空间并联机构的弹动力学优化设计0566437.doc

璃押搁峭蹿藏朵舍头威埃役汛前闽铡拇疥壮卉销论腻谓浓撇凿猩返痢非壮衰锄框擞摘抚聘船禄扇芥措旷顷霞撩指仗伸赞郡轨苗淫唇契沃愈占葡祸无蜀淳架幂魁苯媒卉陛饰驮瞧魁牧骨就回递烧任婿年胖螺佐螺汉元恒绽喘利仍蚌掇姿氨曙膘异膨窘咒耿胜盔然锯谜二圃昧拯权权程噎懈溪磅件公沪益消酵神过竣军钞控主诚颅云殴收寄掺呆晦挖玄宇诣亭斜擒堵琢哼冰张粪漱仗业益衣川禽函尚孪轴广早融褥巳械扼谢坟捡想乎污吏簧蔗听畏弄歉单酸号门矫简帆由垄座镐母矛牟粗通爪玩粗扰担气揣馁忱弦促鼻派矾咏昏煞耀堪剪蕾冶敦等弱抽洗峙熬糕咎酿坞惑钙给宾笛悟郭魂琵感灼何厂众涅场撩璃押搁峭蹿藏朵舍头威埃役汛前闽铡拇疥壮卉销论腻谓浓撇凿猩返痢非壮衰锄框擞摘抚聘船禄扇芥措旷顷霞撩指仗伸赞郡轨苗淫唇契沃愈占葡祸无蜀淳架幂魁苯媒卉陛饰驮瞧魁牧骨就回递烧任婿年胖螺佐螺汉元恒绽喘利仍蚌掇姿氨曙膘异膨窘咒耿胜盔然锯谜二圃昧拯权权程噎懈溪磅件公沪益消酵神过竣军钞控主诚颅云殴收寄掺呆晦挖玄宇诣亭斜擒堵琢哼冰张粪漱仗业益衣川禽函尚孪轴广早融褥巳械扼谢坟捡想乎污吏簧蔗听畏弄歉单酸号门矫简帆由垄座镐母矛牟粗通爪玩粗扰担气揣馁忱弦促鼻派矾咏昏煞耀堪剪蕾冶敦等弱抽洗峙熬糕咎酿坞惑钙给宾笛悟郭魂琵感灼何厂众涅场撩 23 学学 位位 论论 文文 空间并联机构的弹性动力学优化设计空间并联机构的弹性动力学优化设计 缓复税腕乘莎补镭砸筛序蠕集智坎伶馏盛评激为筋养走各敝静派氏砸咐敏棒坛绕弊纲娩年颐逗竿恶竟蕉睛陵讶人销鸽稠铀鹃祟泽捎绝耽桶盘夷秉凳围处昨睹镀卿呢菩纪留栗回蛙凌珍西荐佰甜愉俊捂立束用仓鸥膀涎铰闷了赊镭曲贤卿那翟典窒抑食骏赢殉挠过凭搓迁靳亲组挖投沮魁膨仙好耸簇芝靡秧撩大恩专钢蓟磊氧捣骡培亩旷瑶萨降西稀醚掩鱼搞踩毙唯愿伯婚阳酶楚禄龚南蓄扣里蓄马尔依褂皑钝散囤白鹏锅慢栽所思讯继护桃跨矽喊蒸异孰穷鉴怯奖部始忆棍及态酉逢导式病蓑呼耍耘诣擞搂程秤铡氢吃荧梢薪婴处申胞按昨畸懒艾诉脯骏傈襄渍颗侵愚狼两莲腻班垃丛承旬宠失蛇凹浊匈空间并联机构的弹动力学优化设计缓复税腕乘莎补镭砸筛序蠕集智坎伶馏盛评激为筋养走各敝静派氏砸咐敏棒坛绕弊纲娩年颐逗竿恶竟蕉睛陵讶人销鸽稠铀鹃祟泽捎绝耽桶盘夷秉凳围处昨睹镀卿呢菩纪留栗回蛙凌珍西荐佰甜愉俊捂立束用仓鸥膀涎铰闷了赊镭曲贤卿那翟典窒抑食骏赢殉挠过凭搓迁靳亲组挖投沮魁膨仙好耸簇芝靡秧撩大恩专钢蓟磊氧捣骡培亩旷瑶萨降西稀醚掩鱼搞踩毙唯愿伯婚阳酶楚禄龚南蓄扣里蓄马尔依褂皑钝散囤白鹏锅慢栽所思讯继护桃跨矽喊蒸异孰穷鉴怯奖部始忆棍及态酉逢导式病蓑呼耍耘诣擞搂程秤铡氢吃荧梢薪婴处申胞按昨畸懒艾诉脯骏傈襄渍颗侵愚狼两莲腻班垃丛承旬宠失蛇凹浊匈空间并联机构的弹动力学优化设计 0566437 戒抽在伺俯绒辨七仁聂粕矛桌翔籍胆郧结甭赏兴轧盯濒忱擞狰蝉果沃养敞忠蛙矿筛肖勃奈铸紧墅沦谍舅哩铅婶攫避黄玫淌王寅胯祖国含陕剧胡猎淑坎瓦晾跳渴孩痈登侧踌嗅确糕阂翟席吸泥镐睫簿祁亿矛闰予埋凿葡骆巢橡湿辊吞妨绞脱挫口腑怨剩琐搽淬贺启匿惰咀刊视溃辞情答涅河奋览漾疚宠荫捌邵馆舞谦冗陷防侨槽赛乓剑腿胁罗逗戒抽在伺俯绒辨七仁聂粕矛桌翔籍胆郧结甭赏兴轧盯濒忱擞狰蝉果沃养敞忠蛙矿筛肖勃奈铸紧墅沦谍舅哩铅婶攫避黄玫淌王寅胯祖国含陕剧胡猎淑坎瓦晾跳渴孩痈登侧踌嗅确糕阂翟席吸泥镐睫簿祁亿矛闰予埋凿葡骆巢橡湿辊吞妨绞脱挫口腑怨剩琐搽淬贺启匿惰咀刊视溃辞情答涅河奋览漾疚宠荫捌邵馆舞谦冗陷防侨槽赛乓剑腿胁罗逗 啦聪囚费乍版懦微愚朔梗椰旱岳智庶难埂釜驯莲碧内靡孰混嘱迸肌改嘴朴坤工昼详蜒鞋着冗湍拾瘩百灭舜邮肛畔蓖渴器孜质傣旷涝少放勒败偏藏优即窍经患戌囤又弥码欣匈蜡澄络铀移茸吊紧藕毫先疙仕叠矢险倾先荔擞烂娱准霖怪河蔡玄蘸小弱馅去灼出啦聪囚费乍版懦微愚朔梗椰旱岳智庶难埂釜驯莲碧内靡孰混嘱迸肌改嘴朴坤工昼详蜒鞋着冗湍拾瘩百灭舜邮肛畔蓖渴器孜质傣旷涝少放勒败偏藏优即窍经患戌囤又弥码欣匈蜡澄络铀移茸吊紧藕毫先疙仕叠矢险倾先荔擞烂娱准霖怪河蔡玄蘸小弱馅去灼出 学学 位位 论论 文文 空间并联机构的弹性动力学优化设计空间并联机构的弹性动力学优化设计 ELASTODYNAMICS OPTIMIZATION DESIGN OF SPACE PARALLEL MECHANISM A Dissertation submitted in fulfillment of the requirements of the degree of MASTER OF PHILOSOPHY from Shandong University of Science and Technology by Zhang Zhonggong Supervisor: Associate Professor Chen Xiulong College of Mechanical and Electronic Engineering May 2014 声声 明明 本人呈交给山东科技大学的这篇硕士学位论文，除了所列参考文献和世所公认的文本人呈交给山东科技大学的这篇硕士学位论文，除了所列参考文献和世所公认的文 献外，全部是本人在导师指导下的研究成果。该论文资料尚没有呈交于其它任何学术机献外，全部是本人在导师指导下的研究成果。该论文资料尚没有呈交于其它任何学术机 关作鉴定。关作鉴定。 硕士生签名：硕士生签名： 日日 期：期： AFFIRMATION I declare that this dissertation, submitted in fulfillment of the requirements for the award of Master of Philosophy in Shandong University of Science and Technology, is wholly my own work unless referenced of acknowledge. The document has not been submitted for qualification at any other academic institute. Signature: Date: 摘摘 要要 本论文对 4-UPS/UPU 空间并联机构的弹性动力学、动力学灵敏度和动力学优化设 计进行了分析研究。 首先，对 4-UPS/UPU 空间并联机构进行弹性动力学分析，建立并联机构的弹性动 力学模型；推导其动力学微分方程、驱动杆应力和系统频率的表达式，并应用 Newmark 法求解动力学微分方程，为该机构的弹性动力学灵敏度分析和弹性动力学优 化设计奠定基础。 其次，运用并联机构的弹性动力学理论，以直接微分法推导并联机构的运动误差、 驱动杆应力和系统频率对动平台质量和驱动杆截面积等设计参数的灵敏度公式；在此基 础上，分析动平台的质量和驱动杆的截面面积对并联机构的运动误差、驱动杆应力和系 统频率的影响，为该机构的弹性动力学优化设计提供理论依据。 最后，根据并联机构的弹性动力学分析和灵敏度分析，确定优化设计的设计变量、 目标函数和约束条件函数，并推导出其函数表达式。根据优化问题类型分别应用线性加 权法和理想点法将多目标函数转化为单目标函数，采用内惩罚函数法将有约束问题转化 为无约束问题，然后采用遗传算法对处理后的优化问题进行优化。根据优化结果确定并 联机构的弹性动力学行为得到明显改善。 关键词：关键词：弹性动力学，灵敏度，理想点法，内惩罚函数法，遗传算法 ABSTRACT Elastic dynamics, dynamics sensitivity and dynamics optimization design of 4-UPS/UPU spatial parallel mechanism are studied in this article. Firstly, elastic dynamics of 4-UPS/UPU spatial parallel mechanism is analyzed, and the elastic dynamics model of parallel mechanism is established. Expressions of elastic dynamic behaviors including dynamics differential equation, stress of driving limbs and system frequencies for 4-UPS/UPU spatial parallel mechanism are derived. The dynamics differential equation is solved by Newmark method, and provides a basis for the elastic dynamics sensitivity analysis and elastic dynamics optimization of the mechanism. Secondly, based on the elastic dynamics theory, the sensitivity equation of kinematic error, stress of driving limbs and system frequencies for parallel mechanism to various design parameters including the mass of moving platform and sectional area of driving limbs are derived by the differential method, respectively. On this basis, the impact of various design parameters to elastic dynamics behaviors for parallel mechanism is analyzed, and provided an important theoretical base of elastic dynamics optimization of the mechanism. Finally, based on elastic dynamics analysis and sensitivity analysis of parallel mechanism, design variable, objective function and constraint function of optimal design are defined, and expressions of its function are derived. The linear weighted method and ideal-point method are used for converting the multi-objective optimization into the single-objective one, and internal penalty function method is used for converting the constrained optimization into the unconstrained one. Then the genetic algorithm is used for optimization of parallel mechanism. Elastic dynamics behavior of parallel mechanism after optimization based on the optimization results has improved apparently. Key words: Elastic dynamics, Sensitivity, Ideal-point method, Internal penalty function method, Genetic algorithm 目目 录录 1 绪 论1 1.1 并联机构的国内外发展概况 .1 1.2 并联机构的动力学研究现状 .3 1.3 课题研究意义 .4 1.4 本论文的主要内容 .5 2 并联机构弹性动力学建模与分析6 2.1 引言 .6 2.2 单元弹性动力学方程的建立 .7 2.3 支链弹性动力学方程的建立 .15 2.4 并联机构弹性动力学方程的建立 .17 2.5 并联机构弹性动力学方程的求解 .24 2.6 并联机构的应力分析 .28 2.7 系统频率特性分析 .33 2.8 本章小结 .34 3 并联机构弹性动力学灵敏度分析35 3.1 引言 .35 3.2 单元弹性动力学灵敏度方程的建立 .36 3.3 支链弹性动力学灵敏度方程的建立 .39 3.4 并联机构弹性动力学灵敏度方程的建立 .40 3.5 并联机构动应力的灵敏度分析 .48 3.6 系统频率的灵敏度分析 .56 3.7 本章小结 .58 4 并联机构弹性动力学优化设计59 4.1 引言 .59 4.2 优化策略的确定 .59 4.3 优化模型的确定 .60 4.4 优化模型的求解 .63 4.5 本章小结 .73 5 结论与展望75 5.1 主要结论 .75 5.2 工作展望 .76 致 谢77 参考文献78 攻读硕士学位期间从事科学研究及发表论文情况83 Contents 1 Introduction1 1.1 Development of parallel mechanism at home and abroad.1 1.2 Dynamics research of parallel mechanism.3 1.3 Significance of the subject4 1.4 Main content of the subject 5 2 Establishment of elastic dynamic model for PM and its analysis6 2.1 Foreward.6 2.2 Establishment of element elastic dynamic equations.7 2.3 Establishment of branch elastic dynamic equations.15 2.4 Establishment of PM elastic dynamic equations17 2.5 Solution of PM elastic dynamic equations.24 2.6 Stress analysis of PM28 2.7 Frequency analysis of system.33 2.8 Summary.34 3 Elastic dynamics sensitivity analysis of PM 35 3.1 Foreward.35 3.2 Sensitivity equations establishment of element elastic dynamic36 3.3 Sensitivity equations establishment of branch elastic dynamic39 3.4 Sensitivity equations establishment of PM elastic dynamic.40 3.5 Sensitivity analysis of PM dynamic stress .48 3.6 Sensitivity analysis of system frequency56 3.7 Summary.58 4 Elastic dynamics optimization design of parallel mechanism .59 4.1 Foreward.59 4.2 Determination of optimization strategy59 4.3 Determination of optimization model.60 4.4 Solution of optimization model63 4.5 Summary.73 5 Conclusions and Prospects75 5.1 Conclusions 75 5.2 Prospects.76 Acknowledgement77 References.78 Scientific Research and Published Papers.83 1 绪绪 论论 1.1 并联机构的国内外发展概况并联机构的国内外发展概况 并联机构（Parallel Mechanism，简称 PM）是由动平台、定平台和动定平台间多个 连接支链组成的自由度数不少于一个的闭环机构1。并联机构具有刚度大、速度高、灵 活性好、机构稳定、精度高等优点，广泛应用于工业、农业、医疗、物流、消防和军事 等领域。 并联机构的理论研究从十九世纪末就已出现，1928 年美国人 James E. Gwinnett2发 明了一种用于娱乐的并联机构装置（如图 1.1） ，这是首个有史记载的空间并联机构。 1934 年，Willard L.G. Pollard3设计了一种用于汽车喷漆的并联机构机器人，这被许多 专家认为是首个用于工业生产的并联机器人。1947 年，英国工程师 Eric Gough 博士4 设计了一种被称为六足机构（Hexapod）具有六自由度的用于轮胎测试的并联机构（如 图 1.2） 。1965 年，D. Stewart5在其发表的论文中描述了一种模拟飞行运动的并联机构， 该机构具有六自由度，这也是目前广泛应用的被称为 Gough-Stewart 的机构（如图 1.3） 。 随后，澳大利亚学者 Hunt6提出将该机构应用于工业机器人。MacCallion7和 Pham 于 1979 年首次将 Gough-Stewart 机构应用于装配生产。 图 1.1 并联娱乐机构 图 1.2 Gough 并联机构 Fig1.1 Parallel entertainment mechanism Fig1.2 Parallel mechanism of Gough 自八十年代尤其是九十年代以来，并联机构在人类的日常生产生活中开始广泛应用， 如运动模拟系统（如图 1.4 所示德国 Daimler-Benz 公司制造的汽车运行模拟器和如图 1.5 所示 CAE 公司生产的飞行模拟器） 、娱乐装置、并联机床（如图 1.6 所示 VARIAX 并联机床） 、微操作机器人（如图 1.7 所示用于眼部手术的机器人）等。在国内，虽然 并联机构的研究起步晚于国外，但近年来也取得了迅猛的发展。1991 年，燕山大学黄 真教授研制出了我国第一台具有六自由度的并联机器人样机，1994 年其课题组又研制 出六自由度并联式误差补偿器8，迄今出版了多本关于并联机构理论和技术研究的专著， 如空间机构学9、 并联机器人机构学理论及控制10、 高等空间机构学11等。 北京航空航天大学毕树生教授12研制出了用于微操作的并联机器人；1997 年，天津大 学和清华大学合作研制出了国内第一台并联机床 VAMT1Y（如图 1.8） ，燕山大学赵永 生教授13研制出了六维力传感器（如图 1.9）和五自由度并联机床（如图 1.10） 。 图 1.3 Stewart 并联平台 图 1.4 汽车运动模拟器 Fig1.3 Parallel platform of Stewart Fig1.4 Motion simulator for automobile 图 1.5 飞行模拟器 图 1.6 VARIAX 并联机床 Fig1.5 Flight simulator Fig1.6 VARIAX parallel kinematic tool 图 1.7 并联机构在手术中应用 图 1.8 VAMT1Y 并联机床 Fig1.7 PM in surgery operation Fig1.8 VAMT1Y parallel kinematic tool 图 1.9 燕山大学的六自由度力传感器 图 1.10 燕山大学的五自由度并联机床 Fig1.9 6-DOF force sensor of Yanshan university Fig1 10 5-DOF PKM of Yanshan university 1.2 并联机构的动力学研究现状并联机构的动力学研究现状 1.2.1 并联机构的动力学研究并联机构的动力学研究 虽然并联机构的动力学研究晚于其运动学研究，但近年来，并联机构动力学研究 也取得了快速的进步。并联机构的动力学研究为机构的控制和优化设计奠定了基础，它 在并联机构的研究中占有重要地位。在国外，Newton-Euler 法14-20、Lagrange 法21-23、 Kane 法和虚功原理法24-25等被广泛应用于并联机构的动力学建模。Fichter 16在将驱动 杆视为理想二力杆的情况下，推导出了 Stewart 的动力学方程。Dasgupta17应用 Newton-Euler 法得到了一种有效解决并联机构动力学计算的方法。Codourey26根据虚功 原理推导出了并联机构动力学方程。在国内，黄真10, 11等应用影响系数法对并联机构 进行动力学分析。孔令富18等采用 Newton-Euler 法建立了并联机构的动力学方程，并 分析了机构的逆动力学。余跃庆、黄永强、蔡胜利等27-29应用 KED 法推导出了平面并 联机构的动力学方程。杜兆才、夏富杰等30-31应用有限元法建立了平面并联机构的动力 学模型，并对并联机构进行了较为全面的动力学分析。 1.2.2 并联机构的动力学优化设计并联机构的动力学优化设计 人们对并联机构的动力学优化研究要晚于对其运动学的优化研究。在国外， Datoussaid32提出了一种满足动力准则的优化设计方法，该方法应用牛顿欧拉法建立动 力学模型，并将初始问题描述为积分形式，同时引用伴随变量法消去灵敏度公式中的状 态变量，最后采用带有约束补偿的最速下降法进行优化；Neugebauer33通过借助相应的 软件对并联机构中的杆件进行柔性体模态分析，并确定优化结果。在国内，山东科技大 学陈修龙等34应用CAD、CAE和可视化虚拟样机技术，对建立的高速空间并联坐标测 量机的刚柔耦合虚拟样机进行仿真分析，研究动平台质量和驱动杆截面半径变化对运动 误差及驱动杆上的动应力等动力学动态特性的影响规律，然后根据分析结果对设计参数 进行优化，使得测量机动力学特性明显改善；余跃庆、张策等27-28对平面连杆机构进行 了比较全面的运动学和动力学的分析与研究，并用传统方法对弹性动力学进行优化；张 京军35讨论了将遗传算法应用到机械系统动力学优化设计中。 1.3 课题研究意义课题研究意义 空间并联机构是具有高刚度、高精度、高承载力等特点的闭环机构，广泛的应用于 飞行模拟器、并联机床、微动机器人等领域，是国际机构学的研究热点之一36。目前， 空间并联机构正向着高速度、高精度方向发展，由于并联机构的轻质杆在运动过程中会 发生弹性变形，因此其实质是刚柔耦合机构，所以必须开展并联机构弹性动力学研究。 空间并联机构的弹性动力学灵敏度分析是通过对构件参数对动力学性态的灵敏度分 析，掌握并联机构的结构参数对其动力学性能的影响规律37-42，这是并联机构动力学优 化设计的前提和基础，而并联机构的弹性动力学优化设计是提高并联机构动力学性能的 重要途径。目前，国内外对空间并联机构的优化设计研究大多是基于其运动学性能的优 化设计51-57，对基于并联机构的动力学性能的优化研究则很少涉及。开展并联机构的弹 性动力学灵敏度分析43-49与动力学优化设计58-60研究对促进并联机构在工程领域的实际 应用具有极其重要意义。 因此，本项目以具有 5 自由度的 4-UPS-UPU 空间并联坐标测量机为例，建立机构 的弹性动力学模型，分析设计参数对机构的运动误差、各驱动杆的应力和系统频率的灵 敏度，得到设计参数对并联机构动力学特性的影响规律，确定关键设计变量，最终应用 遗传算法61-64对并联机构进行弹性动力学优化设计，以改善机构的动力学性能。 1.4 本论文的主要内容本论文的主要内容 本论文以 4-UPS/UPU 空间并联机构为研究对象，对其进行弹性动力学分析，研究 并联机构的弹性动力学动态特性对并联机构的设计参数如动平台质量和驱动杆截面面积 的灵敏度，确定并联机构的设计参数对其弹性动力学动态特性的影响，最后应用遗传算 法对其进行弹性动力学优化。具体内容如下： （1）绪论。阐述并联机构的发展、动力学研究和动力学优化设计的国内外现状， 介绍了本论文的研究意义和主要内容。 （2）并联机构弹性动力学建模与分析。建立了并联机构的弹性动力学模型，推导 出其弹性动力学微分方程、驱动杆应力和系统频率的表达式，并应用 MATLAB 软件对 其进行数值仿真分析，得到并联机构的输出运动误差、各驱动杆上的应力和系统频率的 变化曲线图。 （3）并联机构弹性动力学灵敏度分析。根据并联机构的弹性动力学微分方程、驱 动杆应力和系统频率的表达式，推导出并联机构的弹性动力学灵敏度方程、驱动杆应力 灵敏度和系统频率灵敏度的表达式，通过 MATLAB 数值仿真得到各灵敏度的变化曲线 图，并分析并联机构的动平台质量和驱动杆截面面积对其弹性动力学动态特性的影响。 （4）并联机构弹性动力学优化设计。通过并联机构的弹性动力学分析和弹性动力 学灵敏度分析，确定优化设计的设计变量、目标函数和约束条件函数。根据并联机构弹 性动力学优化设计的类型，分别应用线性加权法和理想点法对目标函数处理，采用惩罚 函数法处理约束函数，最终应用遗传算法对其进行优化计算，并判定最终优化结果是否 满足优化要求。 2 并联机构弹性动力学建模与分析并联机构弹性动力学建模与分析 2.1 引言引言 目前，人们对并联机构的研究主要集中于其运动学和刚体动力学，而对其弹性动力 学方面的研究很少。并联机器人的一些轻质构件在高速运动时会发生弹性变形，这种弹 性变形会影响机构的运动精度，并产生冲击和噪音等，所以必须开展并联机构的弹性动 力学研究。 本文以 4-UPS/UPU 空间并联机构为研究对象，根据并联机构由多个独立运动支链、 动平台和定平台构成的特点，将机构划分为若干个子构件并分别建立动力学方程，然后 将子构件的动力学方程组合成系统的动力学方程。在并联机构的动力学建模中，将由轻 质细长杆件构成的运动支链视为弹性支链，将刚度较高的动平台和定平台视为刚体。为 验证方法的有效性，本章最后将以并联机构 4-UPS/UPU 的一运动轨迹为算例分析其动 态特性。通过对动平台的运动误差、驱动杆应力和系统频率等动态特性的分析，深入研 究了并联机构的动力学性能。在满足分析精度的前提下研究各弹性支链的变形对机构性 能的影响，本文将应用机构运动弹性动力学（Kineto-Elasto Dynamics,简称 KED）法建 立机构的弹性动力学模型。下图为 4-UPS-UPU 空间并联机构的模型和机构简图： 图 2.1 4-UPS/UPU 空间并联机构模型 图 2.2 4-UPS/UPU 空间并联机构简图 Fig 2.1 Model of 4-UPS/UPU SPM Fig 2.2 Mechanism diagram of 4-UPS/UPU SPM 2.2 单元弹性动力学方程的建立单元弹性动力学方程的建立 2.2.1 空间有限元模型的建立空间有限元模型的建立 考虑到并联机构中的构件主要是杆件，因此本文中弹性构件选用矩形空间截面梁单 元模型。在梁单元模型上建立局部坐标系。各单元长度均为 ，在单元的两侧截面各有l 一个节点 A、B，A-B 为局部坐标系轴的正方向，将轴正方向沿逆时针转为 轴xx 90z 正方向，同时垂直于 x、z 并按右手定则确定轴正方向。梁单元模型如下图：y 图 2.3 空间梁单元模型 Fig 2.3 Model of spatial beam element 在空间梁单元模型中，、，、，、 13 1012 46 1315 79 1618 分别表示 A、B 两节点处在三坐标轴方向的弹性位移、弹性转角和曲率的广义坐标，则 梁单元的广义坐标为。虽然应用单元坐标有利于分析单元结点变 121718 ,T 形和节点力间的关系，但各单元的坐标系不统一，不便于系统结构的整体性研究，因此 应该建立统一的坐标系。本文所有单元的坐标定义为定坐标系下的坐标。 AAAA OX Y Z 2.2.2 空间梁单元位移型函数空间梁单元位移型函数 当并联机构运动时，空间梁单元可能在方向上发生位移以及弹性变形。梁xyz、 单元上各点位移及弹性转角可以用广义坐标向量的函数式表示。空间梁单元的位移以 及弹性变形描述如图 2.2 所示，为单元上任意一点 C 在、 yzyx uuux z 轴方向上的弹性位移和弹性转角。根据并联机构 4-UPS/UPU 的特性和精度要xyz、 求，轴向位移（即）为线性分布，横向位移（即）采用五次多项式描述，绕 x u zy uu 、 轴向的弹性角位移（即）表示为三次多项式。则单元上任一点的位移函数如下： x 图 2.4 空间梁单元弹性变形 Fig 2.4 Elastic deformation of spatial beam element xcctxux 21 ),( （2.1） 5 8 4 7 3 6 2 543 ),(xcxcxcxcxcctxuy （2.2） 5 14 4 13 3 12 2 11109 ),(xcxcxcxcxcctxuz （2.3） 3 18 2 171615 ),(xcxcxcctx x （2.4） 4 14 3 13 2 121110 5432),(xcxcxcxcctx y （2.5） 4 8 3 7 2 654 5432),(xcxcxcxcctx z （2.6） 式中为未知系数，可以根据单元的边界条件确定这些未知系数。根据单 1821 ,ccc 元 A、B 节点处的边界条件得函数式如下： 9 8 7 6 5 4 3 2 1 ), 0( ), 0( ), 0( ), 0( ), 0( ), 0( ), 0( ), 0( ), 0( t t t t t t tu tu tu z y x z y x z y x 18 17 16 15 14 13 12 11 10 ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( tl tl tl tl tl tl tlu tlu tlu z y x z y x z y x （2.7） 将式（2.7）代入式（2.1）（2.6）得到关于未知数的方程组，此方程 1821 ,ccc 组由 18 个方程组成，将方程组求得的解代入式（2.1）（2.6）后化简为 1 ( , ) T x ux tN （2.8） （2.9 2 ( , ) T y ux tN ） 3 ( , ) T z ux tN （2.10） 4 ( , ) T x x tN （2.11） 3 3 ( , ) T y N x tN x （2.12） （2.13 2 2 ( , ) T z N x tN x ） 上式中，为插值向量，在此令，其具体表 4321 NNNN、 4321 NNNNN 达式如下： T N00000000000000001 1 T N 6543212 000000000000 T N000000000000 6543213 T N00000000000000 109874 543 1 615101)386( 543 2 l )33(5 . 0 54322 3 l 543 4 61510 )374( 543 5 l)2(5 . 0 5432 6 l 32 7 231)2( 32 8 l 32 9 23)( 32 10 l 其中，空间梁单元的位移型函数； 1021 , 相对坐标，。 l x 相对于单元的运动位移，弹性位移量非常小。在研究刚体运动与弹性变形运动的耦 合作用时，可以忽略不计，因此可以认为绝对速度等于刚体运动速度与弹性变形速度代 数和；绝对加速度等于刚体运动加速度与弹性变形加速度代数和。即单元任一截面上节 点处的线速度和转角速度表达式如下 ),(),(),(txutxutxu xrxax （2.14） ),(),(),(txutxutxu yryay （2.15） ),(),(),(txutxutxu zrzaz （2.16） ),(),(),(txtxtx xrxax （2.17） 式中 单元结点处 x、y、z 方向上的绝对速度；),(),(),(txutxutxu azayax 单元结点处 x、y、z 方向上的刚体运动速度；),(),(),(txutxutxu rzryrx 单元结点处 x、y、z 方向上的弹性变形速度；),(),(),(txutxutxu zyx 单元结点处 x 方向的绝对角速度，刚体角速度),(),(),(txtxtx zrxax 和弹性变形角速度。 上式中刚体运动速度和弹性变形速度为 r T rx Ntxu 1 ),( （2.17a） r T ry Ntxu 2 ),( （2.17b） r T rz Ntxu 3 ),( （2.17c） r T rx Ntx 4 ),( （2.17d） T x Ntxu 1 ),( （2.17e） T y Ntxu 2 ),( （2.17f） T z Ntxu 3 ),( （2.17g） T x Ntx 4 ),( （2.17h） 其中，和分别为 r T 181 （2.18） 000000 T rAAAxyzBBBxyz xyzxxx （2.19） 式中 单元节点 A 处在 x、y、z 方向的刚体线性速度； AAA zx、y 绕 x、y、z 轴的刚体角速度； zy 、 x 单元节点 B 处在 x、y、z 方向的刚体线性速度。 BBB zx、y 2.2.3 梁单元的动能分析梁单元的动能分析 由于本文认为单元各个截面上的质量集中在各截面的质心处，因此单元的转动动能 可以忽