第2章系统数学模型ppt课件.ppt

自动控制原理 第二章系统数学模型,§专业基础课§,邓晓刚 信息与控制工程学院自动化系,第二章 控制系统的数学模型,2-1 引言 2-2 微分方程（时域模型） 2-3 传递函数（复域模型） 2-4 结构图和信号流图（图形描述） 2-5 小结,§2-1 引言,1.数学模型的概念 描述系统内部变量之间关系的表达式，自控系统分析与设计的基础。 2.数学模型的研究意义 能够比定性分析更加精细准确，从理论上对系统的性能进行定量的分析和计算。 许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示。以一个模型分析一类系统。,3.数学模型的种类 静态模型：静态条件下各变量之间的关系 动态模型：描述变量各阶导数关系的微分方程 4.数学模型的建立方法 分析法（白箱模型） 对系统各部分的运动机理进行分析，根据物理、化学规律列写相应的运动方程，如基尔霍夫定律、牛顿定律、热力学关系等等 实验法（黑箱模型） 人为给系统施加某种测试信号，记录其响应，并用恰当的数学模型进行逼近，形成一个独立学科：系统辨识,综合法（灰箱模型） 但实际上有的系统还是了解一部分的，可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方便地建立系统的数学模型。 实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情况下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化 但这就出现了一对矛盾，简化与准确性。不能过于简化，而使数学模型变的不准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过于复杂。,数学模型的形式 时域（t） ： 微分方程 复域（s）： 传递函数 频域（w）：频率特性,§2-2 控制系统时域模型,1.微分方程的建立,【例1】RLC电路如下图，分析输入电压ur(t)作用下电容上电压uc(t)的变化。,依据电学中的基尔霍夫定律,(2)式两边求导消去中间变量i(t),整理成规范形式,(1),【例2】建立下面机械平移系统的数学模型 求在外力F(t)作用下，物体的运动轨迹。,首先：确定输入F(t),输出x(t) 其次：理论依据 1.牛顿第二定律 2.牛顿第三定律,k,F(t),x(t)位移,阻尼系数f,阻尼器,弹簧,m,F1(t),F2(t),机械平移系统的微分方程为：,注意：写微分方程时，常习惯于把输出写在方程的左边，输入写在方程右边，而且微分的次数由高到低排列 。,微分方程数学模型的标准形式,这两个式子很相似，故可用电子线路来模拟机械平移系统，这也证明了我们前面讲到的，看似完全不同的系统，具有相同的运动规律，可用相同的数学模型来描述。（相似系统）,讨论：,微分方程是控制系统最基本的数学模型，要研究系统的运动，必须列写系统的微分方程。 列写微分方程的基本步骤： 1) 确定系统的输入量和输出量 2) 将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传递的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各环节的线性化原始方程。 3) 消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式，并且化为标准形式。,【例3】 求电枢控制直流电动机的微分方程。 电枢电压ua(t)作为输入量，电机转速m(t)作为输出量. Ra La 分别是电枢电路的电阻和电感；Mc是折合到电动机轴上的总负载转矩。,注：电能转化为机械能,(1) 根据基尔霍夫定律，电枢绕组的电压平衡方程式为,Ce是反电势系数（伏/（弧度/秒）,通常La很小，可以忽略不计,其中,为转矩系数（牛·米/安）,(2) 电磁转矩 Mm与电枢电流成正比：,(3) 电机轴上的转矩平衡方程式为,Jm：转动惯量；fm: 粘性摩擦系数,电枢回路电压关系,电能与机械能的转换,机械能中的转矩平衡,消去中间变量,所以直流电机的运动方程为,直流电动机的时间常数,直流电动机的传递系数,进一步整理,【例4】求下图所示运算放大器的数学模型。,Rf是反馈电阻，if是反馈电流， Ri是输入电阻，ur和ir是输入电压和电流， uc是输出电压,i0是进入放大器的电流。,“虚地”: u 0 放大器具有高增益k=105109,而通常uc小于10伏，因为u=-uc/k,所以运算放大器的输入电压u近似等于0,“虚断”: i0 0 运算放大器的输入阻抗很高，流入放大器的电流i0也近似等于0。,“虚断”: i0 0 ir=if 运算放大器的数学模型为 “虚地”: u 0,【例5】 试列写速度控制系统的微分方程,2. 控制系统的微分方程,（1）系统输入变量ui，输出变量w,（2）绘制系统方块图,（3）列写各环节微分方程,（a）第1级运放,（b）第2级运放（RC比例微分放大电路）,（c）功率放大器,_,（d）直流电动机,（e）减速箱,（f）测速机,_,（4）消去中间变量，整理得：,其中，,3.线性系统的性质,1）定义 如果系统的数学模型是线性微分方程，这样的系统就是线性系统 具有迭加性和齐次性的元件称为线性元件。 2）性质：满足叠加原理 叠加性 齐次性,设元件输入为r(t)、r1(t)、r2(t)， 对应的输出为c(t)、c1(t)、c2(t) 如果 r(t)=r1(t)+r2(t)时，c(t)=c1(t)+c2(t) 满足叠加性 如果 r(t)=a·r1(t)时，c(t)=a·c1(t) 满足齐次性 满足迭加性和齐次性的元件才是线性元件,28,例如，一个二阶模型均可以表示为,分别满足上面的方程，即,如果系统是线性的，那么下面的点也满足方程,29,代入下面的方程,满足叠加原理和齐次性，所以是线性的,3）叠加原理的意义 对线性系统可以应用叠加性和齐次性，对研究带来了极大的方便。 叠加性表明：欲求系统在几个输入信号和干扰信号同时作用下的总响应，只要对这几个外作用单独求响应，然后加起来就是总响应。 齐次性表明：当外作用的数值增大若干倍时，其响应的数值也增加若干倍。这样，我们可以采用单位典型外作用（单位阶跃、单位脉冲、单位斜坡等）对系统进行分析简化了问题,4. 非线性系统的线性化,1）实际物理系统都是非线性的 2）常见的非线性,3）线性化方法 非线性微分方程的求解困难，一定条件下可以近似地转化为线性微分方程，使系统的动态特性分析大为简化，有很大的实际意义。 方法一：忽略弱非线性环节 如果元件的非线性因素较弱或者不在系统线性工作范围以内，则它们对系统的影响很小，就可以忽略 方法二：偏微法(小偏差法，切线法，增量线性化法) 假设控制系统的整个调节过程中，各个元件的输入量和输出量只是在平衡点附近作微小变化，而这段区域是线性的。符合许多控制系统实际工作情况的。,如果 A(x0,y0)为平衡点，函数f(x)在平衡点处连续可微，则在平衡点附近展开成泰勒级数,忽略二次以上的各项,得到非线性元件的线性化 数学模型,其中,注意：这几种方法只适用于一些非线性程度较低的系统，对于某些严重的非线性，如 不能作线性化处理，一般用相平面法及描述函数法进行分析。,【例6】水位自动控制系统，输入量为Q1,输出量为水位H，求水箱的微分方程。 （水箱的横截面积为C，R表示流阻）,阀门,水,H(t),Q,1,Q,2,Q,1,单位时间进水量,Q,2,单位时间出水量,0,20,10,=,=,Q,Q,此时水位为,0,解：dt时间中水箱内流体增加(或减少) CdH应与水总量 (Q1-Q2)dt相等。即： CdH =(Q1-Q2)dt,据托里拆利定理，出水量与水位高度平方根成正比， 则有,其中,为比例系数。,显然上式为非线性关系，在工作点(Q10,H10) 附近进行台劳级数展开。取一 次项得：,为流阻。则,水箱的线性化微分方程,记,代入水箱方程得到,§2-2复域数学模型：传递函数,时域数学模型：微分方程 优点：直观，易于分析系统响应 缺点: 结构改变或者参数变化时，必须重新列写微分方程，不便于系统分析和设计 复数域数学模型：传递函数 经典控制理论中最基本最重要的概念 补充内容：拉普拉斯变换（拉氏变换）,1.拉氏变换的定义,设函数 f(t) 当t=0时有定义，而且积分 存在，则称F(s)是f(t)的拉普拉斯变换，简称拉氏变换。 f(t)称为F(s)的拉氏反变换,2.常用函数的拉氏变换 (1)求阶跃函数f(t)=A·1(t)的拉氏变换。 单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换为 。 (2)求单位脉冲函数f(t)=(t)的拉氏变换。,（3）求指数函数 f(t)= 的拉氏变换 几个重要的拉氏变换,3.拉氏变换的基本性质 (1)线性性质 (2)微分性质 若 ，则有 f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。,(3)积分性质 式中 为积分 当t=0时的值。 对f(t)的二重积分的拉氏变换为 如果原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0 则,(4) 终值定理 原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。 注：若 时f(t)极限 不存在，则不能用终值定理。 对正弦函数和余弦函数就不能应用终值定理。 (5) 初值定理： (6) 位移定理：,实位移定理,复位移定理,(7)时间比例尺度定理 原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍，则象函数及其自变量都增加（或减小）同样倍数。即： (8)卷积定理 两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的乘积。,4.拉氏反变换 1) 定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称为拉氏反变换,记 。 式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。 按上式求原函数太复杂，一般用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换。,若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。 例：,例：求 的逆变换。,例.,2）. 拉式反变换部分分式展开式的求法 情况一: F(s) 有不同极点,这时,F(s) 总能展开成如下简单的部分分式之和,情况2:F(s)有共轭极点,情况3:F(s)有重极点,假若F(s)有L重极点 ,而其余极点均不相同。 那么,【例1】RC电路如图所示,微分方程为：,引例,对上式进行零初始条件下的拉氏变换得：,1.传递函数定义,定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数，用G(s)表示。,传递函数描述了系统的固有特性。只取决于系统本身的结构参数，而与输入信号等外部因素无关。,58,设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：,式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，ai，bj 是与系统结构和参数有关的常系数,设r(t)和c(t)及其各阶系数在t = 0时的值均为零，即零 初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令,59,对常微分方程求拉氏变换，得,于是，由定义得系统传递函数为：,其中,60,2. 传递函数的性质,性质1. 传递函数是复变量s的有理真分式函数，具有复变量函数的所有性质。,传函是正则的，物理可实现的,不满足因果关系，物理上不可实现,61,性质2. G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关。 G(s)只描述了输出与输入之间的关系，不反映任何该系统的物理结构。因而许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数,传递函数只表示系统输入输出关系,62,性质3. 传递函数与微分方程之间有关系,如果将,传递函数,微分方程,性质4. 传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t) 脉冲响应g(t)是系统在单位脉冲输入时的输出响应,微分算子,注意：零初始条件！,63,3 传递函数的形式,多项式形式 零极点形式 时间常数形式,【例2】求双T网络的传递函数,解：方法一：根据基尔霍夫定理,？先解微分方程 后拉氏变换,？先拉氏变换 后解代数方程,消去中间变量，整理得到传递函数,方法二：用复阻抗法,注意：双T网络不可看成两个RC网络的串联，即：,RC网络 与 单容水槽,水,H(t),Q,1,Q,2,双T网络与双容水槽,双容水槽,双T网络,73,4 典型环节的传递函数,任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合成的,1）比例环节,2）惯性环节,特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟,特点：含一个储能元件，对突变的输入其输出不能立即复现，输出无振荡,74,理想微分 一阶微分 二阶微分,3） 微分环节,特点：输出量正比于输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势,4） 积分环节,特点：输出量与输入量的积分成正比，当输入消失，输出具有记忆功能。,75,5） 振荡环节,是阻尼比， 时有振荡,是自然振荡角频率,特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡 实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数,76,6） 纯时间延迟环节,表示延迟时间,特点： 输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔 实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节,§2-4 结构图,1.结构图的概念和基本组成 将方框图中各时间域中的变量用其拉氏变换代替，各方框中元件的名称换成各元件的传递函数，这时方框图就变成了结构图。,Gc(s),Gv(s),Gp(s),Gm(s),R(s),C(s),(1)信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。,(2)方框(环节)：表示输入到输出单向传输间的函数关系,(3)引出点（分支点、测量点）:表示信号测量或引出的位置,79,(4)比较点（合成点、综合点） 两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件 “+”表示相加，“-”表示相减。“+”号可省略不写,注意：进行相加减的量，必须具有相同的量纲,80,2 结构图的绘制,（1）考虑负载效应，分别列写系统各元部件的微分方程或传递函数，并将它们用方框表示 （2）根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方块连接起来，便可得到系统的结构图 系统结构图-也是系统数学模型的一种,【例2】 试列写速度控制系统的结构图,原理图,方框图,方框图,结构图,各环节传递函数,（a）第1级运放,各环节传递函数,（b）第2级运放（RC比例微分放大电路）,（c）功率放大器,（d）直流电动机,（e）减速箱,（f）测速机,方框图,结构图,88,3. 结构图的简化等效变换,结构图简化：对方块图进行等效变换，得到等效传递函数 等效变换原则：变换前后各变量之间的传递函数保持不变 方框的三种基本连接方式：串联、并联和反馈,89,（1）串联连接,等效变换,特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量,90,结论：串联环节的等效传递函数等于所有传递函数的乘积,n为相串联的环节数,91,特点：各环节的输入信号是相同的，均为R(s)，输出C(s)为各环节的输出之和,（2）并联连接,92,n为相并联的环节数，当然还有“-”的情况,结论：并联环节的等效传递函数等于所有并联环节传递函数的代数和,93,（3）反馈连接,比较点的“-”负反馈，“”表示正反馈,?,94,有关移动中，“前”、“后”的定义：按信号流向定义，也即信号从“前面”流向“后面”，而不是位置上的前后,（4）比较点和分支点（引出点）的移动,95,96,97,（5）比较点的交换或合并,98,（6）负号的移动,负号可以在回路中任意移动，但不能越过任何一个引出点或比较点。,结构图三种基本形式,串 联,并 联,反 馈,结构图等效变换方法,101,【例1】根据结构图求传递函数C(s)/R(s),a,b,102,引出点移动,a,b,回路（1）的闭环传函,103,回路（2）的闭环传递函数,104,整个系统的闭环传函为,105,【例2】根据结构图求传函C(s)/R(s),a,b,c,EXERCISE!,106,b点后移到c点之后,错！综合点、分支点不能交换,G2,？,R(s),C(s),107,b点后移到c点之前,无用功，回路没有分离！综合点引出点不能交换,G2,？,R(s),C(s),108,正确方法：在同类点a,b之间移动,a,b,c,G1,d,b,d都是综合点，可以合并，可以交换,R(s),C(s),109,b,d两个综合点交换位置，分离出两个回路,所以，闭环传递函数为,R(s),C(s),110,1. 信号流图的组成及性质,信号流图也是控制系统的一种表示法 信号流图的简化可以直接采用梅森增益公式,方框图表示,信号流图表示,a,b为节点，G为增益，表示关系,§2-5 信号流图,111,信号流图中的术语,输入节点(源节点)：只有输出支路，而没有输入支路的节点，一般代表系统的输入变量。,1,112,输出节点(阱节点)：只有输入支路，而没有输出支路的节点，一般代表系统的输出变量。,1,113,混合节点：既有输入支路，又有输出支路的节点。,1,114,前向通路：开始于输入节点，沿支路箭头方向，每个节点只经 过一次，最终到达输出节点的通路,前向通路上各支路增益之乘积，称为前向通路总增益 用 表示,1,115,各前向通道及其通道增益,1,116,回路:起点和终点在同一节点，且信号经过每一个节点不多于一次的闭合通道称为回路,回路中所有支路增益的乘积称为回路增益，用 表示,1,117,部分回路及其回路增益,1,118,不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路叫做不接触回路,1,119,图中的不接触回路,1,120,信号流图的性质,信号流图适用于线性系统 节点表示系统的变量 支路表示一个信号对另一个信号的函数关系，信号只能沿支路上的箭头指向传递，相当于乘法器 节点的输出信号等于所有输入支路信号的叠加 信号流图的不唯一性,121,2 信号流图的绘制, 由微分方程绘制（仅作了解）,1）将各环节转化为传递函数，再画信号流图 2）对系统每个变量指定一个节点 3）按照系统中的变量的因果关系，从左至右顺序排列 4）根据数学关系将各节点变量正确连接，标明支路增益,122,在结构图上用小圆圈标出传递函数的信号，即得到节点 用标有传递函数的线段代替结构图中的方框，便得到支路,由系统方块图绘制（需要掌握）,123,由结构图转化为信号流图时，节点数量要尽量精简 支路传输增益为1的相邻两个节点可以合并 比较点与其之后的引出点可以合并 比较点与其之前的引出点不能合并,124,【例1】画出所示系统方块图的信号流图,125,解：用小圆圈表示各变量对应的节点 在比较点之后的引出点A1,A2 可以与引出点合并,126,3 梅森(Mason)增益公式,任一结构图中，某个输入对某个输出的传输增益（传递函数）为,系统总增益（总传递函数）,前向通路个数,第k条前向通路总增益,信号流图特征式,第 k 条前向通路的特征余子式,127,信号流图特征式的计算公式为,所有不同回路增益之和,所有任意两个互不接触回路增益乘积之和,所有任意3个互不接触回路增益乘积之和,为 除去与第 k 条前向通路相接触的回路增益项（即令接触的回路增益全置为零）以后的余项式,128,【例2】求图所示信号流图的传函,解：（1）列出各回路增益,129,130,两两互不接触的回路为,特征式为,L5,L4,L1,L2,L3,131,（2）列出各前向通道增益及其余子式,P1,P2,132,（3）根据梅森公式写出总的传函,133,【例3】求图所示信号流图的闭环传递函数,解：（1）列出各回路增益,134,互不接触的回路是,所以，特征式为,135,（2）各前向通道,136,（2）闭环传函为,137,4 闭环系统传递函数的求解,反馈控制系统的结构图,138,(1)前向通路传递函数,前向通道传递函数,假设N(s)=0,139,(2)反馈回路传递函数,反馈回路传递函数,假设N(s)=0,140,(3)开环传递函数,开环传递函数,假设N(s)=0,141,(4)输出C(s)与输入R(s) 之间的传递函数,假设N(s)=0,142,(5)输出C(s)与扰动N(s) 之间的传递函数,假设R(s)=0,利用闭环传递函数公式，直接可得,143,(6)误差E(s)与输入信号R(s)传递函数,假设N(s)=0,144,（7）误差E(s)与扰动N(s)之间的传递函数,假设R(s)=0,利用闭环传递函数公式，直接可得,145,线性系统满足叠加原理，当输入R(s)与扰动N(s)同时作用于系统时，系统的输出及误差为,E(s)=,1,+ G2H2,+ G1G2H3,-G1H1G2 H2,- G1H1,(G2H3),R(s) ,N(s),(1+G2H2),(- G3G2H3),+,+,L1=G1H1,L2=- G2H2,L3=- G1G2H3,L1L2=-G1H1G2 H2,P11=1 D11= 1+G2H2,P12= (- G3G2H3) D12= 1,P2= (- G2H3) D2= 1,EXERCISE!,第2章小结,建立系统数学模型的方法 微分方程 传递函数 能够对某些非线性系统进行线性化处理 泰勒公式 传递函数的基本概念、性质和求法 结构图的绘制和化简 信号流图与梅逊公式,