高三数学专题七曲线的性质和轨迹问题.ppt
专题七 曲线的性质和轨迹问题,【考点搜索】,【考点搜索】,1.掌握圆锥曲线的第一定义和第二定义反映的几何性质； 2.求曲线的方程的常见方法： 待定系数法，即先确定方程的形式，再确定方程的系数； 定义法，即根据已知条件，建立坐标系、列出x和y的等量关系、化简关系; 代入法; 参数法.,【课前导引】,【课前导引】,1. 已知F1、F2是双曲线 的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是( ),解析 设的中点为P，依题意，,解析 设的中点为P，依题意，,答案 D,2. 以下四个关于圆锥曲线的命题中：,设A、B为两个定点，k为非零常数， ，则动点P的轨迹为 双曲线； 过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB， O为坐标原点，若 则动点P的轨迹为椭圆；,方程 的两根可分别作 为椭圆和双曲线的离心率；,双曲线 相同的焦点.,其中真命题的序号为_（写出所有真命题的序号）,解析 的轨迹可能是双曲线的一支，也可能是一条射线，也可能无轨迹； 的轨迹是圆；计算知正确。,【链接高考】,【链接高考】,例1,(1)设椭圆的离心率为，证明 (2)证明： (3)设 求椭圆的方程.,解析,( 另：由ab=c2知：,(2) 由(1)有,故所求椭圆的方程为,故所求椭圆的方程为,说明 本题采用了待定系数法求轨迹方程.,例2 在ABC中, 已知B(-3,0), C(3,0), 的垂心H分有向 线段 所成的比为,(1) 分别求出点A和点H的轨迹方程;,解答 设H点的坐标为(x,y),对应的A的坐标为(x1, y1), 则D的坐标为(x1, 0), 由H分有向线段,此即点H的轨迹方程.,(2)由(1)可知, P, Q分别为椭圆的左右焦 点, 设H(x, y), 且 数列, 则,说明 本题采用了代入法求轨迹方程.,例3 如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点. (1)求APB的重 心G的轨迹方程. (2)证明PFA= PFB.,解答 (1)设切点A、B坐标分别为,所以APB的重心G的坐标为,由于P点在抛物线外，,AFP=PFB.,方法2：,所以d1=d2，即得AFP =PFB.,所以P点到直线AF的距离为：,同理可得到P点到直线BF的距离,因此由d1=d2，可得到AFP=PFB.,同理可得到P点到直线BF的距离,因此由d1=d2，可得到AFP=PFB.,说明 本题采用了代入法求轨迹方程.,例4 如右图, 已知A: (x+2)2+y2 =,B: (x2)2+y2 = , 动圆P与A、B都相外切.,(1)动圆圆心P的轨迹方程； (2)若直线y=kx+1与(1)中的曲线有两个不同的交点P1、P2，求k的取值范围.,解答 (1)依题意，PAPB=,故P的轨迹是双曲线的右支，a=1，c=2， 其方程为：,(2)联立方程组,在1, +)有两不同的解，,例5 A、B是抛物线 y2 = 2px(p0)上的 两点，且OAOB， 1. 求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积； 2. 求证：直线AB过定点； 3. 求弦AB中点P的轨迹方程； 4. 求AOB面积的最小值； 5. 求O在AB上的射影M轨迹方程.,解答 (1)设A(x1, y1)，B(x2, y2)，中点P(x0, y0)，, OAOB kOAkOB=-1， x1x2+y1y2=0, y12 = 2px1，y22 = 2px2, y10, y20, y1y2=4p2 x1x2=4p2.,(2) y12=2px1，y22=2px2 (y1y2)(y1+y2) = 2p(x1x2), AB过定点(2p, 0)，设M(2p, 0).,(3)设OAy = kx，代入y2=2px 得: x=0，,同理， 以代k得B(2pk2, -2pk) .,即 y02 = px0-2p2， 中点M轨迹方程 y2 = px-2p2,(4),当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立.,(5)法一：设H(x3, y3), 则,由(1)知，y1y2=-4p2，,整理得：x32+y32 -2px3=0， 点H轨迹方程为x2+y2-4x=0(去掉(0, 0)., H在以OM为直径的圆上 点H轨迹方程为(x-p)2+y2=p2, 去掉 (0, 0). 评注：此类问题要充分利用(1)的结论.,法二： OHM=90, 又由(2)知OM为定线段,专题七 曲线的性质和轨迹问题,第二课时,【考点搜索】,【考点搜索】,1. 在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用； 2. 注意向量与解析几何的密切联系.由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与解析几何之间有着密切联系，大量的轨迹问题都是以向量作为背景编拟的 ； 3.注意利用曲线系解题.,【课前导引】,1. 已知反比例函数 的图像是等轴双曲线，则其焦点坐标是 ( ),【课前导引】,A. B. C. D.,解答 双曲线的实轴为直线 x-y = 0, 故 两个顶点坐标为 , 且,解答 双曲线的实轴为直线 x-y = 0, 故 两个顶点坐标为 , 且,答案 A,2. 已知圆x2+y2=1，点A(1，0)，ABC内接于此圆，BAC=60o，当BC在圆上运动时，BC中点的轨迹方程是( ),A. x2+y2 =,B. x2+y2 =,C. x2+y2 =,D. x2+y2 =,解析 记O为原点，依题意， 且OB=OC=1, 故原点到直线BC的距离为 由图像可知，BC中点的横坐标小于 故选D.,【链接高考】,【链接高考】,例1 若直线mx+y+2=0与线段AB有交点，其中A(-2, 3)，B(3, 2)，求实数m的取值范围.,解答 直线mx+y+2=0过一定点C(0, -2), 直线mx+y+2=0实际上表示的是过定点(0, -2)的直线系，因为直线与线段AB有交点，则直线只能落在ABC的内部，设BC、CA这两条直线的斜率分别为k1、k2，则由斜率的定义可知，直线mx+y+2=0的斜率k应 满足kk1或kk2， A(-2, 3) B(3, 2),说明 此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题，这里要清楚直线mx+y+2=0的斜率m应为倾角的正切，而当倾角在(0, 90)或(90, 180)内，角的正切函数都是单调递增的，因此当直线在ACB内部变化时，k应大于或等于kBC，或者k小于或等于kAC，当A、B两点的坐标变化时，也要能求出m的范围.,例2 根据下列条件，求双曲线方程.,解答 方法一：,(1),解之得：,则,， 解之得：,方法二：(1)设双曲线方程为,(3)设双曲线方程为,， 解之得：k=4, 双曲线方程为,比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想.,例3 已知直线l与椭圆 有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程.,例3 已知直线l与椭圆 有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程.,解答 由已知，直线l 不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为 代入椭圆方程 得,化简后，得关于的一元二次方程,于是其判别式,由已知，得=0即 ,在直线方程y=kx+m中，分别令y=0，x=0， 求得,令顶点P的坐标为(x，y)，由已知，得,代入式并整理，得,即为所求顶点P的轨迹方程.,说明 方程 形似椭圆的 标准方程，但图像当然不是椭圆，你能知道它有什么几何性质？,例4,解,（1）,（2）,说明 向量数量积的坐标表示，构建起向量与解析几何的密切关系，使向量与解析几何融为一体. 求此类问题的关键是：利用向量数量积的坐标表示，沟通向量与解析几何的联系. 体现了向量的工具性.,
