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第一节 无穷级数的概念和性质,一、无穷级数的概念 二、级数的基本性质,一 、无穷级数的概念,定义9.1 对于数列u1,u2, ··· , un, ···，用“+”号将其连接起来，得 u1+u2+···+un+···, 简记为 .称其为无穷级数，简称级数，称其第n项un为通项或一般项.,无穷多项相加意味着什么？怎样进行这种“相加”运算？“相加”的结果是什么？,定义9.2 称 为级数 的前n项和.简称部分和.,由此可由无穷级数 ，得到一个部分和数列,若 存在，则称级数 收敛，并称此极限值S为级数的和，记为 .若 不存在，则称级数 发散.,定义9.3 若 收敛，则称,为级数 的余项.,例1 试判定级数 的收敛性.,解 所给级数的前n项和,因此所给级数 发散.,例2 判定级数 的收敛性.,解 此级数为几何级数(或称等比级数).若r=1，则所给几何级数转化为例1，可知其发散.若 ，所给级数前n项和,当|r|1时， ，因而 ，即级数 收敛，且其和为 .,当|r|1时， ，因而 不存在，即级数 发散.,当r= 1时 ， 其前n项和,可知 不存在.因此 发散.,综合上述，可知,例3 判定级数 的收敛性.,解 所给级数的前n项和,可知,故所给级数收敛，且和为1.,二、 级数的基本性质,性质1 (1) 若级数 收敛，其和为S，又设k为常数，则 也收敛，且和为kS.,(2)若 发散，且k0，则 必定发散.,证 (1)设 ，由于 收敛， 因此应有 .,由极限的性质可知,即 收敛，且其和为kS.,故 发散.,(2)用反证法.若 设 收敛，则由()知 亦收敛，矛盾.,例4 判定级数 的收敛性.,解 由例2与性质1可知,性质2 若 收敛，其和为S； 收敛，其和，则 必收敛，其和为 .,推论 若 收敛, 发散,则 必定发散.,例5 判定 的收敛性.,解 注意到 与 皆为几何级数， 其公比分别为 与 ，,由例4可知 与 皆收敛，且,由性质8.2可知 收敛， 且其和为 .,性质3 在 中去掉或添加有限项，所得新级数与原来级数的收敛性相同.,证 在 中去掉或添加有限项所成新级数记为 ，当项数给定之后，两者的部分和之差是一个常数，因此这两个部分和同收敛或同发散.所以两个级数的收敛性相同.,性质8.3表明，级数 的收敛性，与其前面有限项无关，而是取决于n充分大以后的 的状况.,例6 判定 的收敛性.,解 级数 为等比级数，公比 ，,由性质8.3可知,性质4 收敛级数添括号后所得新级数仍收敛，且其和不变.,证 若 收敛.任意添括号得到一个新级数，如,第二个级数的前n项之和等于第一个级数的前m项之和.由于 ，所以 .因此,即加括号之后所得新级数收敛，且和不变.,注意 收敛级数去括号所得到的新级数不一定为收敛级数.例如 (11)+(11)+ ··· +(11)+ ··· 收敛于0，但是去括号后可得新级数 为发散级数.,(1) 若 收敛， 发散，则 必定发散.,(2) 若 发散， 也发散，则 不一定发散.,(3) 若 发散，则 与 不一定都发散.,(4) 若添号之后的级数发散，则原级数必定发散.,(5) 若 发散，则添括号的新级数不一定发散.,以下命题请给出证明或反例.,性质5 (级数收敛的必要条件) 若 收敛，则必有,证 这只需注意 . 由于 收敛，因此 .,有必要指出，这个性质的逆命题不正确，即级数的通项的极限为零，并不一定能保证 收敛.,由极限的运算可知,例7 判定级数 的收敛.,解 添括号得到新级数：,取其前n项(每个括号内算一项)，记其和为 ，则,可见 ，即添号以后的级散发散.因此原级数亦发散.因为如果原级数收敛，由性质8.4知，添号以后级数亦必收敛，从而矛盾.,调和级数 的一般项 ，它满足 但 不收敛.,利用级数收敛的必要条件及反证法可以得知：,若 或 不存在，则 必定发散. 这个性质可以作为判定级数发散的充分准则.,例8 判定级数 的收敛性.,解 所给级数的通项 ，,可知 为发散级数.,例9 思考题,设级数 为收敛级数，则下列级数收敛的有( ),分析 由级数的基本性质8.1及题设条件可知A收敛.,由级数的基本性质8.3可知C，D也收敛.,综合之，本例应选A，C，D.,由于 收敛，由性质8.4(级数收敛的必要条件)可知 ，因此 . 由级数发散的充分条件可知 发散. 即B不收敛.,