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若由方程,可确定 y 是 x 的函数 ,由,表示的函数 , 称为显函数(Explicit function) .,例如,可确定显函数,可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不易显化 .,则称此函数为隐函数(Implicit function) .,§3 隐函数的导数和由参数方 程确定的函数的导数 一、隐函数的导数(Implicit Differentiation),隐函数的显化.,问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导 ?,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,隐函数求导方法:,两边对 x 求导,(含导数 的方程),Eg.1,Sol.,Eg.2,Sol.,对数求导法,观察函数,方法:,先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数.,-对数求导法,适用范围:,Eg.3,Sol.,等式两边取对数得,Eg.4,解法一,等式两边取对数得,解法二,Generally,解法一:,Eg.5,解法二:,分别求,二、由参数方程所确定的函数的导数,例如,消去参数,问题: 消参困难或无法消参如何求导?,由复合函数及反函数的求导法则得,Eg.6,Sol.,所求切线方程为,Eg.7,Sol., 求,Sol.,方程组两边同时对 t 求导, 得,Eg.8 设,三、相关变化率,都为可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为相关变化率,相关变化率问题的解法:,找出相关变量的关系式,对 t 求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,Eg.9,仰角增加率,Sol. 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,则,两边对 t 求导，得,Eg.10,Sol.,水面上升之速率,四、小结,隐函数求导法则: 直接对方程两边求导;,对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;,参数方程求导法: 参数方程求导公式;,相关变化率问题:,列出依赖于 t 的相关变量关系式,对 t 求导,相关变化率之间的关系式,思考题,解答:,不对,练 习 题,练习题答案,