试求的重心所在的曲线方程； （2）求证：三点共线考点五、圆锥曲线综合应用平面解析几何与平面向量都具有数与形结合的特征，所以这两者多有结合，在它们的知识点交汇处命题，也是高考命题的一大亮点.直线与圆锥曲线的位置关系问题是常考常新、经久不衰的一个考查重点，另外，圆锥曲线中参数的取值范围问题、最值问题、定值问题、对称问题等综合性问题也是高考的常考题型.解析几何题一般来说计算量较大且有一定的技巧性，需要“精打细算”，近几年解析几何问题的难度有所降低，但仍是一个综合性较强的问题，对考生的意志品质和数学机智都是一种考验，是高考试题中区分度较大的一个题目，有可能作为今年高考的一个压轴题出现.圆锥曲线的有关最值问题：圆锥曲线中的有关最值问题，常用代数法和几何法解决。 （1）若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离；（2）若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。圆锥曲线的有关范围问题：设法得到不等式，通过解不等式求出范围，即：“求范围，找不等式”。或者表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出范围；圆锥曲线中的存在性问题：存在性问题，其一般解法是先假设命题存在，用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐标，再根据合理的推理，若能推出题设中的系数，则存在性成立，否则，不成立.【例11】2010大纲全国I、已知抛物线的焦点为F，过点的直线与相交于、两点，点A关于轴的对称点为D（）证明：点F在直线BD上；（）设，求的内切圆M的方程 .【例12】2010山东、如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.（）求椭圆和双曲线的标准方程；（）设直线、的斜率分别为、，证明；（）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【例13】2010湖南、为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）在直线的右侧，考察范围为到点B的距离不超过km的区域；在直线的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过km的区域（）求考察区域边界曲线的方程；（）如图6所示，设线段，是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间.xy已融化区域冰川图6.x=2【例14】2010福建、已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点。（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在平行于OA的直线，使得直线与椭圆C有公共点，且直线OA与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。【命题意图】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。【例15】2010浙江、已知m1，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点. （）当直线过右焦点时，求直线的方程；（）设直线与椭圆交于两点， 的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围. 【突破训练】1、如图所示，已知圆为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足的轨迹为曲线E.（I）求曲线E的方程；（II）过点A且倾斜角是45°的直线l交曲线E于两点H、Q，求|HQ|.2、已知两点，动点P在y轴上的射影为Q，（1）求动点P的轨迹E的方程； （2）设直线m过点A，斜率为k，当时，曲线E的上支上有且仅有一点C到直线m的距离为，试求k的值及此时点C的坐标.3、在直角坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP，P为垂足.（1）求线段PP中点M的轨迹C的方程；（2）过点Q(2,0)作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点，且以 为方向向量的直线上一动点，满足（O为坐标原点），问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明文由.AyxOBGFF1图44、设，椭圆方程为，抛物线方程为如图4所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）5、设椭圆其相应于焦点的准线方程为.（）求椭圆的方程；（）已知过点倾斜角为的直线交椭圆于两点，求证： ; （）过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于和,求 的最小值6、已知抛物线，点M(m,0)在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点.（）若m=1，l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；（）若存在直线l使得成等比数列，求实数m的取值范围. 7、2010天津、已知椭圆(0)的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。()求椭圆的方程：()设直线与椭圆相交于不同的两点。已知点的坐标为(-，0)，点(0，)在线段的垂直平分线上，且=4。求的值。 8、已知椭圆两焦点分别为F1、F2，P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点. （1）求P点坐标；（2）求证直线AB的斜率为定值；（3）求PAB面积的最大值。 9、湖北、已知一条曲线C在y轴右边，C上没一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差是1.()求曲线C的方程；()是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有连个交点A,B的任一直线，都有? 若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.10、四川省文k#s已知定点A(1，0)，F(2，0)，定直线l：x，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N（）求E的方程；（）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.11、北京文、已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，离心率是，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P,圆心为P。（）求椭圆C的方程；（）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值12、已知的面积为S，且，建立如图所示坐标系，（1）若，求直线FQ的方程；（2）设，若以O为中心，F为焦点的椭圆过点Q，求当取得最小值时的椭圆方程.13如图，是双曲线C的两焦点，直线是双曲线C的右准线， 是双曲线C的两个顶点，点P是双曲线C右支上异于的一动点，直线、交双曲线C的右准线分别于M,N两点，（1）求双曲线C的方程；（2）求证：是定值.14、已知点，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足，（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（2）过点作直线m与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点，使得为等边三角形，求的值.M题（20）图GENHO152010重庆、已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的离心率.（）求双曲线的标准方程及其渐近线方程；（）如题（20）图，已知过点的直线与过点（其中）的直线的交点在双曲线上，直线与两条渐近线分别交于两点，求的面积.10 第页