等差数列课件(第一课时).ppt
等差数列,成县化垭农中 刘果林,复 习 回 顾,数列的定义，通项公式，递推公式,按一定次序排成的一列数叫做数列。 一般写成a1,a2,a3,an,，简记为an。,如果数列an的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。,如果已知数列an的第1项(或前几项），且任一项an与它的前一项a n-1(或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。,我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列： 0，5， 10 ，15 ，20 ， 2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置了7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）： 48 ，53，58，63. 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）： 18，15.5，13，10.5，8，5.5. 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×(1+利率×存期)。例如，按活期存入10000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和（单位：元）组成一个数列： 10072，10144，10216，10288，10360. ,四 个 实 例,从第二项起，后一项与前一项的差是5。,从第二项起，后一项与前一项的差是5。,从第二项起，后一项与前一项的差是-2.5。,从第二项起，后一项与前一项的差是72。,请同学们思考，这四个数列有何共同特点?,等 差 数 列 的 定 义,一般地，如果一个数列an,从第2项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用字母 d 表示。,定义的符号表示是： an - an-1=d(n2,nN*), 这就是数列的递推公式。,数列an为等差数列,an+1-an=d,或an+1=an+d,那么对于以上四组等差数列，它们的公差 依次是5，5，-2.5，72。,是,不是,不是,练 习 一,判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理由。,（1）1，3，5，7， （2）9，6，3，0，-3 （3）-8，-6，-4，-2，0， （4）3，3，3，3，,（6）15，12，10，8，6，,思考：在数列（1），a100=？我们该如何求解呢？,是,是,是,a1=1,d=2,a1=9,d=-3,a1=-8,d=2,a1=3,d=0,通 项 公 式 的 推 导,设一个等差数列an的首项是a1,公差是d,则有： a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d, 所以有： a2=a1+d, a3=a2+d = (a1+d) + d = a1+ 2d a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d,an=a1+(n-1)d 当n=1时，上式也成立。,所以等差数列的通项公式是： an=a1+(n-1)d,问an=? 通过观察：a2， a3，a4都可以用a1与d 表示出来；a1与d的系数有什么特点？,(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3) +(an-an-1)=(n-1)d an-a1=(n-1)d 即an=a1+(n-1)d,a2-a1=d, a3-a2=d, a4-a3=d, an-an-1=d,a1 、an、n、d知三求一,例 题,例1 （1）求等差数列8，5，2，的第20项； （2）判断-401是不是等差数列 5,-9 ,-13的项?如果是，是第几项，如果不是，说明理由。,分析（1）由给出的等差数列前三项，先找到首项a1,求出公差d,写出通项公式，就可以求出第20项a20.,解：(1)由题意得： a1=8,d=5-8=-3,n=20 这个数列的通项公式是： an=a1+(n-1)d=-3n+11 a20=11-3×20=-49,分析（2）要想判断 -401是否为这个数列中的项，关键是要求出通项公式，看是否存在正整数n,使得an=-401。,(2)由题意得： a1=-5,d=-9-(-5)=-4 这个数列的通项公式是： an=-5+ (n - 1) × (-4)=-4n-1 令-401=-4n-1,得 n=100 -401是这个数列的第100项。,练 习 二,（1）求等差数列3,7,11的第4项与第10项； （2）判断102是不是等差数列2，9，16，的项？如果是，是第几项，如果不是，说明理由。,解：（1）根据题意得： a1=3,d=7-3=4, 这个数列的通项公式是： an=a1+(n-1)d=4n-1 a4=4×4-1=15, a10=4×10-1=39.,（2）由题意得： a1=2,d=9-2=7 这个数列的通项公式是： an=2+ (n-1) × 7 =7n-5(n1)令102=7n-5,得 n=107/7 N 102不是这个数列的项。,例2,在等差数列an中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d .,这是一个以a1和d 为未知数的二元一次方程组，解之得：,解：由题意得：,这个数列的首项a1是-2，公差d =3.,小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组。请同学们做以下练习。,例 题,从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于、d、n（独立的量有3个）的方程；另外，要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就不是数列中的项。,练 习 三,已知等差数列an中，a4=10,a7=19,求a1和d.,这个数列的首项是1，公差是3。,解：依题意得：,解之得：,有些数列若通过取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.,课时小结,通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式： an+1-an=d(n1且nN*); 其次要会推导等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d( n1) . 本课时的重点是通项公式的灵活应用,知道an,a1,d,n中任意三个，应用方程的思想，可以求出另外一个。,已知等差数列an中，am、公差d 是常数，试求出an的值。,分析：本题是一个含有字母的计算题，做题时必须将am ,d 看成是常数.,解：设等差数列an的首项是a1，依题意可得： am=a1+(m-1)d an=a1+(n-1)d - 得：an-am=a1+ ( n 1 )d-a1+(m-1)d=(n-m)d an=am +(n-m)d,思考题：,变形,等差数列的通项公式：,等差数列,an-a1=(n-1)d,a4-a3=d,a2-a1=d,a3-a2=d,an-1-an-2=d,an-an-1=d,等差数列的通项公式：,an=a1 +(n-1)d,等价变形：,a1=an- (n-1)d,d=(an-a1)/ (n-1),n=(an-a1)/d+1,等差数列,思考:,an=a1 +(n-1)d,am=a1 +(m-1)d,am-an =(m-n) d,d=am-an /(m-n),am=?,am-an =?,am=an +(m-n) d,
