2019届高考数学二轮复习压轴大题高分练八函数与导数(D组)20190213222.doc

压轴大题高分练8.函数与导数(D组)压轴大题集训练,练就慧眼和规范,筑牢高考高分根基!1.已知函数f(x)=(x-4)ex-2+mx(mR).(1)当x>2时,f(x)0恒成立,求实数m的取值范围.(2)证明:当a0,1)时,函数g(x)=(x>2)有最小值,设g(x)最小值为h(a),求函数h(a)的值域.【解析】(1)因为f(x)=(x-4)ex-2+mx0对x(2,+)恒成立,等价于ex-2-m对x(2,+)恒成立,设(x)=ex-2=ex-2,(x)=1-4x+4x2ex-2=ex-20,故(x)在(2,+)上单调递增,当x>2时,由题意知(x)>(2)=-1,所以-m-1,即m1,所以实数m的取值范围为1,+).(2)对g(x)=(x>2)求导得g(x)=(x>2),记F(x)=ex-2+a(x>2),由(1)知F(x)在区间(2,+)内单调递增,又F(2)=-1+a<0,F(4)=a0,所以存在唯一正实数x0(2,4,使得F(x0)=x0-4x0ex0-2+a=0,-a=x0-4x0ex0-2.所以当x(2,x0)时,F(x)<0,g(x)<0,函数g(x)在区间(2,x0)上单调递减;当x(x0,+)时,F(x)>0,g(x)>0,函数g(x)在区间(x0,+)上单调递增; 所以g(x)在(2,+)内有最小值g(x0)= .由题设即h(a)=.又因为-a=x0-4x0ex0-2,所以h(a)=1x0ex0-2.根据(1)知,(x)=ex-2在(2,+)内单调递增,x0-4x0ex0-2=-a(-1,0,所以2<x04.令u(x)=ex-2(2<x4),则u(x)=ex-2>0,函数u(x)在区间(2,4内单调递增,所以u(2)<u(x)u(4),即函数h(a)的值域为.2.已知函数f(x)=xex(xR).(1)求函数f(x)的单调区间和极值.(2)若g(x)=f(x)-12a(x2+2x+1)有两个零点,求实数a的范围.(3)已知函数h(x)与函数f(x)的图象关于原点对称,如果x1x2,且h(x1)=h(x2),证明:x1+x2>2.【解析】(1)f(x)=ex+xex=ex(x+1),令f(x)=0,解得x=-1,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如表:x(-,-1)-1(-1,+)f(x)<00>0f(x)单调递减-单调递增所以函数f(x)的增区间为(-1,+),减区间为(-,-1);函数f(x)在x=-1处取得极小值f(-1)=-,无极大值.(2)由g(x)=xex-12a(x2+2x+1),则g(x)=(x+1)(ex-a),当a=0时,g(x)=xex,易知函数g(x)只有一个零点,不符合题意;当a<0时,在(-,-1)上,g(x)<0,g(x)单调递减;在(-1,+)上,g(x)>0,g(x)单调递增,又g(-1)=-<0,g(1)=e-2a>0,当x-时,g(x)+,所以函数g(x)有两个零点;当0<a<时,在(-,ln a)和(-1,+)上g(x)>0,g(x)单调递增,在(ln a,-1)上g(x)<0,g(x)单调递减.又g(ln a)=aln a-12a(ln a)2-a=-12a(ln a)2+1<0,所以函数g(x)至多一个零点,不符合题意;当a>时,在(-,-1)和(ln a,+)上g(x)>0,g(x)单调递增,在(-1,ln a)上g(x)<0,g(x)单调递减.又g(-1)=-<0,所以函数g(x)至多一个零点,不符合题意;当a=时,g(x)0,函数在xR上单调递增,所以函数g(x)至多一个零点,不符合题意;综上,实数a的取值范围是(-,0).(3)由h(x)=-f(-x)=xe-x,h(x)=e-x(1-x),令h(x)=0,解得x=1,当x变化时,h(x),h(x)的变化情况如表:x(-,1)1(1,+)h(x)>00<0h(x)单调递增单调递减由x1x2,不妨设x1>x2,根据h(x1)=h(x2)结合图象可知x1>1,x2<1,令F(x)=h(x)-h(2-x),x(1,+),则F(x)=(x-1)(e2x-2-1)e-x,因为x>1,2x-2>0,所以e2x-2-1>0,则F(x)>0,所以F(x)在(1,+)上单调递增,又因为F(1)=0,所以x>1时,F(x)>F(1)=0,即当x>1时,h(x)>h(2-x),则h(x1)>h(2-x1),又h(x1)=h(x2),所以h(x2)>h(2-x1),因x1>1,所以2-x1<1,所以x2,2-x1(-,1),因为h(x)在(-,1)上是增函数,所以x2>2-x1,所以x1+x2>2得证.4