曲线与方程2.ppt
第六周作业： 本上作业 P38 -练习B-3 P42-A-2 P43-B-2 补充：,第七周作业： 本上作业 P47 -A-2,6 P51-A-1 P57-习题A-2,第六、七周（3月28日4月9日）练习册上作业 2.1.1 A 2,3,6,7,10,11(2),12 B 9,11(1) 2.1.2 A 3,4,6,7,8,11 B 9 12 2.2.1（1） A 1,3-9,11 B 12 2.2.1（2） A 2-6,8-11 2.2.2(1) A 1-10 B 11,12 2.2.2(2) A,1-9,10 B 9，12,曲线和方程,解答:(1)、(2)、(4)不可以；(3)可以,问题二：到两坐标轴距离相等的点的集合（或轨迹）能否说是方程：x y = 0?,点M,曲线C,几何意义,坐标（x，y）,方程F（x，y）=0,代数意义,？,直角坐标系建立以后，平面上的点(M)与实数对(x,y)建立了一一对应关系，点运动形成了曲线C；与之对应的实数对的变化就形成了方程F(x,y)=0.这样在曲线和方程之间就形成了某种对应关系.,一般的，在直角坐标系中，如果某曲线 C（看 作是适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点 与一个二元方程 F（x，y）=0的实数解建立了 如下的关系：,（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点；,则这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程 的曲线.,定 义,说明 （1）第一点表示曲线具有纯粹性，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，即曲线上所有点都适合这个条件，毫无例外；,（2）第二点说明曲线具有完备性，阐明适合条件的所有点都在曲线上，毫无遗漏；,（3）曲线与方程建立了上述严格的对应关系后，两者就成为同一运动规律在“形”和“数”这两个不同方面的反映，曲线的性质完全地反映在它的方程上，方程的性质，又反映在它的曲线上.,因此我们可以通过方程研究曲线，也可以利用曲线研究方程.,例1：证明圆心为坐标原点半径为5的圆的方程是x2+y2=25，并判断点M1(3，-4)、M2 ( ，2)是否在这个圆上.,证明某方程F(x，y)=0是曲线C的方程，从两方面入手曲线上任意一点的坐标满足方程；方程上任意一解为坐标的点在曲线上,证明：,设M(x0，y0)是圆上任意一点,M与(0,0)距离等于5，即|MO|=5,即圆上点的坐标满足方程x2+y2=25.,M(x0,y0)与(0,0)距离等于5，即M(x0,y0)在以(0,0)为圆心，5为半径的圆上.,综上：命题得证.,例2：求到点A(-1,-1)、B(3,7)距离相等的点的轨迹方程.,解：设M(x,y)为所求轨迹上任意一点.,则点M集合为P=M|MA|=|MB|,整理得：x+2y-7=0,证明：由求方程的过程可知线段AB垂直平分线上的每一点的坐标都是方程(1)的解.,(1),设点M1的坐标为(x1,y1)，其是方程(1)的解.,即x1+2y1-7=0,x1=7-2y1,点M1到A、B距离分别为：,|M1A|=|M1B|,即点M1在AB中垂线上,综上，所求为x+2y-7=0,动点的几何意义,几何条件代数化,因框以上内容均可逆，故可省略证明,求曲线方程的步骤,1.建立适当的坐标系，设出曲线上任意一点M的坐标（x，y）；,2.写出适合条件P的点M的集合P=M|P(M)；,3.用坐标表示条件P（M），列出方程F(x，y)=0；,4.化方程F(x，y)=0为最简形式；,5.证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.,例3：已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A（0，2）的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.,例4：已知点A(2，0)，点B(-1，2)，点C在直线：2x+y-3=0上运动，求ABC的重心G的轨迹.,答案：x2=8y(x0),变式：此题若去掉“在x轴上方”，则有何改变？,答案：x2=8y或x=0（y0）,说明：求轨迹问题时要注意动点运动的情况，以避免轨迹不全或多出不符合条件的点； 解决例4的方法称为坐标转移法：即动点随另一动点的运动而运动（称另一动点为其相关点）时，我们用动点坐标表示出相关点，利用相关点方程得出所求.,例5.过定点A（a，b），作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交y轴于点P，若l2交x轴于点Q，求线段PQ的中点M的轨迹方程.,例6.求曲线xy-y-1=0关于直线x+y-5=0对称的曲线方程.,例7.求到定点A的距离的平方与到定点B的距离的平方之差为常数 k的点的轨迹.,5解一：设直线l1的斜率为k.,直线l2的斜率为-1/k.,则直线l1：y-b=k(x-a),则直线l2：y-b=-1/k(x-a),当x=0时，得P(0,b-ka)；当y=0时，得Q(a+kb,0),设M(x,y)，由M为中点，得,2ax+2by-a2-b2=0 (3),当k=0时，P(0,b)、Q(a,0)，则M(a/2,b/2),经验证M(a/2,b/2)满足(3),PQ中点M的轨迹方程为2ax+2by-a2-b2=0.,当k0时，,要注意对k的讨论,P(0,2y),Q(2x,0),直线l1l2，且两线均过点(a,b),当xa/2时，由kPA·kQA=-1,5解二：设M(x,y)，由M为中点，P、Q分别在y、x轴,整理得到：2ax+2by-a2-b2=0 (3),当x=a/2时，则M(a/2,b/2),经验证M(a/2,b/2)满足(3),PQ中点M的轨迹方程为2ax+2by-a2-b2=0.,5解三：设M(x,y)，由M为PQ中点， P(0,2y),Q(2x,0),P(0,2y),Q(2x,0),直线l1l2，且两线均过点(a,b),5解四：设M(x,y)，由M为中点，P、Q分别在y、x轴,整理得到：2ax+2by-a2-b2=0,PQ中点M的轨迹方程为2ax+2by-a2-b2=0.,5解五：设M(x,y)，M为PQ中点,直线PAQA，且OPOQ,|OM|=|MA|,若此题规定a0且b0，则结果有否变化？,x0且y0，,解：设M(x，y)是所求曲线上任意一点,则M关于x+y-5=0的对称点为M1(x1，y1),则M1在已知曲线上，即x1y1-y1-1=0,又M与M1关于直线x+y-5=0对称,(5-y)(5-x)-(5-x)-1=0,所求曲线方程为(5-x)(4-y)-1=0,例6.求曲线xy-y-1=0关于直线x+y-5=0对称的曲线方程.,设轨迹上任意一点P(x,y),7.解：建立如图直角坐标系,设定点A(x1,y1)，B(x2,y2)，,点P满足集合M=P|PA|2-|PB|2=k,(x-x1)2+(y-y1)2-(x-x2)2-(y-y2)2=k,整理得：2(x2-x1)x+2(y2-y1)y+(x12-x22+y12-y22-k)=0 (*),所求轨迹为以(*)为方程的一条直线.,(二)以A为原点，AB为x轴正半轴建立如图直角坐标系,设|AB|=2a(a0)，方程为4ax-4a2-k=0,(三)以AB中点O为原点，AB所在直线为x轴建立如图直角坐标系，|AB|=a(a0).,方程为4ax-k=0,*恰当建系,例8.设mR,求两条直线l1:x+my+6=0与l2:(m-2)x+3y+2m=0交点P的轨迹方程.,例9.求过点A(2,0)的直线且与曲线y=x2交于不同的两点M、N的连线段的中点P的轨迹方程.,8解一：设l1与l2交点为P(x，y),所求轨迹方程为x-y+2=0（x-3）,两直线相交的条件为：m2-2m-30,m3且m-1,x-3,消参数m后为：x-y+2=0,8解二：设l1与l2交点为P(x，y),得到：-m(3y+4)=-9y-12,m=3,若x+3y+6=0，则x=-3y-6，将其代入上方程组中(2)式,两直线相交的条件为：m2-2m-30知m3,舍,所求轨迹方程为x-y+2=0（x-3）,9、解：设过点A与曲线y=x2交于不同两点M、N的直线l的斜率为k，则l：y=k(x-2),设P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=k，y1+y2=k(x1-2)+k(x2-2),
