第三章线性方程组.ppt

第三章 线性方程组,学时：18学时。 教学手段： 课堂讲授与学生自学讨论相结合，课堂练习和课后演练习题相结合，教师辅导答疑。 基本内容和教学目的： 基本内容：本章的基本内容是线性方程组理论，向量空间的基本理论以及几何空间平面和直线的简单性质。 教学目的： 1使学生准确理解线性方程组的全部理论和向量空间的线性相关性理论， 2熟练地掌握线性方程组的解法，线性方程组有解的充分必要条件及其线性方程组解的结构。 本章的重点和难点： 用消元法解线性方程组，线性方程组解状况的判定定理及结构定理，向量组的线性相关性理论，线性空间的基础理论。,§3.1 消 元 法,对一般线性方程组,（1）,当m=n，且系数行列式,时，我们知方程组（1）有唯一解，,其解由Gramer法则给出。但是若此时D=0，我们无法知道此时方程组是有解，还是无解。同时，当,时，我们也没有解,此方程组（1）的有效方法。因此我们有必要对一般线性方程,组（1）进行研究。 在中学代数中，我们曾用加减消元法和代入消元法来解二元、三元线性方程组。实际上用加减消元法比用行列式解方程组更具有普遍性。下面考虑解线性方程组：,解方程组： 把未知量系数和常数按原顺序写成下表,把第1个方程分别乘以（-2）、 （-1）加到第2个、3个方程,把第1行分别乘以（-2）、 （-1）加到第2、3行,把第3个方程分别乘以（-4）、 1加到第2个、1个方程,把第3行分别乘以（-4）、 1加到第2、1行,把第2个方程与第3个 方程互换位置,把第2行与第3行互换位置,分别把第1个方程和第3个 方程乘以,和,分别用,和,乘第1行和第3行,把第3个方程分别乘以 （-1）、1加到第1、2个方程,分别把把第3行乘以 （-1）、1加到第1、2行,在用消元法解线性方程组时我们实际上是对方程组进行如下三种变换：,用一个数乘某个方程的两边加到另一方程上； 用一个非零数乘一个方程的两边； 互换两个方程的位置。,这三种变换总称为线性方程组的初等变换。,如果把方程组写成 “数表” （矩阵）的形式,则解方程组就相当于对“数表” （矩阵）进行以下三种变换：,用一个数乘矩阵的某一行加到另一行上； 用一个非零数乘矩阵的某一行；,互换两行的位置。,这三种变换被称为矩阵的初等行变换。,从上面可以看出，解线性方程组的问题可以转化成对由方程组的未知量系数和常数项所排成的一个“数表”进行相应的“变换”，从而得到方程组的解。这个数表就称为矩阵。抛开具体的背景，下面引进矩阵的定义和它的初等变换。,定义1（矩阵）：数域,上,个元素排成形如下数表,称为矩阵的,若,，则,称为矩阵A的,行列式，记为,注意行列式与矩阵在形式上与本质上的区别。,定义2（矩阵的初等变换）：以下三种变换称为矩阵的初等变换：,用一个数乘矩阵的某一行（列）加到另一行（列）上； （消法变换） 用一个非零数乘矩阵的某一行（列）；（倍法变换） 交换矩阵中某两行（列）的位置。（换法变换）,为了利用矩阵的行初等变换解线性方程组，我们要解决以下问题：一个线性方程组经初等变换后所得线性方程组是否与原方程组同解。,证明：对第（1）种初等变换证明之。,由方程组未知量系数按原来的顺序组成的矩阵，称为方程组的系数矩阵，记为A。由方程组未知量系数和常数组成的矩阵称为方程组的增广矩阵，记为,对方程组进行初等变换，其实质就是对方程组中未知量系数和常数项组成的矩阵,（称为增广矩阵）进行相应的初等变换，,因此由定理3.1.1，我们有,定理3.1.2 : 对线性方程组（1）的增广矩阵,进行行初等,变换化为,，则以,为增广矩阵的线性方程组（2）与（1）同,解。,由前面的讨论知，对一个线性方程组施行初等变换，相当于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，那么我们要问：一个矩阵在行初等变换下可以化为怎样的简单形式？,定理3.1.3: 一个,矩阵A，通过行初等变换及列换法,变换可化为一下阶梯形,这里,。更进一步，通过行初等变换，可化为,所谓阶梯形矩阵是指：从它们的任一行看，从第一个元素起至该行的第一个非零元素止，它们所在位置的下方元素全为零；若该行全为零，则它的下方元素也全为零。,证明：若A=0，则A已成阶梯形，,若,，则A至少有一个元素不为0，不妨设,，,（否则，设,，我们可经行、列变换，使,位于,左上角）。把第一行分别乘以,加到,第i行，则A化为,用,乘第一行得：,对,中的右下角矩阵,类似考虑，若其为0，,则结论成立；若其不为0，不妨设,，用,乘第2行加到第i（i=3，m）行，然后用,乘第二行得：,如此作下去，直到A化为阶梯形B为止。,对B进行一系列行的消法变换，则可以把B化为C。,定理中的r是矩阵A的秩，是一个确定的数，其意义以后再研究。,定理3.1.4 线性方程组（1）与以下形式的线性方程组同解,（2）,其中,是,的一个排列。,只要证明线性方程组（1）的增广矩阵,经一系列,行初等变换及列初等变换（但最后常数列不能交换）可化为矩阵：,以,为增广矩阵的线性方程组就是（2）。,由定理3.1.3知，,中的系数矩阵A经一系列行初等变换和列换法,变换可化为C，这相应的一系列行初等变换和列换法变换就把C化为,若,中有一个不为零，不妨设,，否则可经行变换,换到第r+1行，然后对r+2，n行进行行消法变换，可使,。于是,就化为,由定理3.1.4 可知：,1、当,时，方程组无解；,2、当,时，,若r=n，则方程组有唯一组解；,若rn时，则方程组有无穷多解。,这时，把方程组（2）改写为：,给,一组值，就唯一定义出,的一组值从而得,方程组（1）的一个解。把,通过,表示出来，,这样得到的解称为方程组（1）的一般解，,称为,方程组的一组自由未知量。需要证明的是，在实际解线性方程组时，一般不做增广矩阵的列互换，特别严禁把常数列与其他列互换，以及对列进行其他变换。,例3.1.2 解方程组,解：,原方程组与方程组,同解。,故原方程的一般解是,，,是自由未知量。,例3.1.3 解方程组,解,故原方程组无解。,§3.2 n维向量空间,一、向量空间的定义和例子,向量与向量空间对我们并不陌生，在解几中，我们已经讨论过二维和三维向量空间中的向量。 在那里，两个向量相加可以按平行四边形法则相加，若向量用坐标表示，则两个向量相加转化为对应坐标相加，数与向量相乘变为数与向量的每个坐标相乘，由此可抽象出一般向量的定义。,定义3.2.1：数域F上一个n维向量就是由F中n个数组成的,有序数组：,其中,称为向量的第i个分量。,几何上的向量是n维向量的特殊情况，虽然n维向量当n4时没有直观的几何意义，但仍然把它称为向量。一方面它包含通常的向量作为其特例，另一方面它与通常的向量有许多共同的性质。本课程常常用小写希腊字母,表示向量。有了向量，一个方程,就可以用一个n+1,元向量来表示：,向量的相等：如果两个n维向量,的对应分量都相等，即,，则,称这两个向量相等，记为,向量的和：向量,称为向量,与,的和，,记为 r=+。,零向量：分量全为零的n维向量：,称为零向量。,负向量：向量,称为向量,的负向,量，记为-。,向量的数量乘积：设,，则称向量,为向量与数k的数量乘积，,记为k。,向量的减法：-=+（-）。,向量的加法满足以下四条运算规律：,1、交换律：+=+；,向量的数乘满足以下四条运算规律：,1、分配律： ；,2、分配律： ；,3、结合律： ；,4、有单位元 ： 。,2、结合律：（+）+=+（+）；,3、有零元：+ 0 =， ；,4、有负元：+ = 0， 。,如果我们不考虑研究对象的具体性质和内容，只讨论那 些与运算有关的性质，则可以抽象出向量空间的公理化定义。,定义3.2.2：F是一个数域，V是以F中的数为分量的n维 向量组成的全体，考虑上面定义的向量加法和数量乘积。其 加法和数乘分别满足以上四条规律，称V为F上的n维向量空 间，记为 。,由向量的加法和数乘可以推出以下性质:,1、 ；,2、 ；,3、 ；,4、若 ，则 。,向量可以写成：,，,也可以写成：,前者称为行向量，后者称为列向量。,列向量常写成：,§3.3 线性相关性,向量空间有两种运算：加法和数量乘法，合起来成为线性运算。因此向量空间也可称为线性空间。向量空间元素之间的最基本的关系就体现在运算上即所谓线性关系上。因此讨论向量之间的线性关系在研究向量空间时起着极为重要的作用。本节仅限于在,中进行讨论。,一、向量组的线性关系,在解几中，向量空间,中的任一个向量可由,和,中的一组数,表示出来，即有,。在一,般n维向量空间是否有类似现象？在未研究之前，先考虑上述表达式的意义。,定义3.3.1：设,是,中的向量，若存在F中,，使,则称是向量组,的一个线性组合，或称向量可由,线性表出。,例3.3.1 在,中，,可由,的线性组合。,例3.3.2 在,中，任一向量,可由向量组,线性表示，,称为n维单位向量。,这回答了本段开头提出的问题，,在,它有那些重要作用？以及是否还有其他向量组能起它们的作用？下面将给予回答。,中有重要的作用。,注1：零向量是任一向量组的线性组合。,定义3.3.2：对于,中r个向量,，若存在F中不全为,零的数,，使,，则称,线性相关，否则称,线性无关，,（即不存在不全为零的数,，使,）。,例3.3.3 判断向量,是否线性相关（若,两个向量的对应分量成比例，则这两个必线性相关）。,注2：单个零向量必线性相关，单个非零向量必线性无关。,注3：向量组,中有一个零向量，则,必线性相关。,例3.3.4 判断向量组,是否线性相关。,解：设有,，使,于是得：,取,，则有,故,线性相关。,由此可得判断向量组,线性关系的一般步骤：, 设, 若能找到不全为零的,，使成立，则,线性相关；,若由只能推出,，则,线性相关。,更一般地，要判断,中向量组,是否线性相关，,只要判断齐次线性方程组,是否有非零解。,若有非零解，则,线性相关；若只有零解，则,线性无关。,二、线性关系的简单性质,性质1：向量组,中的每一向量,都可以由这一,组向量线性表示。,性质2：如果向量r可由向量组,线性表示，而,每一个向量,又可由向量组,线性表示。,证：设,而,故,性质3：如果向量组,线性无关，则它的任一部,分组也线性无关。,性质,：如果向量组,有部分组线性相关，则,也线性相关。,性质4：设向量组,线性无关而向量组,线性相关，则一定可由,线性表示。,性质5：线性无关向量组,的同位延长向量组也线性无关。,证：设,线性无关，其延长向量组为：,因为 线性无关，,所以,定理3.3.1：向量组,线性相关的,（这个条件常被作为线性相关的另一种定义）,三、向量组的等价和替换定理,定义3.3.3 设向量组（）：,和向量组（）：,是向量空间,中的两个向量组，如果组（）,中的任一向量,都可由,线性表示，而组（）,的任一向量,也可由,则称这两个向量组等价。,例3.3.5 向量组,与向量组,是否等价？,而,与,等价。,向量组的等价满足以下三个性质：,1、反身性：任何向量组均与自己等价；,2、对称性：若,与,等价，则,也与,等价；,3、传递性：若,与,等价，,与,具有以上三个性质的关系称之为等价关系。,定理3.3.2（替换定理）：设向量组（）：,线性无关，且每一,可由向量组（）：,线性表示，则,，且在适当调整向量组（）中向量的,次序后，可使向量组（）：,与向量组（）等价。,证明要点：（对向量组（）中的个数r使用归纳法）,当r=1时，,线性无关，,且,由于,，必存在某个,不妨设就是,，于是有,于是向量组,与向量组,等价。,假设当r=n-1时结论成立，即有,且在适当调整（）组中向量的次序后，,与组（）等价。,则当r=n时，考虑前n-1个向量，有归纳假设知，,且向量组（）,与组（）等价。,又,可被,线性表示，,可由向量组（）线性表示。,设,由于,线性无关，,必不全为零。,（否则得,矛盾），,不妨设,因此，向量组（）,与向量组（）,等价。,由归纳假设知（）与（）等价，故向量组（）与（）等价。,由于,故,由替换定理可得以下两个重要推论：,于是,推论1：两个等价的线性无关向量组含有相同个数的向量。,推论2：如果向量组,可由向量组,线性,表示，且rs，则向量组,必线性相关。,通俗地说：如果个数多的向量组能被个数少的向量组表示，则个数多的向量组必线性相关。,推论3：n+1个n维向量必线性相关。,四、极大线性无关组,设,是向量空间,一组不全为零的向量，若它们,线性相关，则其中必含有向量个数尽可能多的线性无关组,，这个部分组本身线性无关，而若从原向量组,再添加一个向量就线性相关，可见原向量组中每个向量都可用这个部分组线性表示。具有这种性质的向量组就称为极大线性无关组，它对以后的讨论是很重要的。,定义3.3.4 如果向量组,的一个部分组：,满足以下两条：,线性无关；,中任一向量可由,线性表示，,则称向量组,是向量组,的一个极大,线性无关组，简称极大无关组。,例3.3.6 求向量组,的一个极大线性无关组。,解：,线性无关，而,，故,是,的一个极大无关组。,又,线性无关，而,，故,也是一个极大无关组。,可见一个向量组的极大无关组并不是唯一的，那么我们要问：一个向量组的极大无关组的个数是否唯一？,定理3.3.3 等价向量组的极大无关组含有相同个数的向量，,特别的，一个向量组的两个极大无关组含有向量个数相同。,由等价的传递性和推论1立得。,定义3.3.5： 一个向量组的极大线性无关组中所含向量的,个数叫做这个向量组的秩。,例3.3.7 求,的秩（极大线性无关组的个数）。,解一：,线性无关，又,不能被,线性表示，,线性无关。,但,是极大无关组，,的秩为3。,解二：,线性无关，且,是一极大无关组。,线性无关，且,是一极大无关组，,的秩为3。,如果向量组中每个向量均为0，则这个向量组的秩为0。,§3.4 矩阵的秩,上一节我们定义了向量组的秩，如果把矩阵的每一行看成一个向量，那么矩阵就是由这些行向量组成的。同样，如果把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵也可以看作是由这些列向量组成的。,定义3.4.1 所谓矩阵的行秩是指矩阵的行向量所组成的,向量组的秩，矩阵的列秩是由矩阵列向量所称向量组的秩。,例如3.4.1 求矩阵,的行秩和列秩。,解：A的行向量组是：,其极大线性无关组是：,故A的行秩为3。,又A的列向量为,则列向量组的极大线性无关组为,故A的列秩也是3。,问：矩阵A的行秩是否等于列秩？,为了解决这个问题，先把矩阵的行秩与齐次线性方程组的解联系起来。,引理：如果齐次线性方程组,（3.4.1）,的系数矩阵,的行秩rn，那么它有非零解。,证明：用,表示矩阵A的行向量。由于其秩为r，,故它的极大线性无关组是由r个向量组成。不妨设,一个极大无关组（否则可以调换向量的位置使之位于前r行，这相当于交换方程组的位置。显然不会改变方程组的解）。由于向量组,与,是等价的，故原方程组与,（3.4.2）,是同解的。由于方程组（3.4.2）中方程的个数小于未知量的个数，故（3.4.2）从而（3.4.1）有非零解。,是它的,以下方程组,定理3.4.1 矩阵的行秩与列秩相等。,证明：设所讨论的矩阵为,而A的行,秩为r，列秩为s。（要证r=s，先证,，再证,）。,用,表示矩阵A的行向量组，由于行秩为r，不妨设,是它的一个极大线性无关组。因为,线性无关，,故方程组,只有零解。,此即齐次线性方程组,只有零解。,由引理知，这个方程组的系数矩阵,的行秩,因而在它的行向量中可以找到r个线性无关的向量，,不妨设向量组,由上一节的性质5知，其延长向量组：,线性无关。,也线性无关。而它们恰好是矩阵A的r个列向量。由于它们线性无关，故知A的列秩,同理可证：,，因此有r=s。,由于矩阵的行秩等于列秩，因而统称为矩阵的秩。,下面揭示矩阵的秩与行列式的关系。先考虑n阶行列式。,定理3.4.2,矩阵,的行列式为零的,充要条件是A的秩小于n。,证：充分性显然：,设A的秩=rn。用,表示A的列向量组。不妨设,是列向量组的极大无关组。,设,考虑A的行列式,必要性：,若,，我们对n用归纳法证明。,当n=1时，由,知A仅有一个元素就是0，故A的秩为01。,假设结论对n-1阶矩阵成立。现在考虑n阶矩阵。用,表示A的列向量。查看A的第一列元素，若它们全,为零，则A的列向量组中含有零向量，其秩当然小于n；若这n个元素有一个不为0，不妨设,，则从第二列直到n列,分别加上第一列的倍数,这样，在把,消为零的过程中，行列式,化为,其中,由于,，故n-1阶矩阵,由归纳假设知，这个矩阵的列向量线性相关，,从而向量组,也线性相关，,即存在不全为零的数,，使,整理得,因此,线性相关，它的秩小于n。,推论： 齐次线性方程组,，有非零,解的充要条件是它的系数矩阵,的行列式为0。,结论的必要性由Gramer法则立得，结论的充分性是定理3.4.2的推论。,再考虑一般,矩阵的秩与行列式的关系。,定义3.4.2 在一个,矩阵A中任意选定k行，k列，,。位于这些选定的行和列的交叉位置,上的,个元素按照原来的顺序所组成的k阶行列式，称为A的一,个k阶子式。,定理3.4.3 矩阵A的秩为r的充要条件是：矩阵A中有一个r,阶子式不为零，而所有的r+1阶子式全为零。,证明：必要性。设矩阵A的秩为r，即矩阵A中行向量组的,极大线性无关组为r。因而任意r+1个行向量必线性相关，线性相关向量组的“缩短”向量组也线性相关，故矩阵A的任意r+1阶子式的行向量也线性相关。由定理3.4.2知，这种子式全为零，下证A中至少有一个r阶子式不为零。,设,，秩A=r。A中极大无关组的个数为r，,不妨设这r个向量正是前r个行向量（不然，可以调换行向量的位置，而矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，另证）。把这r个向量取出来，作成新的矩阵,矩阵,的行秩为r。因而其列秩也为r，即,的列向量组的极大,无关组个数也是r个，不妨设就是前r列线性无关，因而,。它是矩阵A的一个r阶子式。,充分性：设在矩阵A中有一个r阶子式不为零，而所有的,r+1阶子式全为零。不妨设这r阶子式在A的左上角，即,无关，又根据线性无关向量组的延长向量组也线性无关知，A中前r个向量是线性无关的。由于A中所有r+1阶子式全为零，因此再增加任一个行向量均线性相关（否则会导出A中有一个r+1阶子式不全为零），可见矩阵A的其他行向量可由这r个,。由定理3.4.2知这r个行组成的向量组线性,向量线性表示。故矩阵行向量的秩为r，从而矩阵的秩为r。,如何求矩阵的秩？,例3.4.2 求,的秩,解：因为A中第一行与第四行对应元素成比例，因而任何,四阶子式均为0，故秩,，现找到一个三阶子式,，故知A的秩为3。,从例3.4.1可以看出，根据定义来求矩阵的秩是繁杂的，下面利用矩阵的初等变换来求，因此先要证明。,定理3.4.4 初等变换不改变矩阵的秩。,例3.4.3 求矩阵,的秩。,解：,故秩A=3。,定理3.4.5 秩为r的矩阵A可通过初等变换化为如下标准形：,§3.5 线性方程组有解判别定理,在有了向量和矩阵的理论准备之后，,下面给出线性方程,（3.5.1）,有解的判别定理。,定理3.5.1（线性方程组有解的判别定理）：,证二：设,于是方程组（3.5.1）可表为：,（3.5.2）,设方程组（3.5.1）有解，,由于等价的向量组有相同的秩，,是A的列向量组，,由（3.5.2）知可由,线性表示，,故秩A=秩,充分性：若秩A=秩,定理3.5.2：设线性方程组（3.5.1）的系数矩阵,A和增广矩阵,有相同的秩r。,当rn时，方程组有无穷多解。,（为方便计，这里假设A的左上角r阶子式不为零）。,由定理3.5.1知，方程组有解。,因此方程组（3.5.1）与以下方程组同解。,当r=n时，方程组有唯一解：,当rn时，方程组的解为：,故方程组有无穷多解。,例3.5.1：解线性方程组,其中a为实常数。,解：,当a=1时，方程组无解。,例3.5.2：当a、b取何值时，线性方程组,无解？有解？ 在有解时求其一般解。,当a=0且b=2时，线性方程组有解。,是自由未知量。,§3.6 线性方程组的解结构,如果可以的话，我们对解的情况就能更好地把握，这个问题就是线性方程组的解结构问题。,这时，我们要问，这些解之间有没有什么关系？,能否用有限个解把全部解表示出来？,在讨论线性方程组的解结构之前，我们先考虑其特殊情况：齐次线性方程组解的情况。,一、齐次线性方程组的解结构。,设齐次线性方程组为：,（3.6.1）,它的解具有以下两个重要性质：,性质1：,证：,分别是（3.6.1）的两个解，,齐次线性方程组（3.6.1）的两个解的,和仍是方程组（3.6.1）的解。,即有,把这两个解之和,代入方程组（3.6.1）得：,故两个解之和仍是方程组（3.6.1）的解。,性质2：,把它代入方程组（3.6.1）得：,综合性质1，2得,性质3：,本性质表明，如果方程组（3.6.1）有r个解，则这r个解的所有可能的线性组合就给出（3.6.1）的无穷多解。我们想知道，齐次线性方程组的全部解是否能够通过它的有限个解的线性组合表示出来？答案是肯定的，为此须引入以下定义。,定义3.6.1：, 方程组（3.6.1）的任一个解都能表成,的线性组合。,下面的定理证明，齐次线性方程组确有基础解系，定理的证明过程实际上就是具体求基础解系的方法。,定理3.6.1：,在齐次线性方程组（3.6.1）有非,A的秩。,向量的个数等于n-r，这里n为未知量的个数， r是,零解的情况下，它有基础解系，且基础解系所含解,因为A中行向量组中前r个向量线性无关，而后,在（3.6.1）有非零解的情况下，rn。,为方便计不妨设A的左上角的r阶子式不为零。,（3.6.2）,（3.6.1）与以下方程组同解。,n-r个向量可由前r个向量线性表示。于是，方程组,把（3.6.2）改写成,（3.6.3）,也是（3.6.1）的解。注意：对方程组（3.6.3）的,的右边，由克莱姆法则可得（3.6.3）的解，从而,任两个解，只要自由未知量的取值一样，这两个解,就完全一样。,代替自由未知量,就得到方程组（3.6.3），从而是,设由,于是得,也是（3.6.1）的一个解。,故,方程组（3.6.1）的通解可表为,要注意的是：方程组（3.6.1）的基础解系并非一个，任何一个线性无关且与某一基础解系等价的,向量组都是其基础解系。,例3.6.1：,的一个基础解系。,求齐次线性方程组,解：,因此，原方程组与以下方程组同解,二、一般线性方程组的解结构,如果把其中的常数项换为0，就得齐次方程组：,（3.6.1）,方程组（3.6.1）称为方程组（3.5.1）的导出组。,（3.5.1）的解与其导出组（3.6.1）的解有密切联系。,证：,1、线性方程组（3.5.1）的两个解的差是它的导,出组（3.6.1）的解。,是方程组（3.5.1）的解，即有,故这两个解的差是其导出组（3.6.1）的解。,的左边得,定理3.6.2：,（3.6.4）就给出（3.5.1）的全部解。,是其导出组（3.6.1）的一个解。,令,则,可见方程组（3.5.1）的任一解都可表为（3.6.4）的,形式，当取遍（3.6.1）的全部解时，,就取遍（3.5.1）的全部解。,定理3.6.2表明，要求线性方程组的全部解，只要,找出它的一个特解以及它的导出组的全部解就可以了。,。,导出组是齐次线性方程组。一个齐次线性方程组的,解的全体可以用其基础解系表示出来，,是它导出组（3.6.1）的一个基础解系，因为,因此方程组（3.5.1）的全部解可表为：,。,