第3章离散傅立叶变换.ppt
第3章 离散傅立叶变换,DFS DFS的性质 DFT DFT的性质 圆周卷积 利用DFT计算线性卷积 频率域抽样,有限长序列的傅里叶分析,一、四种信号傅里叶表示,1. 周期为T0的连续时间周期信号,频谱特点： 离散非周期谱,2. 连续时间非周期信号,频谱特点： 连续非周期谱,3. 离散非周期信号,频谱特点： 周期为2的连续谱,4. 周期为N 的离散周期信号,频谱特点：周期为N的离散谱,为了便于更好地理解DFT的概念，先讨论周期序列及其离散傅里叶级数（DFS）表示。 一个周期为N的周期序列，即 ， k为任意整数，N为周期 周期序列不能进行Z变换，因为其在 n=-到+ 都周而复始永不衰减，即 z 平面上没有收敛域。但是，正象连续时间周期信号可用傅氏级数表达，周期序列也可用离散的傅氏级数来表示，也即用周期为N的正弦序列来表示。,离散傅里叶级数（DFS）,周期为N的正弦序列其基频成分为： K次谐波序列为：,但离散级数所有谐波成分中只有N个是独立的，这是与连续傅氏级数的不同之处， 即 因此,将周期序列展成离散傅里叶级数时，只需取 k=0 到(N-1) 这N个独立的谐波分量，所以一个周期序列的离散傅里叶级数只需包含这N个复指数， 利用正弦序列的周期性可求解系数 。 将上式两边乘以 ，并对一个周期求和,上式中 部分显然只有当k=r时才有值为1,其他任意k值时均为零,所以有 或写为 1) 可求 N 次谐波的系数 2） 也是一个由 N 个独立谐波分量组成的傅立叶级数 3） 为周期序列，周期为N。,时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个周期序列。,是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS)变换对，这种对称关系可表为： 习惯上：记 ，,DFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷长序列，但是只要知道它一个周期的内容（一个周期内信号的变化情况），其它的内容也就都知道了，所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。,则DFS变换对可写为,DFS· 离散傅里叶级数变换 IDFS·离散傅里叶级数反变换。,DDFS的几个主要特性： 假设 都是周期为 N 的两个周期序列，各自的离散傅里叶级数为： 1）线性 a,b为任意常数,2）序列移位 证因为 及 都是以N为周期的函数，所以有,由于 与 对称的特点，同样可证明,3）共轭对称性 对于复序列 其共轭序列 满足,证:,同理:,进一步可得,共轭偶对称分量,共轭奇对称分量,4）周期卷积 若 则 或,周 期 卷 积,证： 这是一个卷积公式，但与前面讨论的线性卷积的差别在于，这里的卷积过程只限于一个周期内（即 m=0N-1），称为周期卷积。 例： 、 ，周期为 N=7, 宽度分别为 4 和 3 ，求周期卷积。 结果仍为周期序列，周期为 N 。,由于DFS与IDFS的对称性，对周期序列乘积，存在着频域的周期卷积公式， 若 则,我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因此它的许多特性可推广到有限长序列上。 一个有限长序列 x(n)，长为N， 为了引用周期序列的概念，假定一个周期序列 ，它由长度为 N 的有限长序列 x(n) 延拓而成，它们的关系：,离散傅里叶变换（DFT）,周期序列的主值区间与主值序列： 对于周期序列 ，定义其第一个周期 n=0N-1，为 的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列 x(n)。 x(n)与 的关系可描述为： 数学表示： RN（n）为矩形序列。 符号（n）N 是余数运算表达式，表示 n 对 N 求余数。,例： 是周期为 N=8 的序列，求 n=11 和 n=-2 对 N的余数。 因此,频域上的主值区间与主值序列：,周期序列 的离散付氏级数 也是一个周期序列，也可给它定义一个主值区间 ，以及主值序列 X(k)。 数学表示：,再看周期序列的离散傅里叶级数变换（DFS）公式：,这两个公式的求和都只限于主值区间（0N-1），它们完全适用于主值序列 x(n) 与 X(k) ，因而我们可得到一个新的定义有限长序列离散傅里叶变换定义。,长度为N的有限长序列 x(n) ，其离散傅里叶变换 X(k) 仍是一个长度为N 的有限长序列，它们的关系为： x(n) 与 X(k) 是一个有限长序列离散傅里叶变换对，已知 x(n) 就能唯一地确定 X(k) ，同样已知 X(k) 也就唯一地确定 x(n) ，实际上 x(n) 与 X(k) 都是长度为 N 的序列（复序列）都有N个独立值，因而具有等量的信息。 有限长序列隐含着周期性。,1. 线性,需将较短序列补零后，再按长序列的点数做DFT,2. 循环位移(Circular shift of a sequence),循环位移定义为,离散傅里叶变换的性质,DFT频域循环位移特性,DFT时域循环位移特性,3. 对称性(symmetry),周期共轭对称(Periodic conjugate symmetry)定义为,周期共轭反对称(Periodic conjugate antisymmetry)定义为,当序列xk为实序列时，周期偶对称序列满足,当序列xk为实序列时，周期奇对称序列满足,对称特性,当xk是实序列时,4.循环卷积,h(-n)N,h(1-n)N,h(2-n)N,h(3-n)N,卷积定理,序列DFT与z变换的关系,xk的 Xm等于其z变换X(z)在单位圆上等间隔取样,设序列xk的长度为N,(内插公式),问题提出:,实际需要： LTI系统响应 yk=x khk,可否利用DFT计算线性卷积？,例：x1k=1,1,1, x 2k=1,1,0,1 , N=4,一、两个有限长序列的线性卷积,利用DFT计算线性卷积,线性卷积的矩阵表示,循环卷积的矩阵表示,循环卷积的矩阵表示,若xk的长度为N，hk的长度为M，则L=N+M-1点循环卷积等于xk 与hk的线性卷积。,直接计算与由DFT间接计算结果比较,若x1k为 M 点序列, x2k为L 点序列 ， LM,x1k L x2k中哪些点不是线性卷积的点?,问题讨论,0 k M-2不是线性卷积的结果，即前(M-1)个点与线性卷积不一样。,线性卷积的矩阵表示,循环卷积的矩阵表示,k=0 M-2, 前M-1个点不是线性卷积的点,k= M-1 L-1 , L-M+1个点与线性卷积的点对应,线性卷积 L L+M-2 后M -1点没有计算,则L点循环卷积,结论,若x1k为 M 点序列, x2k为L 点序列 ， LM,长序列和短序列的线性卷积,直接利用DFT计算的缺点：,(1) 信号要全部输入后才能进行计算，延迟太多,(2) 内存要求大,(3) 算法效率不高,解决问题方法：采用分段卷积,分段卷积可采用重叠相加法 和 重叠保留法,1. 重叠相加（overlap add）,将长序列xk 分为若干段长度为L的序列,其中,y0k的非零范围,y1k-L的非零范围,序列 y0k, y1k的重叠部分,重叠的点数,L+M-2-L+1=M-1,依次将相邻两段的M-1个重叠点相加，即得到最终的线性卷积结果。,重叠相加法分段卷积举例,方法： (1) 将xk长序列分段，每段长度为L； (2) 各段序列xnk与 M点短序列hk循环卷积； (3) 从各段循环卷积中提取线性卷积结果。,2.重叠保留法(overlap save),前M-1个点不是线性卷积的点,故分段时，每段与其前一段有M-1个点重叠。,y0k中的M-1, L-1点对应于线性卷积 xk*hk中的0 , L-M点,y1k中的M-1, L-1点对应于线性卷积 xk*hk中的, L-(M-1), 2L-M-(M-1)点,例 已知序列xk=k+2,0k12, hk=1,2,1试分别利用重叠相加和保留法计算线性卷积, 取L=5 。,yk=2, 7, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 41, 14,解: 重叠相加法,x1k=2, 3, 4, 5, 6,x2k=7, 8, 9, 10, 11,x3k=12,13, 14,y1k=2, 7, 12, 16, 20, 17, 6,y2k= 7, 22, 32, 36, 40, 32, 11,y3k=12, 37, 52, 41, 14,解: 重叠保留法,yk=2, 7, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 41, 14,x1k=0, 0, 2, 3, 4,x2k=3, 4, 5, 6 ,7,x3k=6 ,7 , 8, 9, 10,y1k= x1khk= 11, 4, 2, 7, 12,x4k=9, 10 , 11, 12,13,y2k= x2khk= 23, 17, 16, 20, 24,y3k= x3khk= 35, 29, 28, 32, 36,y4k= x4khk= 47, 41, 40, 44, 48,x5k=12,13, 14, 0, 0,y5k= x5khk= 12, 37, 52, 41, 14,
