复化求积公式教学课件.ppt

3.2 复化求积公式,3.2.2复化simpson求积公式,3.2.1 复化梯形求积公式,对于定积分 其精确值.I=2.302585。用梯形公式（3.1.6）计算有 用Simpson公式（3.1.7）计算 可以看出，它们的误差很大。由上一节的讨论可知，高阶Newton-Cotes求积公式是不稳定的。,因此，通常不用高阶求积公式得到比较精确的积分值，而是将整个积分区间分段，在每一小段上用低阶求积公式。这种方法称为复化求积方法。本节讨论复化梯形公式和复化Simpson公式。,高次插值有Runge 现象，故采用分段低次插值 分段低次合成的 Newton-Cotes 复合求积公式。,一、复化梯形公式:,在每个 上用梯形公式：,=Tn,3.2 复化求积公式,称 Tn为复化梯形公式,于是,复化梯形公式的余项为,事实上，由定积分的定义可知，对a，b的任意分划 所作黎曼和的极限,存在。该积分对于等距分划和特殊的 当然成立，于是对复化梯形公式有,可以看出，误差（3.2.2）是 阶的。而且，当 时， ，即复化梯形公式收敛到 值得 指出的是，收敛的结论，只要f（x）在a，b上可积即可成立。,用复化梯形求积公式时，如果 不够精确，那么我们可以将每个子区间 对分，得到2n个子区间，再用复化梯形公式计算。此时，计算 的分点也是计算 的分点。,3.2.2 复化simpson求积公式,将积分区间a,b为n等份，h=(b-a)/h, 在每个子区间 上用 Simpson公式可得,= Sn,（3.2.4）,称Sn为复化Simpson公式 。,例 3.3 分别用复化梯形公式和复化Simpson公式计算 时，要 使用误差不超过 ，问各取多少个节点？,解：由（3.2.2），令 由此解得 由（3.2.5），令,由此解得 。因此，复化梯形公式取361个节点，复化Simpson公式取19（即9×2+1）个节点。可见，复化Simpson公式明显由于复化梯形公式。,例 3.4 计算,解：,其中,= 3.138988494,其中,= 3.141592502,3.3 用样条函数方法和外推法求下列函数的一阶和二阶导数，并结合函数的图形说明精度与步长h的关系。,3.4 设计自适应的Simpson方法求积分 的近似值，即对不同的子区间分别按精度标准确定各自适当的步长，计算各子区间上的积分近似值，然后将各个近似值相加，要求近似值的绝对误差限为 。,