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第七章 习题课,平面点集 和区域,多元函数 的极限,多元函数 连续的概念,极 限 运 算,多元连续函数 的性质,多元函数概念,一、主要内容,全微分 的应用,高阶偏导数,隐函数 求导法则,复合函数 求导法则,全微分形式 的不变性,偏导数在 经济上的应用,多元函数的极值,全微分 概念,偏导数 概念,1.区域,（1）邻域,（3）n维空间,（2）区域,连通的开集称为区域或开区域,2.多元函数概念,3.多元函数的极限,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,4.极限的运算,5.多元函数的连续性,6.闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值,（2）最大值和最小值定理,（1）有界性定理,有界闭区域D上的多元连续函数是D上的有界函数,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,（3）介值定理,7.偏导数概念,.高阶偏导数,纯偏导,混合偏导,定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,.偏导数在经济上的应用:交叉弹性,即,10.全微分概念,多元函数连续、可导、可微的关系,11.全微分的应用,主要方面:近似计算与误差估计.,12.复合函数求导法则,以上公式中的导数 称为全导数.,13.全微分形式不变性,无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的.,隐函数的求导公式,14.隐函数的求导法则,15.多元函数的极值,定义,多元函数取得极值的条件,定义 一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的驻点.,极值点,注意,驻点,条件极值：对自变量有附加条件的极值,二、典型例题,例1,解,1. 讨论二重极限,解法1,解法2 令,解法3 令,时, 下列算法是否正确?,分析:,解法1,解法2 令,此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况,此法排除了沿曲线趋于原点的情况.,此时极限为 1 .,第二步,未考虑分母变化的所有情况,解法3 令,此法忽略了 的任意性,极限不存在 !,由以上分析可见, 三种解法都不对,因为都不能保证,自变量在定义域内以任意方式趋于原点 .,特别要注意, 在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内 r , 的变化应该是任意的.,同时还可看到,本题极限实际上不存在 .,提示: 利用,故 f 在 (0,0) 连续;,知,在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 .,2. 证明:,而,所以 f 在点(0,0)不可微 !,例1. 已知,求出 的表达式.,解法1 令,即,解法2,以下与解法1 相同.,则,且,例2,解,例3,解,于是可得,例4,解,例2. 设,其中 f 与F分别具,解法1 方程两边对 x 求导, 得,有一阶导数或偏导数, 求,(1999 考研),解法2,方程两边求微分, 得,化简,消去 即可得,例3.设,有二阶连续偏导数, 且,求,解:,例5,解,分析:,得,有连续的一阶偏导数 ,及,分别由下两式确定,求,又函数,答案:,( 2001考研 ）,3. 设,4. 设,均可微, 且,在约束条件(x, y) 0下的一个极值点,已知 (x0, y0) 是 f (x, y),下列选项正确的是( ),D,(2006考研),提示: 设,(),代入()得,