离散型随机变量的均值与方差ppt课件.ppt

要点梳理 1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为,§12.6 离散型随机变量的均值与方差,基础知识 自主学习,(1)均值 称E(X)=_为随机变量X的均 值或_,它反映了离散型随机变量取值的_ _. (2)方差 称D(X)= 为随机变量X的方差,它刻画 了随机变量X与其均值E(X)的_,其_ _为随机变量X的标准差.,x1p1+x2p2+xi pi+xn pn,数学期望,平均,水平,平均偏离程度,算术,2.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)=_. (2)D(aX+b)=_.(a,b为常数) 3.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=_. (2)若XB(n,p),则E(X)=_,D(X)=_.,aE(X)+b,a2D(X),p(1-p),np(1-p),np,基础自测 1.已知 的分布列 则在下列式子中： 正确的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3,解析 答案 C,2.若随机变量X的分布列如表,则E(X)等于 ( ) A. B. C. D. 解析 由分布列的性质, 可得2x+3x+7x+2x+3x+x=1, E(X)=0×2x+1×3x+2×7x+3×2x+4×3x+5x =40x=,C,3.设随机变量 则 ( ) A.n=8,p=0.2 B.n=4,p=0.4 C.n=5,p=0.32 D.n=7,p=0.45 解析,A,4.已知某一随机变量 的概率分布列如下,且 =6.3,则a的值为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 解析 由分布列性质知：0.5+0.1+b=1,b=0.4. =4×0.5+a×0.1+9×0.4=6.3.a=7.,C,5.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中有放 回地任取3件,若X表示取到次品的次数,则D(X)= _. 解析,题型一 离散型随机变量的均值与方差的求法 【例1】 (2009·湖南理,17)为拉动经济增长,某市决 定新建一批重点工程,分为基础设施工程、民生工程 和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分 别占总数的 现有3名工人独立地从中任选一 个项目参与建设. (1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率； (2)记 为3人中选择的项目属于基础设施工程或产 业建设工程的人数,求 的分布列及数学期望.,题型分类 深度剖析,思维启迪 (1)由相互独立事件的概率公式和互斥事 件的概率公式求解. (2)确定随机变量的所有可能值.用表示选择项目属 民生工程的人数,则可取值：0,1,2,3,=3-可取 值为：3,2,1,0. 解 记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民 生工程和产业建设工程分别为事件Ai、Bi、Ci,i=1,2, 3.由题意知A1,A2,A3相互独立,B1,B2,B3相互独立, C1,C2,C3相互独立,Ai ,Bj ,Ck(i、j、k=1,2,3且i ,j、k 互不相同)相互独立,且,(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P=3！P(A1B2C3)=6P(A1)P(B2)P(C3) (2)设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为 ,由已知,故的分布列是 的数学期望 (1)求离散型随机变量的均值与方差关键 是确定随机变量的所有可能值,写出随机变量的分布 列,正确运用均值、方差公式进行计算. (2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属二项 分布的,可用二项分布的均值与方差公式计算,则更为 简单.,探究提高,知能迁移1 某中学组建了A、B、C、D、E五个不同 的社团组织，为培养学生的兴趣爱好,要求每个学生 必须参加，且只能参加一个社团.假定某班级的甲、 乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的. (1)求甲、乙、丙三名学生参加五个社团的所有选法 种数； (2)求甲、乙、丙三人中至少有两人参加同一社团的 概率； (3)设随机变量为甲、乙、丙这三名学生参加A社 团的人数,求的分布列与数学期望.,解 (1)甲、乙、丙三名学生每人选择五个社团的方 法数是5种,故共有5×5×5=125(种). (2)三名学生选择三个不同社团的概率是 三名学生中至少有两人选择同一个社团的概率为 (3)由题意=0,1,2,3.,的分布列为 的数学期望,题型二 均值与方差性质的应用 【例2】设随机变量具有分布P(=k)= k=1,2,3, 4,5,求E(+2)2,D(2-1), 利用性质E(a+b)=aE()+b, D(a+b)=a2D(). 解 ,思维启迪,E(+2)2=E(2+4+4) =E(2)+4E()+4=11+12+4=27. D(2-1)=4D()=8, 是随机变量,则=f()一般仍是随机 变量,在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差 的性质,可以避免再求的分布列带来的繁琐运算.,探究提高,知能迁移2 (2008·湖北理，17)袋中有20个大小相 同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个 (n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,表示所取球的标 号. (1)求的分布列、期望和方差； (2)若=a+b,E()=1,D()=11,试求a,b的值. 解 (1)的分布列为,(2)由D()=a2D(),得a2×2.75=11,即a=±2. 又E()=aE()+b, 所以当a=2时,由1=2×1.5+b,得b=-2. 当a=-2时,由1=-2×1.5+b,得b=4.,题型三 均值与方差的实际应用 【例3】 (12分）(2008·广东理,17)随机抽取某厂的 某种产 品200件，经质检，其中有一等品126件、二 等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、 二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元, 而1件次品亏损2万元.设1件产品的利润(单位:万元) 为. (1)求的分布列； (2)求1件产品的平均利润(即的数学期望)； (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降 为1%,一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的 平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少？,思维启迪 确定随机变量写出随机变量的分布列 计算数学期望列不等式求解. 解 (1)的所有可能取值有6,2,1,-2. 故的分布列为 (2)E()=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02 =4.34(万元).,(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的 平均利润为E()=6×0.7+2×(1-0.7-0.01-x)+x+ (-2)×0.01=4.76-x(0x0.29),依题意,知 E()4.73,即4.76-x4.73,解得x0.03. 所以三等品率最多为3%. 解决此类题目的关键是正确理解随机变 量取每一个值所表示的具体事件,求得该事件发生的 概率,本题第(3)问充分利用了分布列的性质p1+p2+ +pi+=1.,探究提高,知能迁移3 现有甲、乙两个项目,对甲项目每投资 10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17 万元的概率分别为 已知乙项目的利润与 产品价格的调整有关,在每次调整中,价格下降的概 率都是p(0p1).设乙项目产品价格在一年内进行 2次独立的调整，记乙项目产品价格在一年内的下 降次数为,对乙项目投资10万元,取0、1、2时, 一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元. 随机变量1、2分别表示对甲、乙两项目各投资 10万元一年后的利润.,(1)求1、2的概率分布和数学期望E(1)、 E(2); (2)当E(1)E(2)时,求p的取值范围. 解 (1)方法一 1的概率分布列为,由题设得B(2,p), 即的概率分布列为 故2的概率分布列为 所以2的数学期望是 E(2)=1.3×(1-p)2+1.25×2p(1-p)+0.2×p2 =1.3×(1-2p+p2)+2.5×(p-p2)+0.2×p2 =-p2-0.1p+1.3.,方法二 1的概率分布列为 设Ai表示事件“第i次调整,价格下降”(i=1,2),则,故2的概率分布列为 所以2的数学期望为 E(2)=1.3×(1-p)2+1.25×2p(1-p)+0.2×p2 =1.3×(1-2p+p2)+2.5×(p-p2)+0.2×p2 =-p2-0.1p+1.3. (2)由E(1)1.18, 整理得(p+0.4)(p-0.3)0, 解得-0.4p0.3.因为0p1, 所以当E(1)E(2)时,p的取值范围是0p0.3.,1.期望与方差的常用性质.掌握下述有关性质，会给 解题带来方便: (1)E(a+b)=aE()+b; E(+)=E()+E(); D(a+b)=a2D(); (2)若B(n,p),则E()=np,D()=np(1-p).,方法与技巧,思想方法 感悟提高,2.基本方法 (1)已知随机变量的分布列求它的期望、方差和标准 差,可直接按定义(公式)求解； (2)已知随机变量的期望 、方差,求的线性函数 =a+b的期望、方差和标准差，可直接用的期 望、方差的性质求解； (3)如能分析所给随机变量，是服从常用的分布(如 两点分布、二项分布等),可直接利用它们的期望、 方差公式求解.,1.在没有准确判断概率分布模型之前不能乱套公式. 2.对于应用问题,必须对实际问题进行具体分析,一般 要将问题中的随机变量设出来,再进行分析,求出随 机变量的概率分布,然后按定义计算出随机变量的期 望、方差或标准差.,失误与防范,一、选择题 1.设一随机试验的结果只有A和 ,且P(A)=p,令随机 变量 则X的方差D(X)等于( ) A.p B.2p(1-p) C.-p(1-p) D.p(1-p) 解析 X服从两点分布,故D(X)=p(1-p).,D,定时检测,2.若XB(n,p),且E(X)=6,D(X)=3,则P(X=1)的值为 ( ) A.3·2-2 B.2-4 C.3·2-10 D.2-8 解析 E(X)=np=6,D(X)=np(1-p)=3,C,3.设随机变量的分布列如表所示且E()=1.6,则a-b 等于 ( ) A.0.2 B.0.1 C.-0.2 D.-0.4 解析 由0.1+a+b+0.1=1,得a+b=0.8 又由E()=0×0.1+1×a+2×b+3×0.1=1.6, 得a+2b=1.3 由,解得a=0.3,b=0.5,a-b=-0.2.,C,4.已知随机变量+=8,若B(10,0.6),则E(), D()分别是 ( ) A.6和2.4 B.2和2.4 C.2和5.6 D.6和5.6 解析 若两个随机变量,满足一次关系式 =a+b(a,b为常数),当已知E()、D()时, 则有E()=aE()+b,D()=a2D(). 由已知随机变量+=8,所以有=8-. 因此,求得E()=8-E()=8-10×0.6=2, D()=(-1)2D()=10×0.6×0.4=2.4.,B,5.某街头小摊,在不下雨的日子一天可赚到100元,在 下雨的日子每天要损失10元,若该地区每年下雨的 日子约为130天，则此小摊每天获利的期望值是 (一年按365天计算) ( ) A.60.82元 B.68.02元 C.58.82元 D.60.28元 解析 选A.,A,6.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分 的概率为b,不得分的概率为c(a、b、c(0,1),已 知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情 况),则ab的最大值为 ( ) A. B. C. D. 解析 设投篮得分为随机变量X,则X的分布列为 当且仅当3a=2b时,等号成立.,D,二、填空题 7.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中任取 3件,若表示取到次品的个数,则E()=_. 解析 的取值为0,1,2,3,则,8.(2009·上海理，7)某学校要从5名男生和2名女生 中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量 表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望 E()=_(结果用最简分数表示). 解析 的可能取值为0,1,2,9.(2009·广东理,12)已知离散型 随机变量X的分布列如右表,若 E(X)=0,D(X)=1,则a=_,b=_. 解析 由题意知,三、解答题 10.袋中有相同的5个球,其中3个红球,2个黄球,现从 中随机且不放回地摸球,每次摸1个，当两种颜色的 球都被摸到时,即停止摸球,记随机变量为此时已 摸球的次数,求: (1)随机变量的概率分布列； (2)随机变量的数学期望与方差.,解 (1)随机变量可取的值为2,3,4, 所以随机变量的概率分布列为：,(2)随机变量的数学期望 随机变量的方差,11.某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行5次 统一测试,学生如果通过其中2次测试即可获得足够 学分升上大学继续学习,不用参加其余的测试,而每 个学生最多也只能参加5次测试.假设某学生每次通 过测试的概率都是 每次测试时间间隔恰当,每次 测试通过与否互相独立. (1)求该学生考上大学的概率； (2)如果考上大学或参加完5次测试就结束,记该生参 加测试的次数为X,求X的分布列及X的数学期望.,解 (1)记“该学生考上大学”为事件A，其对立事 件为 (2)参加测试次数X的可能取值为2,3,4,5.,故X的分布列为： 答 该生考上大学的概率为 所求数学期望是,12.(2009·陕西理，19)某食品企业一个月内被消费 者投诉的次数用表示,据统计,随机变量的概率 分布列如下表： (1)求a的值和的数学期望； (2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影 响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概 率.,解 (1)由概率分布列的性质有0.1+0.3+2a+a=1, 解得a=0.2. 的概率分布列为 E()=0×0.1+1×0.3+2×0.4+3×0.2=1.7.,(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”； 事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次,另一个月 被投诉0次”； 事件A2表示“两个月均被投诉1次”. 则由事件的独立性得 P(A1)= P(=2)P(=0)=2×0.4×0.1=0.08, P(A2)=P(=1)2=0.32=0.09. P(A)=P(A1)+P(A2)=0.08+0.09=0.17. 故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为 0.17.,返回,