第八部分位移法.PPT

1,第八章 位 移 法,2,位 移 法,第八章 位 移 法,§81 概述,§82 等截面直杆的转角位移方程,§83 位移法的基本未知量和基本结构,§84 位移法的典型方程及计算步骤,§85 直接由平衡条件建立位移法基本方程,§86 对称性的利用,3,§81 概 述,力法和位移法是分析超静定结构的两 种基本方法。力法于十九世纪末开始应用， 位移法建立于上世纪初。,力法,位移法,以某些结点位移为基本未 知量，由平衡条件建立位移法方程，求出 位移后再计算内力。,以多余未知力为基本未知量， 由位移条件建立力法方程，求出内力后再 计算位移。,位 移 法,返 回,4,位移法的基本概念,以图示刚架为例予以说明,1,2,3,EI=常数,P,刚架在荷载P作用下将发生如虚 线所示的变形。,Z1,Z1,在刚结点1处发生转,角Z1，结点没有线位移。则12杆可 以视为一根两端固定的梁（见图）。,1,P,Z1,2,其受荷载P作用和支座1发生转角Z1 这两种情况下的内力均可以由力法 求。同理， 13杆可以视为一根一端 固定另一端铰支的梁（见图）。,1,3,Z1,而 在固定端1处发生了转角Z1，其内 力同样由力法求出。,可见，在计算刚架时，如果以 Z1为基本未知量，设法首先求出Z1， 则各杆的内力即可求出。这就是位移法的基本思路。,Z1,位 移 法,返 回,5,由以上讨论可知，在位移法中须解 决以下问题：,（1）用力法算出单跨超静定梁在杆 端发生各种位移时以及荷载等因素作 用下的内力。,（2）确定以结构上的哪些位移作为 基本未知量。,（3）如何求出这些位移。,下面依次讨论这些问题。,位 移 法,返 回,6,§82 等截面直杆的转角位移方程,本节解决第一个问题。,用位移法计算超静定刚架时，每根杆件均视为单跨超静定梁。 计算时，要用到各种单跨超静定梁在杆端产生位移(线位移、角位 移)时,以及在荷载等因素作用下的杆端内力(弯矩、剪力)。为了应 用方便，首先推导杆端弯矩公式。,如图所示，两端固定的等截 面梁，,A,B,L,EI,P,t1,t2,A,B,A,B,AB,AB,除受荷载及温度变化外，两支座还发生位移：转角 A、 B及侧移AB 。,转角A、 B顺时针为正， AB则以整个杆件顺时针方向转动为正。,在位移法中，为了计算方便，弯矩的符号规定如下：弯矩是以对杆端顺时针为正(对结点或对支座以逆时针为正)。,图中所示均为正值。,MAB,A,MBA,B,返 回,位 移 法,7,A,B,L,EI,P,t1,t2,A,B,A,B,AB,AB,用力法解此问题，选取基本结构如图。,P,t1,t2,X1,X2,X3,多余未知力为X1、X2。,力法典型方程为,11X1+12X2+ 1P+ 1t+ 1=A 21X1+22X2+ 2P+ 2t +2=B,为计算系数和自由项，作,、,、MP图。,图,1,图,1,MP图,XA,XB,由图乘法算出：,，,，,AB,AB,由图知,这里，AB称为弦转角，顺时针为 正。,1t、 2t 由第七章公式计算。,位 移 法,返 回,8,将以上系数和自由项代入典型方程，可解得,X1=,X2=,令,称为杆件的线刚度。此外，用MAB代替X1，用,MBA代替X2，上式可写成,MAB= 4iA+2i B,MBA= 4i B +2i A,(81）,式中,(82）,是此两端固定的梁在荷载、温度变化等外因作用下的杆端弯矩，称为固端弯矩。,位 移 法,返 回,9,MAB= 4iA+2iB _,MBA= 4iB +2iA_,(81）,式(81）是两端固定的等截面梁的杆端弯矩的一般公式，通常 称为转角位移方程。,对于一端固定另一端简支的等截面梁(见图)，,其转角位移方程 可由式(81）导出，设B端为铰支，则因,A,B,EI,P,t1,t2,l,MBA= 4i B +2i A_,=0,可见，B可表示为A、AB的函数。将 此式代入式(81)第一式，得,MAB=3iA,(83）（转角位移方程）,式中,（84）（固端弯矩）,杆端弯矩求出后，杆端剪力便不难由平衡条件求出。,有,位 移 法,返 回,10,§83 位移法的基本未知量和基本结构,在位移法中，基本未知量是各结点的角位移和线位移。计 算时，应首先确定独立的角位移和线位移数目。,(1) 独立角位移数目的确定,由于在同一结点处，各杆端的转角都是相等的，因此每一个 刚结点只有一个独立的角位移未知量。在固定支座处，其转角等 于零为已知量。至于铰结点或铰支座处各杆端的转角，由上节可 知，它们不是独立的，可不作为基本未知量。,1.位移法的基本未知量,这样，结构独立角位移数目就等于结构刚结点的数目。,例如图示刚架,1,2,3,4,5,6,独立的结点角位移 数目为2。,位 移 法,返 回,11,(2)独立线位移数目的确定,在一般情况下，每个结点均可能有水平和竖向两个线位移。 但通常对受弯杆件略去其轴向变形，其弯曲变形也是微小的，于 是可以认为受弯直杆的长度变形后保持不变，故每一受弯直杆就 相当于一个约束，从而减少了结点的线位移数目，故结点只有一 个独立线位移(侧移)。例如(见图a）,1,2,3,4,5,6,4、5、6 三个固定 端 都是不动的点，结点1、2、3均无竖向位移。又因两根横梁其长度不变，故三个结点均有相同的水平位移 。,P,(a),事实上，图(a)所示结构的独立线位 移数目，与图(b)所示铰结体系的线 位移数目是相同的。因此，实用上 为了能简捷地确定出结构的独立线 位移数目，可以,(b),将结构的刚结点(包括固定支 座)都变成铰结点(成为铰结体系), 则使其成为几何不变添加的最少 链杆数，即为原结构的独立线位 移数目(见图b)。,位 移 法,返 回,12,2.位移法的基本结构,用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨超静 定梁。因此，位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变为一根 单跨超静定梁(或可定杆件)。通常 的做法是，在每个刚结点上假想 地加上一个附加刚臂(仅阻止刚结 点转动),同时在有线位移的结点上 加上附加支座链杆(阻止结点移动)。,1,2,3,4,5,6,例如 ( 见图a),(a),又例如(见图b),(b),2,3,4,5,6,7,共有四个刚结点，结点线位移 数目为二，基本未知量为六个。 基本结构如图所示。,1,基本未知量三个。,位 移 法,返 回,13,§84 位移法的典型方程及计算步骤,以图(a)所示刚架为例，阐述在位移法中如何建立求解基本未知 量的方程及具体计算步骤。,P,L,1,2,3,4,EI=常数,基本未知量为:Z1、Z2 。,Z1,Z2,基本结构如图(b)所示。,(a),(b)基本结构,1,2,3,4,=,Z1,Z2,R1,=0,=0,P,R1附加刚臂上的反力矩,R2附加链杆上的反力,据叠加原理,=,Z1,R21,1,2,3,4,1,3,4,P,R2P,1,2,2,3,4,则有,R1=R11+R12+R1P=0 R2=R21+R22+R2P=0,R22,R2,R12,R11,R1P,Z2,位 移 法,返 回,14,R1=R11+R12+R1P=0 R2=R21+R22+R2P=0,式中第一个下标表示该反力的位置， 第二个下标表示引起该反力的原因。,设以 r11、r12分别表示由单位位移,所引起的刚臂上的反,力矩， 以 r21、r22分别表示由单位位移,所引起的链杆,上的反力，则上式可写成,r11Z1+ r12Z2+R1P=0 r21Z1+ r22Z2+R2P=0,(85),这就是求解Z1、Z2的方程，即 位移法基本方程(典型方程)。 它的物理意义是：基本结构在荷载等外因和结点位移的共同作用 下，每一个附加联系中的附加反力矩或反力都应等于零(静力平衡条 件)。,对于具有 n 个独立结点位移的刚架，同样可以建立 n 个方程：,r11Z1+ ··· + r1iZi+ ··· + r1nZn+R1P=0 ···················································· ri 1Z1+ ··· + ri iZi+ ··· + ri nZn+Ri P=0 ···················································· rn1Z1+ ··· + rniZi+ ··· + rnnZn+RnP=0,(86）,位 移 法,返 回,15,r11Z1+ ··· + r1iZi+ ··· + r1nZn+R1P=0 ···················································· ri 1Z1+ ··· + ri iZi+ ··· + ri nZn+Ri P=0 ···················································· rn1Z1+ ··· + rniZi+ ··· + rnnZn+RnP=0,(86）,在上述典型方程中，rii 称为主系数，rij(ij) 称为副系 数。RiP称为自由项。主系数恒为正，副系数和自由项可 能为正、负或零。据反力互等定理副系数 rij=rji (ij)。,由于在位移法典型方程中，每个系数都是单位位移 所引起的附加联系的反力(或反力矩)，显然，结构刚度愈 大，这些反力(或反力矩)愈大，故这些系数又称为结构的 刚度系数。因此位移法典型方程又称为结构的刚度方程， 位移法也称为刚度法。,位 移 法,返 回,16,以及载荷作用下的弯矩图,为了计算典型方程中的系数和自由项，可借助于表81，绘 出基本结构在,和MP图：,1,3,4,2,1,3,4,2,1,3,4,2,4i,2i,3i,P,MP图,系数和自由项可分为两类：附加刚臂上的反力矩 r11、r12、和 R 1P；,是附加链杆上的反力 r21、r22和R2P。,r21,r22,R2P,(a),(b),(c),可分别在图(a)、(b)、(c),中取结点1为隔离体，,1,1,1,r11,3i,4i,r12,0,R1P,0,由力矩平衡方程M1=0求得：r11=7i ,R1P=,。,r11=7i ,R1P=,，,对于附加链杆上的反力，可分别在图(a)、(b)、(c）中用截面法割断 两柱顶端，取柱顶端以上横梁部分为隔离体，由表81查出杆端 剪力，,1,2,1,2,1,2,0,0,由方程X=0求得,r21=,R2P=P/2,r21,r22,R2P,R 1P,r12,r11,位 移 法,返 回,17,将系数和自由项代入典型方程(85)有,解此方程得,所得均为正值，说明Z 1、Z2与所设 方向相同。,最后弯矩图由叠加法绘制：,例如杆端弯矩M31为,M图,1,2,3,4,P,M图绘出后，Q 、N图即可由平衡条件绘出(略）。,位 移 法,返 回,18,最后对内力图进行校核，包括平衡条件和位移条件的校核。其 方法与力法中所述一样，这里从略。,结 论,由上所述，位移法的计算步骤归纳如下：,(1) 确定结构的基本未知量的数目(独立的结点角位移和线位移)， 并引入附加联系而得到基本结构。 (2) 令各附加联系发生与原结构相同的结点位移，根据基本结 构在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加联系上的反力矩 或反力均应等于零的条件，建立位移法的基本方程。 (3) 绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作 用下(或支座位移、温度变化等其它外因作用下)的弯矩图，由平衡 条件求出各系数和自由项。 (4) 结算典型方程，求出作为基本未知量的各结点位移。 (5) 按叠加法绘制最后弯矩图。,位 移 法,返 回,19,例 81 图示刚架的支座A产生了水平位移a、竖向位移b=4a 及转角=a/L，试绘其弯矩图。,A,B,C,EI,2EI,L,L,A,a,解：,基本未知量 Z 1(结点C转角)；,Z 1,基本结构如图示；,A,B,C,Z 1,基本结构,建立位移法典型方程：,r11Z1+R1=0,为计算系数和自由项，作,和M图(设EI/L=i),A,B,C,Z 1=1,b,8i,4i,3i,A,B,C,M图,基本结构由于支座位移产 生的固端弯矩(由表81)查得,20i,16i,12i,8i,3i,由,求得,r11=8i+3i=11i,由M图求得,12i,16i,R1=16i+12i=28i,R1,r11,R1,位 移 法,返 回,20,将上述系数和自由项代入典型方程，,便有,11iZ1+28i=0,解得,Z1=,刚架的最后弯矩图为,A,B,C,A,B,C,Z 1=1,8i,4i,3i,A,B,C,M图,20i,16i,12i,例如：,MAC= 4i×,+20i,=,M图,R1,位 移 法,返 回,21,§ 85 直接由平衡条件建立位移法基本方程,用位移法计算超静定刚架时，需加入附加刚臂和链杆以取得 基本结构，由附加刚臂和链杆上的总反力矩(或反力)等于零的条件， 建立位移法的基本方程。,我们也可以不通过基本结构，直 接由平衡条件建立位移法基本方程。,举例说明如下,1,2,3,4,P,L,i,i,i,取结点1，由M1=0及截取两柱顶端 以上横梁部分，由X=0 (见图)得,M12,M13,1,1,2,Q24,Q13,M1=M13+M12=0 (a) X=Q13+Q24=0 (b),由转角位移方程及表101得,将以上四式代入式(a)、(b)得,这与§84节所建立的典型方程完全一样，可见，两种方法本质 相同，只是处理方法上不同。,位 移 法,返 回,22,§86 对称性的利用,在第八章用力法计算超静定结构时，曾得到一个重要结论：对 称结构在正对称荷载作用下，其内力和位移都是正对称的；在反对 称荷载作用下，其内力和位移都是反对称的。在位移法中，同样可 以利用这一结论简化计算。,例如：,P,P/2,P/2,Z1,Z1,P/2,P/2,Z2,Z2,+,Z3,Z1,P/2,P/2,Z2,Z3,位 移 法,返 回,