第五章导数和微分.ppt

§1 导数的概念 §2 求导法则 §3 参变量函数的导数 §4 高阶导数 §5 微分,第五章 导数和微分,第五章 导数和微分,§1 导数的概念,一 问题的提出,1.直线运动的速度问题,如图,取极限得,瞬时速度,2.切线问题,切线：割线的极限,播放,M,N,T,割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,2.切线问题,切线：割线的极限,M,T,N,割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,二 导数的定义,1.定义,导数定义其它常见形式：,即,1）,注1,2 导函数,很明显,2）,3）,右导数:,3 单侧导数,左导数:,判断函数在某一点可导的充分必要条件：,例,解,三 由定义求导数举例,步骤:,例1,解,例2,解,更一般地,例如,例3,解,例4,解,例5,解,四 导数的意义,1 几何意义,切线方程为,法线方程为,四、导数几何意义的应用,1、根据导数的几何意义，可以得到曲线 在定点 处的切线方程为：,2、如果 ，则法线的斜率为 ，从而点 处法线方程为：,例6 求曲线 在点（4，2）处的切线方程和法线方程。,解： （1）函数 在x=2处的导数：,（2）所求切线的斜率,即,（4）法线的斜率 ，故所求的法线方程为：,即,（3）由直线的点斜式方程可得曲线的切线方程为：,例7 曲线 上哪些点处的切线与直线 平行？,解：由导数的几何意义可知，曲线 在点 处的 切线的斜率为：,而直线 的斜率为,解此方程，得,将 代入曲线方程 ，得 。,根据两直线平行的条件有,所以，曲线 在点 处的切线与直线 平行。,练习,求曲线 在点（1，1）处的切线方程和法线方程,解：,所以，切线方程为：,法线方程为：,即,即,即切线的斜率为：,例8,解,根据导数的几何意义, 得切线斜率为,所求切线方程为,法线方程为,2 简单的物理意义,1）变速直线运动中路程对时间的导数为物体的瞬时速度.,2）交流电路中电量对时间的导数为电流强度.,3）非均匀物体中质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度.,五 可导与连续的关系,结论： 可导的函数一定是连续的。,证,比如,解,注意: 反之不成立.即连续不一定可导。,六 小结与思考判断题,1. 导数的概念与实质: 增量比的极限;,3. 导数的几何意义与物理意义:,5. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;,4. 由定义求导数.,思考判断题,1、初等函数在其定义区间内必可导,2、初等函数的导数仍是初等函数,六、练习,1、利用幂函数的求导公式，求下列函数的导数,2、熟记以下导数公式：,（1） （C)=0,（2）,( 3),（4）,（5）,八、作业 P94: 1、 3、 4、 5、 6、 7.,§2 求导法则,第五章 导数和微分,一 和、差、积、商的求导法则,定理2,定理1,证(1),(2)略.,推论,例1,解,定理3,推论,注意:,例2,解,定理4,证,注意:,例3,解,同理可得,例4,解,同理可得,例5,分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求.,解,二 反函数的导数,证,法则,于是有,即是反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,例1,解,同理可得,例2,解,同理可得,例3,解,特别地,三 复合函数的求导法则,链式法则（Chain Rules)：,证明,注1：链式求导法则，即因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.,注2,例4,解,例5,解,注：熟练以后，可以不写出中间变量，此例可以 这样写：,例6,练习：,解,例7 求 的导数。,解： 设,由 得,熟悉了复合函数的求导法则后，中间变量默记在心，由外及里、逐层求导。,例8 求 的导数,解：,y'= (3x+2)5',=5(3x+2)4(3x+2)',=5(3x+2)4(3+0),=15(3x+2)4,例9 求 的导数,解：,y'=(cosx)2',=2cosx (cosx) ',=2cosx (-sinx),例10 求 的导数,解：,y'=sin(x3)2',=2sin(x3) sin(x3)',=2sin(x3) cos(x3) (x3)',=2sin(x3) cos(x3) 3x2,=6x2sin(x3) cos(x3),例11 求 的导数,解：,y'=lnsin(4x)',= sin(4x) ',= cos(4x)(4x) ',= cos(4x),例12 求 的导数,解：,练习 求下列函数的导数,1.,解：,2.,解：,3.,解：,4.,解 ：,例13 求下列函数的导数,综合运用求导法则求导,例14 求下列函数的导数,解：,（1）,解 ：,（2）,先化简再运用导数法则求导,例15 求下列函数的导数,解 ：先将已知函数分母有理化，得,（1）,解： 因为,所以,解：因为,所以,（2）,（3）,练习 求下列函数的导数,四、双曲函数与反双曲函数的导数,只证明其中一个公式,例16,解,1 常数和基本初等函数的导数公式,五 小结,2 函数的和、差、积、商的求导法则,3 复合函数的求导法则,利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.,(1)、复合函数求导的关键，在于首先把复合函数分解成初等函数或基本初等函数的和、差、积、商，然后运用复合函数的求导法则和适当的导数公式进行计算。求导之后应该把引进的中间变量代换成原来的自变量。,(2)、 熟悉了复合函数的求导法则后，可不写出中间变量，直接由外及里、逐层处理复合关系进行求导。,(3)、有些函数可先化简再求导。,作业 p102 2：(1) (12) 3: (1) (26),六 思考判断题,1 幂函数在其定义域内一定可导。,2 任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出.,3 初等函数的导数仍为初等函数.,§3 参变量函数的导数,第五章 导数和微分,由参数方程所确定的函数的导数,消参数法,消参困难或无法消参的求导可用复合函数 求导方法,1 由参数方程确定的函数的定义,2 由参数方程所确定的函数的求导数的方法,例如,由复合函数及反函数的求导法则得,例1,解:先求运动的方向,再求速度的大小,例2,解,所求切线方程为,例3,解,相关变化率问题,相关变化率解决的问题:,已知其中一个变化率时求出另一个变化率,例4,解,例5,解,小结与思考判断题,隐函数求导方法: 直接对方程两边求导;,对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;,参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则;,相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率;,由其中一个变化率时求出另一个变化率,思考题,第五章 导数和微分,§4 高阶导数,一 问题的提出(Introduction),变速直线运动的加速度问题,即加速度是位移对时间的导数的导数。,二 高阶导数的定义,记作,类似地，,二阶导数的导数称为三阶导数,记作,三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.,高阶导数的定义,三 高阶导数的求法,例1,解,1 直接法,求高阶导数就是多次接连地求导数.,例2,例3,解,例4,解,2 数学归纳法证明高阶导数,例5,解,同理可得,3 高阶导数的运算法则,公式（3）称为莱布尼兹公式,例6,解,3 间接法,几个初等函数的高阶导数,利用已知的高阶导数公式, 通过四则,运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数.,例7,解,四 小结与思考判断题,高阶导数的定义;,高阶导数的运算法则;,n阶导数的求法;,几个初等函数的高阶导数.,思考判断题,第五章 导数和微分,§5 微分,一 问题的提出,1 面积问题 设有一边长为 的正方形,2 自由落体问题,二 微分的定义,1 定义,恩格斯在自然辩证法中，对微分作了一个形象的解释：,硫磺在一定温度下被蒸发为硫磺气，取一块正方 形硫磺薄板 ，放入容器，立刻降低容器内的温度， 则硫磺气凝固为硫磺，一部分附着于薄板，设薄板 的一对相邻的两边和两面均被某种不能附着硫磺的 物质遮盖，再设另一对相邻两边的那一层硫磺分子， 而误差就是附着在角点的一个硫磺分子。因为两条 直线上的分子很多，误差的这一个分子和它们相比， 是微不足道的。,M,N,）,2 几何意义(如图),注1：,注2：,注3：,三 可微与可导关系,定理,证,(1) 必要性,(2) 充分性,注1：,函数的变化率问题,函数的增量问题,微分,导数,注3：导数与微分的区别,例1,解,例2,解,四 基本初等函数的微分公式与法则,先计算函数的导数, 再 乘以自变量的微分.,1 基本初等函数的微分公式,2 函数和、差、积、商的微分法则,3 复合函数的微分法则,结论：,微分形式的不变性,解2,例3,解1,微分形式的不变性,例4,解1,解2,例5,解1,解2,例6,解,在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.,五 小结与思考判断题,求导数与微分的方法,叫做微分法.,导数与微分的联系:,微分的基本公式.,函数的和、差、积、商的微分法则.,