复合函数与隐函数的微分法.ppt

第6章：多元函数微分学,内容提要,§6.3 复合函数与隐函数的微分法 §6.3.1 复合函数的微分法 §6.2.2 隐函数的微分法,§6.3.1 复合函数的微分法,1. 二元复合函数的概念,定理6.1 若函数 、 在点 的偏导数 、 、 、 均存在,函数 在相应的 点 处可微,则复合函数 在点 处的偏导数必存在,且,2. 复合函数的微分法,上述公式称为复合函数的链式法则。,§6.3.1 复合函数的微分法,2. 复合函数的微分法,注1: 复合函数中变量与变量之间的关系常常可用如下图形来表示,称这种图为复合关系图.,§6.3.1 复合函数的微分法,2. 复合函数的微分法,注2: 二元复合函数有两种特殊情形 (1)若 ,而 时复合函数 为一元函数,其 复合关系图见图A所示,常称这种复合函数的导数为全导 数，全导数公式为:,(2)若 ,而 时复合函数为 ,其复 合关系图 见图B,注3:求复合函数的偏导数时,和一元函数一样,最后要将中间变量消去.,§6.3.1 复合函数的微分法,例1 设 求,解: 设 则 是 的复合函数,分别代入公式得,§6.3.1 复合函数的微分法,例2 设 ,而 求,解: 由全导数公式,§6.3.1 复合函数的微分法,例3 设 ,而 求,由此可见全导数为,解 该题中函数的复合关系图为:,当 时,由复合关系图得偏导数为:,§6.3.1 复合函数的微分法,例4 设 试证,所以,§6.3.2 隐函数的微分法,1. 隐函数的概念,一般,由方程所确定的函数均称为隐函数. 由于方程中含有的未知量可以是两个、三个、四个或更多,因此相应的就有一元隐函数、二元隐函数、三元隐函数等等. 含有两个未知量的方程,其一般形式为 ,它确定了 是 的一元函数,称其为一元隐函数; 含有三个未知数的方程,其一般形式为 ,它确定了 是 和 的二元函数,称其为二元隐函数;类似的还有三元、四元一直到n元的隐函数. 本书仅讨论一元和二元隐函数.,该式给出了一元隐函数的一种新的求导方法,使用该方法时只需将方程的一边移项为零,而将另一边看成F,然后分别求出F对x和对y的两个偏导数,代入该公式化简即可.,§6.3.2 隐函数的微分法,2. 隐函数的微分法,一元隐函数的导数在前面曾经利用复合函数求导法则求过.今利用偏导数给出求其导数的公式.为此将方程 F(x，y)=0的两边同时对x求导数,且把变量y看成变量x的函数(参见本节例3求法),得:,当 时解之得,§6.3.2 隐函数的微分法,2. 隐函数的微分法,例5 求由方程 所确定的隐函数 的导数.,解 令,因为,代入公式得所求隐函数的导数为:,§6.3.2 隐函数的微分法,2. 隐函数的微分法,同理,对于由方程F=(x,y,z)=0所确定的二元隐函数,欲得其求偏导数的公式,可将方程F=(x,y,z)=0两边分别同时对x和对y求偏导数,且将变量z看作x,y的函数,得,当 时解之得,上式给出求二元隐函数的偏导数公式,其使用方法与一元相同.,§6.3.2 隐函数的微分法,2. 隐函数的微分法,解 令,则,代入公式(6.3.6)得其偏导数为,