第五章异方差.ppt

第5章 异方差,以下讨论都是在模型某一个假定条件违反，而其他假定条件都成立的情况下进行。分5个步骤。 回顾假定条件。 假定条件不成立对模型参数估计带来的影响。 定性分析假定条件是否成立。 假定条件是否成立的检验（定量判断）。 假定条件不成立时的补救措施。,第5章 异方差,异方差概念 异方差来源与后果 异方差检验（Goldfeld-Quandt 检验、 white检验、Glejser检验等） 异方差的修正方法（GLS、WLS） 异方差案例分析,对于模型,如果出现,即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再是常数，而互不相同，则认为出现了异方差性(Heteroskedasticity)。,5.1 异方差概念,1.异方差的概念,2. 异方差类型,同方差性假定：i2 = 常数 f(Xi) 异方差时： i2 = f(Xi),异方差一般可归结为三种类型： (1)单调递增型： i2 随 X的增大而增大 (2)单调递减型： i2 随 X的增大而减小 (3)复 杂 型： i2 与 X的变化呈复杂形式,复杂型的异方差,3. 异方差的矩阵表述,同方差假定：模型的经典假定条件给出Var(u) 是一个对角矩阵，且主对角线上的元素都是常数且相等。 Var(u) = E(u u' ) = 2I =,当这个假定不成立时，Var(u) 不再是一个纯量对角矩阵。 Var(u) = 2 = 2 I 当误差向量u的方差协方差矩阵主对角线上的元素不相等时，称该随机误差系列存在异方差。非主对角线上的元素表示误差项之间的协方差值。若 非主对角线上的部分或全部元素都不为零，误差项就是自相关的。,4.实际经济问题中的异方差性,例1：横截面资料下研究居民家庭的储蓄行为 Yi=0+1Xi+i，Yi:第i个家庭的储蓄额 Xi:第i个家庭的可支配收入 高收入家庭：储蓄的差异较大 低收入家庭：储蓄则更有规律性，差异较小 i的方差呈现单调递增型变化,例2：以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型： 那么：每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。 每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机误差项的异方差性。 这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变量观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。,模型中遗漏了一些解释变量； 模型函数的设定误差； 样本数据的测量误差，一方面样本数据的测量误差常随时间的推移而逐步积累，会产生异方差；另一方面随着时间的推移，抽样技术和其他收集资料方法的改进，也使得样本的测量误差减小； 随机因素的影响； 用横截面数据建立模型时往往产生异方差；用时间序列数据建模时往往产生自相关；,5.2 异方差来源,5.3 异方差性的后果,计量经济学模型一旦出现异方差性，如果仍采用OLS估计模型参数，会产生下列不良后果：,1、参数OLS估计量仍然是线性无偏估计量，但不再是有效估计量,OLS估计量仍然具有无偏性，但不具有有效性,因为在有效性证明中利用了 E()=2I,而且，在大样本情况下，尽管参数估计量具有一致性，但仍然不具有渐近有效性。,2、变量的显著性检验失去意义,变量的显著性检验中，构造了t统计量,3、模型的预测失效,一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的统计性质；,所以，当模型出现异方差性时，参数OLS估计值的变异程度是增大还是缩小并不明确，从而造成对Y的预测区间估计不准确，预测功能失效。,5.4 异方差性的检验,检验思路： 由于异方差性就是相对于不同的解释变量观测值，随机误差项具有不同的方差。那么：检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与解释变量观测值之间的相关性及其相关的“形式”。 一般的处理方法： 用OLS估计的残差的平方来近似代替随机干扰项的未知方差，即：,异方差的检验,1、图示法,（1）用X-Y的散点图进行判断 看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂型趋势（即不在一个固定的带型域中）,散点图,以某一解释变量为横坐标，残差平方为纵坐标画散点图,2.统计检验,(1) Goldfeld-Quandt 检验 H0: ut 具有同方差， H1: ut 具有递增型或递减型异方差。 把原样本分成两个子样本。具体方法是把成对（组）的观测值按解释变量顺序排列，略去m个处于中心位置的观测值（通常T 30时，取m T / 4，余下的T- m个观测值自然分成容量相等，(T- m) / 2，的两个子样本。）,(1) Goldfeld-Quandt 检验,用两个子样本分别估计回归直线，并计算残差平方和。 相对于n2 和n1 分别用RSS2 和RSS1表示。 构造F统计量。F = ，（k为模型中被估参数个数） 在H0成立条件下，F F(n2 - k, n1 - k) 判别规则如下， 若 F F(n2 - k, n1 - k), 拒绝H0（递增型或递减型异方差） 注意： 当摸型含有多个解释变量时，应以每一个解释变量为基准检验异方差。 此法只适用于递增型或递减型的单调型异方差。 计算F统计量之前，必须先把样本数据按某一解释变量的值进行排序。,(2) White检验 White检验由H. White 1980年提出。White检验不需要对观测值排序，也不依赖于随机误差项服从正态分布，它是通过一个辅助回归式构造 2 统计量进行异方差检验。以二元回归模型为例，White检验的具体步骤如下。 yt = 0 +1 xt1 +2 xt2 + ut 首先对上式进行OLS回归，求残差ut 。 做如下辅助回归式， = 0 +1 xt1 +2 xt2 + 3 xt12 +4 xt22 + 5 xt1 xt2 + vt 即用 对原回归式中的各解释变量、解释变量的平方项、交叉积项进行OLS回归。注意，上式中要保留常数项。求辅助回归式的可决系数R2。 White检验的零假设和备择假设是 H0：ut不存在异方差， H1：ut存在异方差。,在同方差假设条件下，统计量 TR 2 2(5) 其中T表示辅助回归模型的样本容量，R2是辅助回归式的OLS估计的可决系数。自由度5表示辅助回归式中解释变量项数（注意，不计算常数项）。T R 2属于LM统计量。 判别规则是 若 T R 2 2 (5), 接受H0（ut 具有同方差） 若 T R 2 2 (5), 拒绝H0（ut 具有异方差）,(2) White检验,注意： 辅助回归仍是检验与解释变量可能的组合的显著性（包括解释变量一次方、二次方或交叉乘积项），因此，辅助回归方程中还可引入解释变量的更高次方。 如果存在异方差性，则表明确与解释变量的某种组合有显著的相关性，这时往往显示出有较高的可决系数以及某一参数的t检验值较大。 当然，在多元回归中，由于辅助回归方程中可能有太多解释变量，从而使自由度减少，有时可去掉交叉项。,（3）Glejser检验（直接拟合法）,(4). ARCH效应检验(自回归条件异方差检验),ARCH模型： 如果原假设： 成立，则认为不存在ARCH效应。 ARCH效应检验步骤： (1).运用OLS法估计模型： (2).计算残差序列及残差平方序列； (3).求辅助回归函数： (4).由辅助回归函数求得判定系数 (5).在H0原假设成立的条件下：,5.5 异方差的修正,模型检验出存在异方差性，可用加权最小二乘法（Weighted Least Squares, WLS）或广义最小二乘估计(GLS)进行估计。,1.加权最小二乘法的基本思想： 加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用OLS估计其参数。,在采用WLS方法时:对较小的残差平方ei2赋予较大的权数，对较大的残差平方ei2赋予较小的权数。,例如，如果对一多元模型，经检验知：,新模型中，存在,即满足同方差性，可用OLS法估计。,2. 广义最小二乘估计（GLS）,对于模型：Y=X+,W是一对称正定矩阵，存在一可逆矩阵D使得 W=DD (Cholesky分解),用D-1左乘Y=X+ 两边，得到一个新的模型：,该新模型具有同方差性。因为 对上述新模型进行OLS估计就是原始模型的GLS估计。,这就是原模型Y=X+的GLS估计量，是无偏、有效的估计量。,3 通过对数据取对数减弱异方差的影响,中国进出口贸易额差（1953-1998） 对数的中国进出口贸易额之差,例5.1 个人储蓄（Y）与可支配（X）收入模型 （课本第125页）,例5.1 个人储蓄（Y）与可支配（X）收入模型 （课本第125页）,Goldfeld-Quandt 检验,去掉中间9个观测值。 用第1个子样本回归： ，RSS1=150867.9 用第2个子样本回归： ，RSS2=958109.4 H0: ut 具有同方差， H1: ut 具有递增型异方差。 构造F统计量。 因为F =6.35 F0.05 (9, 9) = 3.18，存在递增型异方差。,例5.1 个人储蓄（Y）与可支配（X）收入模型 （课本第125页）,White检验的EViwes操作：在回归式窗口中点击View键选Residual Tests/ White Heteroskedasticity 功能。 (含有无交叉项两种选择。),White检验,White检验式,加权估计（WLS）方法（1）,例5.1 个人储蓄（Y）与可支配（X）收入模型 （课本第125页）,点击此处,填入权数,例5.1 个人储蓄（Y）与可支配（X）收入模型,加权估计（WLS）方法（1）,例5.1 个人储蓄（Y）与可支配（X）收入模型,加权估计（WLS）方法（2）: 用加权变量回归,自己把回归式还原为Y对X回归情形。 回归系数OLS估计结果是0.088，WLS估计结果是0.090。0.09的统计特性更好。,案例1 ：取1986年中国29个省市自治区农作物种植业产值yt（亿元）和农作物播种面积xt（万亩）数据研究二者之间的关系。得估计的线性模型如下， yt = -5.6610 + 0.0123 xt (-0.6) (12.4) R2 = 0.85, T = 29,数据排序并估计后得到的残差图明显存在异方差,附录：用EViews 4.0给序列中的数据排序 在Workfile窗口点击Procs键并选择Sort Series功能，将出现一个要求填写以哪一个序列为标准（基准序列）排序的对话框。填写基准序列名，并在下侧的另一个选择框中说明是按从小到大排列（Ascending），还是从大到小排列（Descending）。缺省的选择是从小到大排列。,附录：用EViews 5.0、6.0给序列中的数据排序 在Workfile窗口点击Proc键并选Sort Curent Page功能，将出现一个警告栏。,点击Yes后，将出现一个要求填写以哪一个序列为标准（基准序列）排序的对话框。过程与EViews 4.0相同。 注意，这种操作是把工作文件中所有的变量都以选定的变量为标准排序。所以若希望保留原数据时，应先备份一个工作文件。,（3）美国1980-2002年国内总消费（cons：亿美元）和国内生产总值（GDP：亿美元）的散点图、回归结果和残差图如下：,（4） 中国农村居民家庭对数的人均食品支出（Lnfood）与生活支出（Lnlive）数据（1978-1998）散点图、一元线性回归结果如下所示。,