复变函数第3讲.ppt

1,复变函数 第3讲,本文件可从网址 http:/math.shekou.com 上下载,2,§5 复变函数,3,1. 复变函数的定义,定义 设G是一个复数z=x+iy的集合, 如果有一个确定的法则存在, 按照这一法则, 对于集合G中的每一个复数z, 就有一个或几个复数w=u+iv与之对应, 则称复变数w是复变数z的函数(简称复变函数), 记作 w=f(z),如果z的一个值对应着w的一个值, 则函数f(z)是单值的; 否则就是多值的. 集合G称为f(z)的定义集合, 对应于G中所有z对应的一切w值所成的集合G*, 称为函数值集合.,4,在以后的讨论中, 定义集合G常常是一个平面区域, 称之为定义域, 并且, 如无特别声明, 所讨论的函数均为单值函数. 由于给定了一个复数z=x+iy就相当于给定了两个实数x和y, 而复数w=u+iv亦同样地对应着一对实数u和v, 所以复变函数w和自变量z之间的关系w=f(z)相当于两个关系式: u=u(x,y), v=v(x,y), 它们确定了自变量为x和y的两个二元实变函数.,5,例如, 考察函数 w=z2 令z=x+iy, w=u+iv, 则 u+iv=(x+iy)2=x2-y2+2xyi, 因而函数w=z2对应于两个二元函数: u=x2-y2, v=2xy,6,2. 映射的概念,如用z平面上的点表示自变量z的值, 而用另一个平面w平面上的点表示函数w的值, 则函数w=f(z)在几何上就可以看做是把z平面上的一个点集G(定义集合)变到w平面上的一个点集G*(函数值集合)的映射(或变换). 这个映射通常简称为由函数w=f(z)所构成的映射. 如果G中的点z被映射w=f(z)映射成G*中的点w, 则w称为z的象(映象), 而z称为w的原象.,7,设函数w=z,x,y,O,u,v,O,8,设函数w=z2,9,由于函数w=z2对应于两个二元实变函数: u=x2-y2, v=2xy. (1.5.1) 因此, 它把z平面上的两族分别以直线y=x和坐标轴为渐近线的等轴双曲线 x2-y2=c1, 2xy=c2 分别映射成w平面上的两族平行直线 u=c1, v=c2,10,10,11,函数w=z2对应于两个二元实变函数: u=x2-y2, v=2xy. (1.5.1) 如果确定直线x=l(常数)与y=m(常数), 直线x=l的象的参数方程为 u=l2-y2, v=2ly, 消去参数y得直角坐标方程为 v2=4l2(l2-u) 同理可得直线y=m的象的方程为 v2=4m2(m2+u),12,13,假定函数w=f(z)的定义集合为z平面上的集合G, 函数值集合为w平面上的集合G*, 则G*中的每个点w必将对应着G中的一个(或几个)点. 按照函数的定义, 在G*上就确定了一个单值(或多值)函数z=j(w), 它称为函数w=f(z)的反函数, 也称为映射w=f(z)的逆映射. 从反函数的定义可知, 对任意的wG*, 有 w=fj(w), 当反函数为单值函数时, 也有 z=jf(z), zG,14,今后, 我们不再区分函数与映射(变换). 如果函数(映射)w=f(z)与它的反函数(逆映射)z=j(w)都是单值的, 则称函数(映射)w=f(z)是一一的. 此时, 我们也称集合G与集合G*是一一对应的.,15,§6 复变函数的极限和连续性,16,1.函数的极限 定义 设函数w=f(z)定义在z0的去心邻域 00, 相应地必有一正数d(e)(0d), 使得当0|z-z0|d时有 |f(z)-A|e, 则称A为f(z)当z趋向于z0时的极限, 记作,或记作当zz0时, f(z)A,17,这个定义的几何意义是:当变点z一旦进入z0的充分小的d邻域时, 它的象点f(z)就落A的预先给定的e邻域中. 应当注意, z趋向于z0的方式是任意的, 无论以何种方式趋向于z0, f(z)都要趋向于同一常数A.,x,y,O,z0,d,z,O,u,v,A,e,f(z),18,极限示意,x,y,O,u,v,O,19,定理一 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y), A=u0+iv0, z0=x0+iy0, 则,20,证 必要性:,21,充分性:,22,定理二,23,例 证明函数 当z0时的极限不存在 证 令z=x+iy, 则,由此得,24,由此得,让z沿直线y=kx趋于零, 我们有,25,显然, 它随k的不同而不同, 所以,不存在. 虽然,但根据定理一, 不存在.,26,此题也可以用另一种方法证明, 令z=r(cosq+isinq), 则,当z沿着不同的射线arg z=q 趋于零时, f(z)趋于不同的值. 例如, z沿正实轴arg z=0趋于0时, f(z)1, z沿arg z=p/2趋于0时, f(z)0.故,不存在,27,2. 函数的连续性 定义,则说f(z)在z0处连续. 如果f(z)在区域D内处处连续, 我们说f(z)在D内连续. 定理三 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z0=x0+iy0处连续的充要条件是u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)处连续.,28,例如, 函数f(z)=ln(x2+y2)+i(x2-y2)在复平面内除原点外处处连续, 因为u=ln(x2+y2)除原点外是处处连续的, 而v=x2-y2是处处连续的.,29,定理四 1) 在z0连续的两个函数f(z)与g(z)的和, 差, 积, 商(分母在z0不为零)在z0处连续; 2)如果函数h=g(z)在z0处连续, 函数w=f(h)在h0=g(z0)连续, 则复合函数w=fg(z)在z0处连续.,30,由以上定理, 可以推得有理整函数(多项式) w=P(z)=a0+a1z+a2z2+.+anzn 对复平面内所有的z都是连续的, 而有理分式函数,其中P(z)和Q(z)都是多项式, 在复平面分母不为零的点也是连续的,31,还应指出, 所谓函数f(z)在曲线C上z0点处连续的意义是指,在闭曲线或包括曲线端点在内的曲线段上连续的函数f(z)在曲线上是有界的. 即存在一正数M, 在曲线上恒有 |f(z)|M,32,作业,第34页 第26,27,29题,