第2章内积空间.ppt
同济大学数学系 2009-3-22,第 2 章 内积空间,2.1 实内积空间,定义.设V 是一个实线性空间,R为实数域,,2,若a, b V, 存在唯一的 rR与之对应,,记作(a, b ) = r, 并且满足,(1) (a, b ) = (b, a ),(2) (a +b, g ) = (a, g ) + (b, g ),(3) (ka, b ) = k(a, b ),(4) (a, a )0, (a, a ) = 0 a = 0,则称 (a, b ) 为a 与b 的内积,V 为实内积空间。,实内积空间也称欧几里得(Euclid)空间。,对称性,非负性,3,定义内积,例. 线性空间,称为内积空间 的标准内积。,4,定义内积,A为 n 阶实正定矩阵,,例. 线性空间,5,定义内积,例. 线性空间Ca, b,f , gCa, b,6,由定义知,(5) (a , b +g ) = (a, b ) + (a, g ),(6) (a, kb ) = k(a, b ),向量长度,定义. 设V 为实内积空间,称 为向量a 的长度,,记作 |a |。,定理. 设V 是实内积空间,a , b V , k R ,则,等号成立当且仅当a , b 线性相关;,Cauchy-Schwarz 不等式,三角不等式,正定性,齐次性,7,8,Cauchy-Schwaz的两种特殊形式,向量的夹角,由Cauchy-Schwaz不等式可知,9,向量的正交,定义. 设V 是实内积空间,a , b V ,若 (a , b ) = 0 , 则称 a 与b 正交,记作 a b 。,a 与b 正交,这就是实内积空间中的勾股定理。,10,2.2 欧氏空间的正交基,若它们两两正交,则称其为一个正交向量组。,定理:正交向量组必是线性无关的。,11,12,且其中每个向量的长度都是 1,,注意:向量在标准正交基下的坐标是该向量在对应的,基向量上的正投影,即,Gram-Schmidt 正交化过程,Gram-Schmidt 正交化过程:,13,14,令,14,由归纳法假设可知,15,几个定理和推论,定理1:n 维实内积空间V 必存在标准正交基。,推论1:n 维实内积空间V 中任一正交向量组都可扩充成,V 的一个正交基。,16,几个定理和推论,17,题型,2.4 正交补,定义: 设W, U是实内积空间V 的子空间,,(1) a V , 若b W, 都有(a, b ) = 0,则称a 与W 正交,记作a W ;,(2) 若a W, b U, 都有(a, b ) = 0,则称W 与U 正交,记作W U ;,(3) 若W U,并且W + U = V,则称U 为W 的正交补。,注意:若W U,则 W与U 的和必是直和。,19,正交补的存在唯一性,定理: 设W 是实内积空间V 的子空间,则W 的正交补,存在且唯一,记该正交补为 ,并且,20,定理: 设W 是实内积空间V 的有限维子空间,则,向量的正投影,定义: 设W 是实内积空间V 的子空间,,则称向量b 为向量a 在W上的正投影,,称向量长度|g |为向量a 到W 的距离。,垂线最短定理,定理: 设W 是实内积空间V 的子空间,aV , b 为a 在W,上的正投影,则 dW, 有,并且等号成立当且仅当 b = d。,最小二乘法,(1),可能无解,即任意 都可能使,(2),不等于零,设法找实数组 使(2)最小,这样的 为方程组(1)的最小二乘解,,此问题叫最小二乘法问题.,1.问题提出,实系数线性方程组,2.问题的解决,设,(3),用距离的概念,(2)就是,由(3)知,找 使(2)最小,等价于找子空间,中向量 使 到它的距离 比到,中其它向量的距离都短.,设 为此必,这等价于,(4),即,这样(4)等价于 或,(5),例题,2.5 正交变换,定义: 设T 是实内积空间V 的线性变换,若a, V 有,则称T 为V 的正交变换。,正交变换的特征刻画,定理: 设T 是实内积空间V 的线性变换,a, b V ,,则下列命题等价,,29,推论:(1) 两个正交变换的积仍是正交变换;,(2) 正交变换的逆变换仍是正交变换。,Householder 变换,构造 的正交变换,讨论正交变换H 的几何意义。,故H(a)是a关于子空间的反射,,矩阵H 称为Householder矩阵,,变换H 称为Householder变换,,变换H 也称初等反射变换。,2.6 复内积空间,定义.设V 是一个复线性空间,C 为复数域,,32,若a, b V, 存在唯一的 cC与之对应,,记作(a, b ) = c, 并且满足,(2) (a +b, g ) = (a, g ) + (b, g ),(3) (ka, b ) = k(a, b ),(4) (a, a )0, (a, a ) = 0 a = 0,则称 (a, b ) 为a 与b 的内积,V 为复内积空间。,复内积空间也称酉空间。,对称性,非负性,33,定义内积,例. 线性空间,称为复内积空间 的标准内积。,34,在复内积空间中还有,(5) (a , b +g ) = (a, b ) + (a, g ),(8) Cauchy-Schwaz不等式,且 (a , b ) = 0 a 与b 正交,(10) Schmidt正交化过程把线性无关的向量组变成正交组,设T 是复内积空间V 的线性变换,若a,V 有,则称T 为V 的酉变换。,定理: 设T 是复内积空间V 的线性变换,a, b V ,,则下列命题等价,,2.7 正规变换与正规矩阵,例如,对角阵,酉矩阵,Hermite阵都是正规阵。,定义3:设 A, B是复方阵,若存在酉矩阵U,使,则称A与B酉相似。,定理1:任意复方阵必与上三角阵酉相似。,定理2:复方阵A与对角阵酉相似的充分必要条件是,A是正规阵。,推论:实对称阵必与对角阵相似的。,