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微分学是微积分的重要组成部分,它的基本概念是导数与微分。 在自然科学的许多领域中，当研究运动的各种形式时，都需要从数量上研究函数相对于自变量的变化快慢程度，如物体运动的速度、电流、线密度、化学反应速度以及生物繁殖率等，而当物体沿曲线运动时，还需要考虑速度的方向，即曲线的切线问题。所有这些在数量关系上都归结为函数的变化率。,第三章 一元函数微分学,。,第一节 导数的概念,一、导数概念实例,二、导数的定义,三、求导数的方法,四、可导与连续的关系,五、导数的几何意义与物理意义,1导数概念实例,（ 1）、变速直线运动的瞬时速度问题,设动点作变速直线运动，其经过的路程是时间的函数，即，求它在时刻的瞬时速度。,如右图所示，,假定在某一瞬时 ,动点M的位置是 ，,而经过极短的时间间隔 后,即在瞬时 ,动点M的位置到达 ，,于是动点M在时间间隔 内所走过的路程是：,动点在这段时间内的平均速度为,由于时间间隔 较短，它可以大致说明 动点M在 时刻的速度，且时间间隔 取得越 小，这段时间内的平均速度愈接近 时刻瞬时速度。,若令 趋于零，则极限值,（2）、切线问题,割线的极限位置切线位置（附：Flash说明）,如果割线MN绕点M旋转,割线 M N 的斜率,如图，,2导数的定义,上面讨论的两个实例，虽然是不同的具体问题，但是它们在计算时都归结为如下的极限：,其中,定义 .,在点,并称此极限为,记作:,即,则称函数,若,的某邻域内有定义 ,设函数,存在,若上述极限不存在 ,在点 不可导。,若,若函数在开区间 I 内每点都可导,就称函数在 I,内可导.此时导数值构成的新函数称为导函数.,记作:,就说函数,注意：,3由定义求导数,步骤：,(1)求增量,(2)算比值,(3)求极值,步骤如下:,1 定义函数,2 根据定义求导,例1,（1）面积关于半径函数关系为,解（1）：,（2）圆面积的增量为,（3）圆面积的平均变化率为,（4）面积A关于半径r的变化率为,解（2）:,例2,解（1）:,即,解（2）:,课堂小练习,P45 第5题,例3,解（1）:,由二项式定理，得,于是,即,解（2）:,一般地，对幂函数,有,利用这一公式，可以求出幂函数的导数。,课堂小练习,P45 第6题（1）（3）（5）,6. 求下列函数的导数：,利用导数的定义还能够比较容易地求出 ：,4可导与连续的关系,1）左导数与右导数,定义2：,和,2）定理一,说明：,例题4,解 ：,由于,，所以,定理1.,证:,设,在点 x 处可导,存在 ,因此必有,其中,故,所以函数,在点 x 连续 。,即,2）定理二,注意: 函数在点 x 连续未必可导.,（1） 函数在角点不可导：,（2） 函数在无穷倒数点处不可导：,（3） 函数左右导数都不存在处不可导：,（4） 函数在尖点不可导。,(1),(2),(3),(4),5、 导数的几何意义,若,曲线过,上升;,若,曲线过,下降;,若,切线与 x 轴平行,称为驻点;,若,切线与 x 轴垂直 .,切线方程:,法线方程:,例题5,求等边双曲线,在点,的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程,处的切线,解:,由导数的几何意义，得切线斜率为,所求切线方程为,即,。,法线方程为,，即,。,课堂小练习,P45 第9题,9. 求曲线,上点,处的切线,方程和法线方程。,内容小结,1. 变化率模型:,2. 导数定义:,3. 用导数定义求函数的导数:,课后作业,P45 第3题,P45 第4题,4. 可导与连续的关系:,5. 导数的几何意义。,