2019春九年级数学下册第24章圆章末小结与提升课时作业新版沪科版201903143114.wps

圆 章末小结与提升 定义 旋转 对应点到旋转中心的距离相等 性质 对应点与旋转中心的连线所成的角相等, 都等于 旋转角 旋转前、后的图形全等 弦与直径 相关概念 弧、半圆、优弧、劣弧 等圆与等弧 垂径定理及推论(轴对称性) 基本性质 弧、弦、圆心角之间的关系(旋转不变性) 圆周角定理及推论 圆 圆内接四边形的性质 点在圆外 点在圆上 点在圆内 点与圆的位置关系 与圆有关的位置关系 相离 直线和圆的位置关系 相切(切线的性质与判定) 相交 相关概念 正多边形和圆 正多边形的计算 正多边形的画法 弧长和扇形面积弧长公式、扇形面积公式 圆柱和圆锥的侧面积、全面积 类型 1 旋转的性质及应用 1. 如图,ABC 绕着点 O 按顺时针方向旋转 90°后到达了CDE 的位置,下列说法中不正确的是(C) A.线段 AB 与线段 CD 互相垂直 1 B.线段 AC 与线段 CE 互相垂直 C.点 A 与点 E 是两个三角形的对应点 D.线段 BC 与线段 DE 互相垂直 2.如图所示,已知BAD 和BCE 均为等腰直角三角形,BAD=BCE=90°,M 为 DE 的中点.过点 E 与 AD 平行的直线交射线 AM 于点 N. (1)当 A,B,C 三点在同一直线上时(如图 1),求证:M 为 AN 的中点; (2)将图 1 中BCE 绕点 B 旋转,当 A,B,E 三点在同一直线上时(如图 2),求证:CAN 为等腰直 角三角形; (3)将图 1 中BCE 绕点 B 旋转到图 3 的位置时,那么(2)中的结论是否仍然成立?若成立,请证 明;若不成立,请说明理由. 解:(1)M 为 DE 的中点,DM=EM. ADEN,ADM=NEM, 又DMA=EMN,DMAEMN, AM=MN,即 M 为 AN 的中点. (2)由(1)中DMAEMN 可知 DA=EN, 又DA=AB,AB=NE. ABC=NEC=135°,BC=EC, ABCNEC,AC=CN,ACB=NCE, BCE=BCN+NCE=90°, BCN+ACB=90°, ACN=90°,CAN 为等腰直角三角形. (3)成立. 证明:由(2)可知 AB=NE,BC=CE, 2 ABC=360°-45°-45°-DBE=270°-DBE. ADEN,ADM=NEM, 又NEC=CEB+BEN=45°+BED+NEM=45°+45°+BDE+BED=90°+(180°- DBE)=270°-DBE,ABC=NEC. ABCNEC,再同(2)可证CAN 为等腰直角三角形, (2)中的结论仍然成立. 类型 2 垂径定理及推论 1. 如图所示,在O 中,半径 OD弦 AB 于点 C,连接 AO 并延长交O 于点 E,连接 EC,若 AB=8,CD=2, 则 EC 的长度为 (D) A.2 5 B.8 C.2 10 D.2 13 2.人工浮床又称人工浮岛,自 20年前人类开发出第一个人工浮床之后,就将人工浮床应用于地 表水体的污染治理和生态修复.近年来,我国的人工浮床技术开发及应用正好处于快速发展时 期.如图所示,是我市在某湖面上为净化水质而搭建的一个水上圆形人工浮床示意图,其中圆和 三块边长为 16 米的正方形是浮岛框架部分,被分割成的 7 部分将运用无土技术分别栽培 7 种不同的水生植物,正方形的顶点 A,B,C,D 都在圆上,且整个浮 床成轴对称图形,求这个圆形人工浮床的半径. 3 解:设过点 D 的垂线与 HF 的交点为 Q,连接 BD 交 EF 于点 P,过点 P 作 POBD 交 HG 于点 O,连接 OB.在BEP 与DQP 中, E = DQP, EPB = DPQ,BEPDQP, BE = DQ, PB=PD,点 O 为圆心,BD= 322 + 242=40,PB=20,PE= 202 - 162=12,PH=4,E= BPO=90°,EBP+EPB=EPB+HPO=90°,EBP=HPO, PH HO PBEOPH, ,HO=3, BE = PE OG=13, OB= 162 + 132=5 17, 这个圆形人工浮床的半径为 5 17 米. 类型 3 圆周角定理及推论 典例 1 如图,A,B,C 是圆 O 上的三点,且四边形 ABCO 是平行四边形,OFOC 交圆 O 于点 F,则BAF 等于 ( ) A.12.5° B.15° C.20° D.22.5° 【解析】连接 OB.四边形 ABCO 是平行四边形,OCAB,又OA=OB=OC,OA=OB=OC=AB, AOB 为等边三角形,OFOC,OCAB,OFAB,BOF=AOF=30°,由圆周角定理得 1 BAF= BOF=15°. 2 【答案】 B 【针对训练】 4 1. (贺州中考)如图,在O中,AB是O的直径,AB=10,AC = CD = DB,点 E是点 D关于 AB的对称 1 点,M是 AB上的一动点,下列结论:BOE=60°CED= DOB;DMCE;CM+DM的最小值 2 是 10.上述结论中正确的个数是 (C) A.1 B.2 C.3 D.4 2. (永州中考)如图,四边形ABCD是O的内接四边形,D是AC 的中点,E是BC 上的一点,若CED=40°, 则ADC= 100 °. 类型 4 切线的性质与判定 典例 2 如图,ABC内接于O,AC为O的直径, PB是O的切线,B为切点,OPBC,垂足为 E,交O于点 D,连接 BD. (1)求证:BD平分PBC; (2)若O的半径为 1,PD=3DE,求 OE及 AB的长. 【解析】(1)连接 OB.PB是O的切线, OBPB,PBO=90°,PBD+OBD=90°, 5 OB=OD,OBD=ODB, OPBC,BED=90°, DBE+BDE=90°,PBD=EBD, BD 平分PBC. (2)作 DKPB 于点 K. 1 2BE·ED S BDE DE = , S BDP = 1 DP 2PB·DK 又BD 平分PBE,DEBE,DKPB, BE ED 1 DK=DE,PB = PD = , 3 OBE+PBE=90°,PBE+P=90°, OBE=P, OEB=BEP=90°,BEOPEB, BO OE OE BE 1 , , PB = BO = PB = BE 3 1 BO=1,OE= , 3 OEBC,BE=EC, 2 AO=OC,AB=2OE= . 3 【针对训练】 1.(日照中考)如图,AB是O的直径,PA切O于点A,连接PO并延长交O于点C,连接AC,AB=10, P=30°,则 AC 的长度是 (A) 5 A.5 3 B.5 2 C.5 D. 2 6 2.(永州中考)如图,线段 AB 为O 的直径,点 C,E 在O 上,BC = CE,CDAB,垂足为 D,连接 BE, 弦 BE 与线段 CD 相交于点 F. (1)求证:CF=BF; 4 (2)若 cosABE= ,在 AB 的延长线上取一点 M,使 BM=4,O 的半径为 6.求证:直线 CM 是O 的 5 切线. 解:(1)延长 CD 交O 于点 G. CDAB,BC = BG, BC = CE,CE = BG, CBE=GCB, CF=BF. (2)连接 OC 交 BE 于点 H. BC = CE,OCBE, BH 4 在 RtOBH 中,cosOBH=OB = , 5 4 24 BH= ×6= , 5 5 2 OH= OB2 - BH = 62 - (5) , 24 18 = 5 18 OH 3 OB 6 3 OH OB 5 OC = 6 = 5,OM = 6 + 4 = ,OC = , 5 OM HOB=COM, OHBOCM,OCM=OHB=90°, 7 OCCM, 直线 CM是O的切线. 类型 5 正多边形与圆的有关计算 1.如图,将正六边形 ABCDEF放在平面直角坐标系中,中心与坐标原点重合,若点 A的坐标为 (-1,0),则点 C的坐标为 ( 2 ) . 1 3 2, - 2.如图,O是正六边形 ABCDEF的中心,连接 BD,DF,FB. (1)设BDF的面积为 S1,正六边形 ABCDEF的面积为 S2,则 S1与 S2的数量关系是 S2=2S1 ; (2)ABF通过旋转可与CDB重合,请指出旋转中心和最小旋转角的度数. 解:(1)S2=2S1. 提示:连接 OD,OF,OB. 六边形 ABCDEF是正六边形, BDF是正三角形, 易知ABF,BDC,DEF,DOF,BOF,BOD都是全等的,S2=2S1. (2)旋转中心是 O,最小旋转角是 120°. 类型 6 弧长、扇形面积及圆锥侧面积 8 典例 3 如图,AB 是O 的直径,E 为 BC 的中点,AB=4,BED=120°,则图中阴影部分的面积之和为( ) A. 3 B.2 3 3 C. D.1 2 【解析】如图,连接 AE,OD,OE,AB 是直径,AEB=90°,又BED=120°,AED=30°, AOD=2AED=60°.OA=OD,AOD 是等边三角形,OAD=60°,E 为 BC 的中点, AEB=90°,AB=AC,ABC 是等边三角形,边长是 4,EDC 是等边三角形,边长是 2,BOE= EOD=60°,BE 和弦 BE 围成部分的面积等于DE 和弦 DE 围成部分的面积,阴影部分的面积 3 =SEDC= ×22= . 3 4 【答案】 A 【针对训练】 1. 如图,半径为 1 的圆 O 与正五边形 ABCDE 相切于点 A,C,则劣弧 AC 的长度为 (B) 9 3 4 A. B. 5 5 3 2 C. D. 4 3 2.(长春中考)如图,在ABC中,BAC=100°,AB=AC=4,以点 B为圆心,BA长为半径作圆弧,交 BC 8 于点 D,则AD 的长为 .(结果保留 ) 9 10