1、20世纪数学概观世纪数学概观（）现代数学成果十例现代数学成果十例四色定理四色定理(Four color theorem)4 3 2 1 1 3 3藍藍 綠綠黃黃 许多同学都知到排列多同学都知到排列组合把，合把，也也应该应该都做都做过这个着色个着色问题吧：吧：用用4 4种不同的顏色去涂右种不同的顏色去涂右边这个个脸谱，每区域一色，同一种，每区域一色，同一种顏色可重复使用，但相顏色可重复使用，但相邻区域区域不可同色，不可同色，则有多少种涂法？有多少种涂法？答案是答案是214214种种地地图图四色定理最先四色定理最先是由一位叫古德里是由一位叫古德里的英国大学生提出的英国大学生提出来的。四色来的。四色
2、问题问题的的内容是：内容是：“任何一任何一任何一任何一张张地地地地图图只用四种只用四种只用四种只用四种颜颜色就能使具有共同色就能使具有共同色就能使具有共同色就能使具有共同边边界的国家着上不界的国家着上不界的国家着上不界的国家着上不同的同的同的同的颜颜色。色。色。色。”定理定理定理定理概述概述概述概述：用数学用数学用数学用数学语语言表示，即言表示，即言表示，即言表示，即“将平面任意地将平面任意地将平面任意地将平面任意地细细分分分分为为不相重迭不相重迭不相重迭不相重迭的区域，每一个区域的区域，每一个区域的区域，每一个区域的区域，每一个区域总总可以用可以用可以用可以用1 1，2 2，3 3，4 4这
3、这四个数字四个数字四个数字四个数字之一来之一来之一来之一来标记标记，而不会使相，而不会使相，而不会使相，而不会使相邻邻的两个区域得到相同的数字。的两个区域得到相同的数字。的两个区域得到相同的数字。的两个区域得到相同的数字。”这这里所指的相里所指的相里所指的相里所指的相邻邻区域，是指有一整段区域，是指有一整段区域，是指有一整段区域，是指有一整段边边界是公共的。界是公共的。界是公共的。界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻邻的。的。的。的。因因因因
4、为为用相同的用相同的用相同的用相同的颜颜色色色色给给它它它它们们着色不会引起混淆着色不会引起混淆着色不会引起混淆着色不会引起混淆定理的提出定理的提出定理的提出定理的提出1852年首先由英国青年大学生古德里提出“四色问题”；1878年凯莱发表论地图的着色，掀起了一场四色问题热；1879年律师肯泊（英，18491922年）宣布证明了“四色问题”并发表于美国数学杂志上；1890年希伍德（英，18611955年）指出了肯泊的错误，证明了“五色定理”并一生坚持研究四色问题。定理的定理的定理的定理的发发展展展展进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯泊的想法在进行；1913年，美国著名数学
5、家、哈佛大学的伯克霍夫利用肯泊的想法，结合自己新的设想；证明了某些大的构形可约；美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色；1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国；这种推进仍然十分缓慢。定理的解决定理的解决定理的解决定理的解决1976年哈肯和阿佩尔，利用“不可避免构形集”、“可约集”等关键意义的概念，采用计算机实验方法，成功获得了一组不可避免可约图，最终解决了四色问题。定理的影响定理的影响定理的影响定理的影响“四色问题”的被证明仅解决了一个历时100多年的难题，而且成为数学史上一系列新思
6、维的起点。在“四色问题”的研究过程中，不少新的数学理论随之产生，也发展了很多数学计算技巧。如将地图的着色问题化为图论问题，丰富了图论的内容。不仅如此，“四色问题”在有效地设计航空班机日程表，设计计算机的编码程序上都起到了推动作用。分形与混沌分形与混沌分形与混沌分形与混沌分形分形分形分形的的的的发现发现20世世纪数学在几何概念上有两次数学在几何概念上有两次飞跃与空与空间维度相关：从有限度相关：从有限维到无到无穷维的的飞跃；从整；从整数数维到分数到分数维的的飞跃。美籍美籍法国法国数学家蒙德数学家蒙德尔布布罗1967年年发表的文章表的文章英英国海岸国海岸线有多有多长？标志志着后一次着后一次飞跃的开始
7、的开始。海岸线问题是一个实际的地理测量问题。二十世纪下半叶，有人发现一些百科全书中记录的海岸线竟相差20，法国数学家蒙德尔布罗经过认真研究认为是由于海岸线形状的不规则引起的，由于这种不规则，不同的测量尺度将得出不同的测量结果。英国的海岸线地图分形的分形的分形的分形的创创立立立立1967年发表于美国科学杂志上的“英国的海岸线有多长”的划时代论文，是蒙德尔布罗的分形思想萌芽的重要标志。1973年，在法兰西学院讲课期间，蒙德尔布罗提出了分形几何学的整体思想。1977年，蒙德尔布罗出版了第一本著作分形：形态，偶然性和维数，标志着分形理论的正式诞生。1982年，蒙德尔布罗出版了著名的专著自然界的分形几
8、何学，至此，分形理论初步形成。现在，分形已广泛地应用于数学、物理、化学、生物学把形态、功能和信息方面具有自相似性的对象称为分形分形植物 Koch 雪花Sierpinski 三角形从从1978年开始，蒙德年开始，蒙德尔布布罗等人开始研究在非等人开始研究在非线性性变换(即即允允许比比简单放大与平移更复放大与平移更复杂的操的操作如平方、立方等作如平方、立方等)下保持不下保持不变的分形，他的分形，他们利利用用电子子计算机来算机来产生生这样的分形的分形图形，并研究形，并研究它它们的性的性质，又，又发现了所了所谓“混沌混沌”(chaos)现象，象，导致了致了混沌混沌动力学力学的建立。的建立。混沌混沌混沌混
9、沌动动力学的力学的力学的力学的创创立立立立有限有限有限有限单单群分群分群分群分类类有限单群分类的基本内容有限单群分类的证明历史二代分类（一）.定理 有限单群是指：除了单位元群和它本身以外没有其他正规子群的有限群。有限单群类似于整数中的素数，可比喻为搭成有限群的“积木块”，是有限群结构的基石。找出所有的有限单群的问题称为有限单群分类问题。一一一一.有限有限有限有限单单群分群分群分群分类类的基本内容的基本内容的基本内容的基本内容（二）（二）.内容内容 素数素数阶循循环群群;n5的交的交错群群An;Lie型型单群群(共共16族族);26个散在个散在单群群。一一一一.有限有限有限有限单单群分群分群分群
10、分类类的的的的基本基本基本基本内容内容内容内容 一.有限单群分类定理是在20世纪40年代初提出的。1942年左右，美裔德国数学家布饶尔（R.Brauer）是有限单群分类工作的先驱，他与中国数学家段学复完成了10000阶以下的单群分类；二.1962年，费特和汤普森关于奇阶群必为可解群的定理（Feit-Thompson定理）是单群分类中最重要的一个定理，它标志着有限单群分类的重大突破；二二二二.有限有限有限有限单单群分群分群分群分类类的的的的证证明明明明历历史史史史 三.1972年，D.戈朗斯坦提出的有限单群分类方案或计划，指出了如何才能实现有限单群的完全分类:四.1980年，格里斯 找到了26个
11、散在单群的最后一个也是最大的一个单群，数学家称之为“大魔”，同年夏天，随着最后一个技巧性的问题的解决，整个有限单群分类定理的证明宣告结束。二二二二.有限有限有限有限单单群分群分群分群分类类的的的的证证明明明明历历史史史史散在群中的其中五个是在1860年代中由马提厄所发现的，而其他的21个则是在1965年至1975年之间被找出来的散在群散在群散在群散在群中文名中文名英文名英文名符号符号阶里昂群Lyons,groupLy51765179004000000麦克劳林群McLaughlin,groupMcL898128000魔群Monster,groupM808017424794512875886459
12、904961710757005754368000000000欧南群ONan,groupON460815505920a)由于有限简单群分类的证明太长，由丹尼尔葛仑斯坦所领导，在找寻着一个更简单的证明。这即是所谓的二代分类证明。b)葛仑斯坦和其同事给出了一些对于较简单的证明是可能达成的理由。其中最重要的一点是因为现在已经知道了正确且最终的叙述，而所能应用的技术也已足够用来研究这些群。三三三三.二二二二代分代分代分代分类类费马费马大定理的大定理的大定理的大定理的证证明明明明皮埃尔德费玛，法国律师和业余数学家费马大定理的内容费马大定理的证明历史相关猜想费马费马大定理的内容大定理的内容大定理的内容大定理
13、的内容内容：将一个立方数分为两个立方数，将一个四次幂或一般高于二次幂的数，分为两个同次幂的数，这是不可能的数学语言：当整数n 2时，关于x,y,z的不定方程 xn+yn=zn.无正整数解费马费马大定理的内容大定理的内容大定理的内容大定理的内容关于费马大定理对于费马大定理，容易得到，若对于一定指数m证明了费马大定理，那么对于指数为m的倍数费马大定理也成立，同时n=4的情形已经被费马证明，从而只需证明大于2的素数即可费马费马大定理的大定理的大定理的大定理的证证明明明明历历史史史史u一.18世纪，欧拉证明了n=3的情况，（用到了数系中的唯一因子分解定理）u二.1825年，狄利克雷和勒让德共同解决了当
14、n=5的情形u三.1839年，法国数学家拉梅 证明了当n=7 的情况（在此期间提出了“分圆整数”的思想被征错误）费马费马大定理的大定理的大定理的大定理的证证明明明明历历史史史史四.高斯的学生库默尔于1844年，发表论文解决证明唯一因子分解定理，提出了“理想数”的概念，同时对于所有小于100的素数N（n2),那么有这组数构成的形如y2=x(x+An)(x B n)的椭圆曲线，不可能是模曲线著名未决猜想的著名未决猜想的著名未决猜想的著名未决猜想的进进展展展展亨利亨利庞加莱庞加莱大数学家大数学家庞加莱猜想庞加莱猜想庞加莱猜想是克雷数学研究所加莱猜想是克雷数学研究所悬赏的世界七大数学的世界七大数学难题
15、七个千年大（七个千年大奖问题）之一。）之一。1904年，年，庞加莱在一篇加莱在一篇论文中提出了一文中提出了一个看似很个看似很简单的拓扑学的猜想：在一个的拓扑学的猜想：在一个三三维空空间中，假如每一条封中，假如每一条封闭的曲的曲线都都能收能收缩到一点，那么到一点，那么这个空个空间一定是一一定是一个三个三维的的圆球。但球。但1905年年发现提法中有提法中有错误，并，并对之之进行了修改，被推广行了修改，被推广为：“任何与任何与n维球面同球面同伦的的n维封封闭流形必定流形必定同胚于同胚于n维球面。球面。”后来，后来，这个猜想被推个猜想被推广至三广至三维以上空以上空间，被称，被称为“高高维庞加莱加莱猜
16、想猜想”。提出提出这个猜想后，个猜想后，庞加莱一度加莱一度认为自己已自己已经证明了它。但没明了它。但没过多久，多久，证明中的明中的错误就被暴露了出来。于是，拓扑学家就被暴露了出来。于是，拓扑学家们开始了开始了证明它的努力。明它的努力。n=2 n=1弗弗里里德德曼曼 19821982年弗里德曼年弗里德曼(美美,1951-),1951-)证明了明了n=4n=4的的庞加莱加莱猜想猜想唐唐纳森森 19821982年唐年唐纳森森(英英,1957-),1957-)发表表4 4维流形拓扑流形拓扑的的论文文 19611961年斯梅年斯梅尔(美美,1930-),1930-)证明了明了n4n4的的庞加加莱莱猜想猜
17、想斯梅斯梅尔然而，然而，庞加莱猜想，依然没有得到加莱猜想，依然没有得到证明。明。2006年被确年被确认由俄由俄罗斯数学家斯数学家格里格里戈里戈里佩雷佩雷尔曼曼最最终证明。明。但将解但将解题方法公布到网上之后，佩雷方法公布到网上之后，佩雷尔曼便拒曼便拒绝接受接受马德里国德里国际数学数学联合合会声望会声望颇高的菲高的菲尔兹奖，拒，拒绝了克莱了克莱数学研究所数学研究所奖励他的励他的100万美元，万美元，这笔笔奖金是金是奖励他励他对庞加莱猜想的加莱猜想的证明。明。“你要做你要做伟大的工作就必大的工作就必须有一有一颗纯洁的心。你只能想的心。你只能想数学。其他一切都属于人数学。其他一切都属于人类的弱点。的
18、弱点。”俄俄罗斯数学家格里戈里斯数学家格里戈里佩雷佩雷尔曼曼 2000年克莱数学促年克莱数学促进会公布新千年七个会公布新千年七个悬赏100万美元的数学万美元的数学问题，庞加莱猜想列第三加莱猜想列第三 2002年年11月起，佩雷月起，佩雷尔曼在网曼在网络论文文库上上张贴三三篇文章篇文章 2006年，三个独立的小年，三个独立的小组写出写出报告填告填补佩雷佩雷尔曼曼证明中的关明中的关键细节：密歇根大学克莱：密歇根大学克莱纳和洛特，和洛特，哥哥伦比比亚大学摩根和田大学摩根和田刚，里海大学曹，里海大学曹怀东和中和中山大学朱熹平山大学朱熹平 2006年美国年美国科学科学杂志志评出年度十大科学出年度十大科学
19、进展，展，庞加莱猜想名列第一加莱猜想名列第一 庞加莱猜想庞加莱猜想荣誉荣誉1+1=21+1=2？-哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想的内容哥德巴赫猜想的内容哥德巴赫猜想的内容哥德巴赫猜想的内容哥德巴赫猜想最初的内容也可表述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。今日今日常常见的猜想的猜想陈述述为欧拉的版本，欧拉的版本，即即 任任一大于一大于2的偶数都可写成两个的偶数都可写成两个质数之和数之和。哥德巴赫猜想的证明历程哥德巴赫猜想的证明历程哥德巴赫猜想的证明历程哥德巴赫猜想的证明历程1920年，挪威的布朗年，挪威的布朗证明了明了“9+9”；1924年，德国的拉特年，德国的拉特马赫赫证明了明了“
20、7+7”；1932年，英国的埃斯特曼年，英国的埃斯特曼证明了明了“6+6”；1937年，意大利的蕾西先后年，意大利的蕾西先后证明了明了“5+7”,“4+9”,“3+15”；1938年，年，苏联的布赫夕太勃的布赫夕太勃证明了明了“5+5”；1940年，年，苏联的布赫夕太勃的布赫夕太勃证明了明了“4+4”；1948年，匈牙利的瑞尼年，匈牙利的瑞尼证明了明了“1+c”，其中，其中c是一很大的是一很大的自然自然数；数；1956年，中国的年，中国的王元王元证明了明了“3+4”；1957年，中国的王元先后年，中国的王元先后证明了明了“3+3”和和“2+3”；1962年，中国的潘承洞和年，中国的潘承洞和苏联
21、的巴的巴尔巴恩巴恩证明了明了“1+5”，中中国的王元国的王元证明了明了“1+4”；1965年，年，苏联的的布赫夕太勃布赫夕太勃和小和小维诺格拉多夫，及意大利的朋格拉多夫，及意大利的朋比利比利证明了明了“1+3”。哥德巴赫猜想的结局哥德巴赫猜想的结局哥德巴赫猜想的结局哥德巴赫猜想的结局1966年，我国著名数学家年，我国著名数学家陈景景润攻克攻克了了“12”由于由于陈景景润的的贡献，人献，人类距离哥德巴赫猜距离哥德巴赫猜想的最后想的最后结果果“11”仅有一步之遥了。但有一步之遥了。但为了了实现这最后的一步，也最后的一步，也许还要要历经一个漫一个漫长的探索的探索过程。有程。有许多数学家多数学家认为，要想，要想证明明“11”，必，必须通通过创造新的数学方法，以造新的数学方法，以往的路很可能都是走不通的。往的路很可能都是走不通的。哥德巴赫猜想的结局哥德巴赫猜想的结局哥德巴赫猜想的结局哥德巴赫猜想的结局当今数学界最重要当今数学界最重要、最最期待解决的数学难题期待解决的数学难题黎曼黎曼猜想猜想黎曼黎曼黎曼黎曼猜想猜想猜想猜想的内容的内容的内容的内容黎曼黎曼黎曼黎曼猜想的猜想的猜想的猜想的现状现状现状现状现在已经验证了最初的1,500,000,000个解，猜想都是正确的。但是否对所有解是正确的，却没有证明，随着费马大定理的获证，黎曼猜想作为最困难的数学问题的地位更加突出。Thank You!
