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簡單邏輯,人 = 吃飯 + 睡覺 + 上班 + 玩， 豬 = 吃飯 + 睡覺， 代入上式得： 人 = 豬 + 上班 + 玩， 移項得：人 - 玩 = 豬 + 上班。 結論 : 不懂玩的人 = 會上班的豬!,綜上所得： 男人為了讓女人不變成豬而掙錢！ 女人為了讓男人不變成豬而花錢！ 但是？男人加上女人以後呢？ 男人 + 女人 = 豬 + 掙錢 + 豬 + 花錢 掙錢和花錢將互相抵銷，其結果為：男人 + 女人 = 兩頭豬,男人 = 吃飯 + 睡覺 + 掙錢， 豬 = 吃飯 + 睡覺， 代入上式得： 男人 = 豬 + 掙錢， 移項得：豬 = 男人 - 掙錢 ， 所以：男人不掙錢等於豬。,女人 = 吃飯 + 睡覺 + 花錢， 豬 = 吃飯 + 睡覺， 代入上式得：女人 = 豬 + 花錢， 移項得：女人 - 花錢 = 豬。 結論是：女人不花錢的都是豬。,這次月考題目很難，所以我不會,這次月考題目很簡單，所以我會,意思樣嗎?,(假如)你很乖，爸爸買玩具給你,(假如)你不乖，爸爸不買玩具給你,意思樣嗎?,白馬是馬,不是馬就不是白馬,馬是白馬,不是白馬就不是馬,若是白馬，則一定是馬,6-2=4(真) 6-2=3(偽),數學語句 數學上所用到之語句，一種敘述 或為真，或為偽。不能既為真又為偽。,敘述（statement） 真（true） 假（false） (a) 2是一個質數。 (b) 吃飽沒？ (c) 他長得瘦。 (d) 外星人來過台灣。,命 題,敘述(a)是一個命題，因為它是真的。 敘述(b)是一個問句，沒什麼固定的真假值，因此不是一個命題。 在敘述(c)裡的”他”是一個變數，必須等到我們指明”他”是誰才可以知道這個敘述是真或假。(c)因此不是一個命題。 敘述(d)是一個命題，因為它一定是真的或假的；儘管我們現在還不確定。,常用之連接詞 且(and) 或(or) 若，則(ifthen),複合數學語句 由兩個或兩個以上之敘述 利用相關之連接詞所成之語句 6-2=4 或 6-2=3,簡單數學語句 單一敘述數學語句 6-2=4,命題 若p則q形式之複合敘述稱為命題，記為pq 其中p稱為假設，q稱為結論。,敘述有真有假 如何判斷敘述之真假呢？,真值表,pq與qp等價,假如你很乖，那麼爸爸買玩具給你。 爸爸不買玩具給你，所以你不乖。,這次月考題目很難，所以我不會 我會，所以表示月考題目不難。,這句話是假的,所有人不准說話,自我指涉(自己談論自己),詭論,並非有自我指涉者，一定會產生詭論 這句子有七個字,羅素詭論 某犯人被判死刑即將執行，臨死前法官對犯人說：如果你所交待的遺言是實話則可免死，如果是謊話則非死不可！於是聰明的犯人便說：我將被處決。因此這位犯人便僥倖存活。這故事代表什麼數學意義？,(解)： 如果我將被處決。是實話，則依照法官的命令，犯人可以免死； 如果我將被處決。是謊話，則表示犯人不會被處決。 無論是以上那種情況，這犯人都不會死。,證 明 方 法,證 明 方 法,歸納法（Proofs by Induction） 直接證明 直接提出論證證明一個論述是真實的 找出反例證明一個論述是錯的 間接證明 證明一個論述的對換句是真實的 證明一個論述產生矛盾以證明它是錯的 邏輯上等價（Logical Equivalence） 證明在邏輯上等價 證明它形成蘊涵循環,證 明 方 法,歸納法（Proofs by Induction） 直接證明 直接提出論證證明一個論述是真實的 找出反例證明一個論述是錯的 間接證明 證明一個論述的對換句是真實的 證明一個論述產生矛盾以證明它是錯的 邏輯上等價（Logical Equivalence） 證明在邏輯上等價 證明它形成蘊涵循環,歸 納 法,歸 納 法,歸 納 法,歸 納 法,證明對於任何一個正整數 n，2nn。 顯然當 n=1 的時候 P(1) 成立，因為 211。 假設當 n=k 時 P(k) 成立，即 2kk。我們要證明當 n=k+1 時 P(k+1) 成立，即 2(k+1)(k+1)。 但是,歸 納 法,即，2k+1k+1。 因此，得證。,證 明 方 法,歸納法（Proofs by Induction） 直接證明 直接提出論證證明一個論述是真實的 找出反例證明一個論述是錯的 間接證明 證明一個論述的對換句是真實的 證明一個論述產生矛盾以證明它是錯的 邏輯上等價（Logical Equivalence） 證明在邏輯上等價 證明它形成蘊涵循環,直接證明,直接提出論證證明一個論述是真實的 證明如果一個整數可以被 6 除盡，那它一定也可以被 3 除盡。 x=k6 （根據除盡的定義） 6=23 （已知的事實） x=k(23) （以23取代6） x=(k2)3 （根據除盡的定義） k2是一個整數 （以之關於整數的事實） 因此，x可以被3除盡 （除盡的定義）,證 明 方 法,歸納法（Proofs by Induction） 直接證明 直接提出論證證明一個論述是真實的 找出反例證明一個論述是錯的 間接證明 證明一個論述的對換句是真實的 證明一個論述產生矛盾以證明它是錯的 邏輯上等價（Logical Equivalence） 證明在邏輯上等價 證明它形成蘊涵循環,直接證明,找出反例證明一個論述是錯的 對所有的正整數 n，n2-n+41是一個質數這個命題是否正確？ 事實上，當 n=41 的時候，412-41+41=412，顯然不是一個質數。因此，這一個反例就足以證明上面的命題是錯的。,證 明 方 法,歸納法（Proofs by Induction） 直接證明 直接提出論證證明一個論述是真實的 找出反例證明一個論述是錯的 間接證明 證明一個論述的對換句是真實的 證明一個論述產生矛盾以證明它是錯的 邏輯上等價（Logical Equivalence） 證明在邏輯上等價 證明它形成蘊涵循環,間 接 證 明,證明一個論述的對換句是真實的 AB = BA 證明如果一個整數 m 的平方是偶數，則整數 m 必然是偶數。 如果 m 是奇數，則 m=2k+1，其中k是某一個整數。 因此，。顯然地，m2是一個奇數。因此，得證。,證 明 方 法,歸納法（Proofs by Induction） 直接證明 直接提出論證證明一個論述是真實的 找出反例證明一個論述是錯的 間接證明 證明一個論述的對換句是真實的 證明一個論述產生矛盾以證明它是錯的 邏輯上等價（Logical Equivalence） 證明在邏輯上等價 證明它形成蘊涵循環,間 接 證 明,證明一個論述產生矛盾以證明它是錯的 反證法 證明是 無理數 要用反證法來證明這個命題，我們先假設它是錯的，亦即我們假設 是有理數。這意味著,間 接 證 明,其中 m 跟 n 為整數，而且 n0。我們假設 m 跟 n 沒有公因數，否則我們可以先將它們的最大公因數除去。 將等式的兩邊都乘以 n 並且取平方，我們得到,間 接 證 明,蘊涵的意思是 m2 是一個偶數。由上一個範例知道，如果 m2 是偶數，則 m 是偶數。因此，m 是一個偶數。 令 m=2r ，則 結果又蘊涵 n2 是一個偶數。 再由上一個範例知道，n 必然是一個偶數。,間 接 證 明,結果是，我們證明出 m 跟 n 有一個公因數 2，這跟我們一開始所假設的 m 跟 n 沒有公因數剛好矛盾。 因此， 必然是無理數。,證 明 方 法,歸納法（Proofs by Induction） 直接證明 直接提出論證證明一個論述是真實的 找出反例證明一個論述是錯的 間接證明 證明一個論述的對換句是真實的 證明一個論述產生矛盾以證明它是錯的 邏輯上等價（Logical Equivalence） 證明在邏輯上等價 證明它形成蘊涵循環,邏 輯 上 等 價,證明在邏輯上等價 證明如果 m 是一個正整數，則以下兩個命題等價： (i) m 是偶數。 (ii) m2 是偶數。,邏 輯 上 等 價,(i)(ii) 如果 m 是偶數，則 m=2r，其中 r 是一個正整數。因此，m2=(2r)2=4r2，是一個偶數。 (ii)(i) 前面的範例已經證明過證明如果 m2 是偶數，則 m 是偶數。 因此，得證。,證 明 方 法,歸納法（Proofs by Induction） 直接證明 直接提出論證證明一個論述是真實的 找出反例證明一個論述是錯的 間接證明 證明一個論述的對換句是真實的 證明一個論述產生矛盾以證明它是錯的 邏輯上等價（Logical Equivalence） 證明在邏輯上等價 證明它形成蘊涵循環,邏 輯 上 等 價,證明它形成蘊涵循環 假設我們要證明以下 n 個命題在邏輯上等價， 最有效率的辦法是證明它形成一個蘊涵循環：,