第5讲.ppt

第五讲 原函数与不定积分 Cauchy积分公式 解析函数的高阶导数,1. 原函数与不定积分的概念 2. 积分计算公式,§3.4 原函数与不定积分,1. 原函数与不定积分的概念,由§2基本定理的推论知：设f (z)在单连通区域B内解析，则对B中任意曲线C, 积分c fdz与路径无关，只与起点和终点有关。,当起点固定在z0, 终点z在B内变动,c f (z)dz 在B内就定义了一个变上限的单值函数，记作,定理 设f (z)在单连通区域B内解析，则F(z)在 B内解析，且,上面定理表明 是f (z)的一个 原函数。,设H (z)与G(z)是f (z)的任何两个原函数，,2. 积分计算公式,定义 设F(z)是f (z)的一个原函数，称F(z)+c(c为 任意常数)为f (z)的不定积分，记作,定理 设f (z)在单连通区域B内解析， F(z)是f (z) 的一个原函数，则,此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式. 但是要求函数是解析的,比以前的连续条件要强,例1 计算下列积分：,解1),解2),例3 计算下列积分：,小结 求积分的方法,利用Cauchy-Goursat基本定理在多连通域上 的推广,即复合闭路定理,导出一个用边界值表示解 析函数内部值的积分公式,该公式不仅给出了解析 函数的一个积分表达式，从而成为研究解析函数 的有力工具，而且提供了计算某些复变函数沿闭 路积分的方法.,内 容 简 介,§3.5 Cauchy积分公式,分析,猜想积分,定理(Cauchy 积分公式),证明,一个解析函数在圆心处的值等于它在 圆周上的平均值.,例1,解,例2,解,例3,解,内 容 简 介,本节研究解析函数的无穷次可导性，并导出高阶导数计算公式。研究表明：一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各阶导数，它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示。这一点与实变函数有本质区别。,§6 解析函数的高阶导数,形式上，,以下将对这些公式的正确性加以证明。,定理,证明 用数学归纳法和导数定义。,依次类推，用数学归纳法可得,一个解析函数的导数仍为解析函数。,例1,解,作业,P100 7(3)(5)(7)(9) 8(1)(2) 9(3)(5),