离散数据的曲线拟合课件.ppt

§2.5 离散数据的曲线拟合,总结,2.5.3 正交多项式拟合,2.5.2 多项式的拟合,2.5.1 最小二乘拟合,2.5 离散数据的曲线拟合,学习目标： 了解曲线拟合最小二乘法的意义。掌握线性拟合和二次多项式拟合的方法。,函数 在离散点处的值为,可以证明，这样得到的 ，对于任何 ，都有,故 是所求的最小二乘拟合。记 ，显然，平方误差 或 均方误差 越小，拟合的效果越好。平方误差有与（2.4.15）相同形式的表达式。,2.5.2 多项式的拟合,解 作数据点的图形如图2-2，从图形看出用二次多项式拟合比较合适。这时n=2，子空间 的基函数 。数据中没有给出权数，不妨都取为1，即 。,其平方误差 。拟合曲线 的图形见图2-2。,在许多实际问题中，变量之间的关系不一定能用多项式很好的拟合。如何找到更符合实际情况的数据拟合，一方面要根据专业知识和经验来确定拟合曲线的形式，另一方面要根据数据点的图形性状及特点来选择适当的曲线拟合这些数据。,解 (1)观察数据点的图形(见图2-3),选择二次多项式作为拟合模型。取所有权数为1，按（2.5.3）有,(2)从数据的图形看，可以选用指数函数进行拟合。设 ，其中 。这是一个非线性模型， 不能直接用上面讨论的方法求解。对于一般的非线性最小二乘问题.，用常规方法求解的难度较大。这里的非线性模型比较简单，可以把它转化成线性模型，然后用上面讨论的方法求解。,对说函数 的两边取之然对数，得 。若令 ，则有z=A+t。这是一个线性模型。将本题离散数据作相应的转换，见表2-9。,对表2-9种的数据，作线性拟合，这时n=1，子空间的基函数为 。易得发方程,2.5.3 正交多项式拟合,按上述求离散数据 的拟合多项式 的方法，称为正交多项式拟合。根据惟一性，所得结果与用前面的方法所得的结果相同，但数值计算比前者稳定。,解 已知离散数据为,例 2.15 用正交化方法求例2.13中的离散数据的二次多项式拟合。,进而有,对权数 ,在例2.10中已求出了点集 上的正交多项式,并且有,所得结果与例2.13相同.,