第讲极坐标方程及其应用.ppt

1,第6讲-极坐标方程及其应用,2,学习目标,1理解极坐标的概念； 会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化， 会进行曲线的极坐标方程与极坐标方程的互化； 2理解等速螺线的概念及其极坐标方程,3,重 点,难 点,极坐标的概念,等速螺线,4,极坐标最早是由瑞士数学家雅各·贝努利于1691年引入的，虽然牛顿在1671年曾使用过极坐标系，但他的文章直至1736年才发表。1729年德国数学家赫尔曼（Jacob Hermann）进一步完善了极坐标的概念，并导出了直角坐标与极坐标互换的公式。1748年欧拉给出了极坐标的现代形式。,5,以洞山中路为X轴 以田大路为Y轴.,请问：去技师 学院怎么走？,精神病！,6,从这向东 2000米。,请问：去技师 学院怎么走？,7,请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？,从这向东走2000米！,出发点,方向,距离,在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。,8,1、极坐标系的建立：,在平面内取一个定点O，叫做极点。,引一条射线OX，叫做极轴。,再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。,这样就建立了一个极坐标系。,O,9,2、极坐标系内一点的极坐标的规定,对于平面上任意一点M，用表示线段OM的长度，用表示从射线OX到OM 的角度，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标。,特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。,特别规定:当M在极点时，它的极坐标=0， 可以取任意值。,10,平面上一点的极坐标是否唯一？ 若不唯一，那有多少种表示方法？ 坐标不唯一是由谁引起的？ 不同的极坐标是否可以写出统一表达式？,想一想？,11,3、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况,1给定（,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。,2给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。,原因在于：极角有无数个。,(,),它们有统一的表达式：（，2k+）,如果限定0,02,那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.,12,在直角坐标系中, 以原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相同的长度单位,设点M的直角坐标是(x, y)，极坐标是(,),则极坐标与直角坐标的互化关系式:,x=cos, y=sin,4、极坐标和直角坐标的互化,13,互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.,x=cos, y=sin,14,定义：,设一个动点沿着一条射线作等速运动，同时这条射线又绕着它着的端点等角速旋转，这个动点的轨迹称为等速螺线（或阿基米德螺线）,5、极坐标的应用,15,设O为射线 的端点，以O为极点， 的初始位置为极轴，建立极坐标系。,设动点 在射线 上的起始 位置为 ，并设动点P沿射线 作直线运动的速度为 ，射线 绕着点O作 旋转运动的角速度为 ，则由等到螺线的定义 和平面几何知识可得等速螺线的极坐标方程为：,下面我们来建立等速螺的极坐标方程.,16,特别地， 时，即动点P从极点O开始运动，等速螺线的极坐标方程为：,在机械传动中，经常需要把旋转运动转变为直线运动，凸轮是实现这种运动变换的重要部件，而常用凸轮的轮廓线就是等速螺线的一部分。,17,例3：一滑杆（设此滑杆足够长）一端固定，其上有一滑块，位于端点20mm处，它以5mm/s一速度向远离固定的一端，又此滑杆另一端以每秒逆时针方向旋转/6的角速度旋转，求此滑块的运动轨迹。,解：此滑块的运动轨迹为等速螺线，其轨迹为,18,例4：已知凸轮的基圆半径R=60mm，要求：当转角自0转到 时，推杆等速上升60mm；当转角自 旋转到 时，推杆等速下降60mm；当转角自 旋转到 时，推杆保持不动.求凸轮轮廓曲线的极坐标方程.,解 :凸轮轮廓曲线的极坐标方程,（1）当=0时，R=60，代入得,当= 时，R=120，代入得,(见教材P61),19,（2）当= 时，R=120，代入得,当= 时，R=60，代入得,(3)当 时，,20,小 结,你能总结一下本讲的主要内容吗？,21,所以所求的凸轮轮郭曲线方程为：,22,练 习,1将下列直角坐标转化为极坐标： （1）A（0，4） （2）B（1，-1）,2将下列极坐标转化为直角坐标：,3将下列极坐标方程转化为极坐标方程,23,祝你学习进步！,祝你工作愉快！,