教学目的掌握解非线性方程组的二分法和插值法.ppt

教学目的 1. 掌握解非线性方程（组）的二分法和插值法； 2. 掌握解非线性方程（组）的一般迭代法及有关收敛性的证明与牛顿法； 3. 掌握解非线性方程（组）的牛顿法 4. 了解加速收敛的方法。 教学重点及难点 重点是解非线性方程（组）的牛顿法； 难点是迭代法的收敛性的证明。,第6章 非线性方程和方程组 的数值解法,第6章 非线性方程和方程组 的数值解法,考虑两环节机器人手臂定位问题。设两节臂长分别为d1和d2，如图6-1所示，第一臂与水平方向所成的角为 ，第二臂与第一臂所成的角为 。问题是求 和 ，使第二臂的端点位于适当的位置，比如其坐标为,一般的非线性方程组可写成F(x)=0,其中F和x都是n维向量，或写成 其中， 中至少有一个是 的非线性函数。当n=1时，就是单个的方程f(x)=0。非线性方程和方程组的求解是工程和科学领域中最常见的问题。下面举一个例子：,这样，我们的问题是要解下列方程组,与线性方程组不同，除特殊情况外，求解非线性方程不能用直接法求数值解，而是要用迭代法。迭代法的基本问题是收敛性、收敛速度和计算效率。,对于线性方程组，如前所述，若某迭代法收敛，则取任何初值都收敛。但是，对于非线性方程，不同的初值可能有不同的收敛性态，有的初值使迭代收敛，有的则不收敛。一般说来，为使迭代法收敛，初值应取在解的附近。,方程的数值解法的收敛性，也与方程根的重数有关。对于一般的函数 ，若有,其中m为正整数，我们称 是f(x)的m重零点，或称 是方程f(x)=0的m重根。显然，若 是f(x)的m重零点，且g(x)充分光滑，则有,当m为奇数时，f(x)在 点处变号，当m为偶数时，f(x)在 点处不变号。,6.1 方程求根的二分法,由此可见，如果二分过程能无限地继续下去，这些区间最终必收敛于一点 该点显然就是所求的根。,实根，要求准确到小数点后的第2位。,表6-1,上述二分法的优点是算法简单，而且在有限区间内，收敛性总能得到保证。值得注意的是，为了求出足够精确的近似解，往往需要计算很多次函数值，是一种收敛较慢的方法，通常用求根的粗略近似值，把它作为后面要讨论的迭代法的初始值。另一方面，二分法只使用于求一元方程的奇数重实根。,在二分法中，是逐次将有根区间折半。更一般地是，从有限区间的左端点出发，按预定的步长h一步一步地向右跨，每跨一步进行一次根的“搜索”，即检查所在节点上的函数值的符号，一旦发现其与左端的函数值异号，则可确定一个缩小了的有限区间，其宽度等于预定的步长h。然后，再对新的,有限区间，取新的更小的预定步长，继续“搜索”，直到有限区间的宽度足够小。称这种方法为逐步搜索法。,