四川省成都市龙泉驿区第一中学校2019届高三数学12月月考试题理2019012402225.wps

成都龙泉中学 20162016级高三上学期 1212 月月考试题 数学（理工类） （考试用时：120120 分 全卷满分：150150 分 ） 注意事项： 1.答题时，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在 答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。写在 试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.选做题的作答：先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B铅笔涂黑。答案写在 答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5.考试结束后，请将答题卡上交； 第 卷（选择题部分，共 6060分） 一、选择题：本大题共 1212小题，每小题 5 5 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1. 已知集合 ， ，则 AB=（ ） A. B. C. （0，1 D. （0，3 2. 设是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 的值为（ ） A. B. C. D. x R ax ax a 0 , 2 0 2 3.“若命题： ”为假命题，则 的取值范围是 A.(,80,) B.(8, 0) C.(, 0 D.8, 0 4. 已知： ， ，若函数 和 有完全相同的对称轴，则 不等式 的解集是 A. B. C. D. 5.执行程序框图，假如输入两个数是 S=1、k=2,那么输出的 S= 1 A. 1 15 B. 15 C.4 D. 17 6. 某多面体的三视图如图所示，正视图中大直角三角形的斜边长为 ，左视图为边长是 1 的 正方形，俯视图为有一个内角为 的直角梯形，则该多面体的体积为（ ） A. 1 B. C. D. 2 7.已知 5 台机器中有 2 台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出 2 台故障机器为止.若检 测一台机器的费用为 1000 元，则所需检测费的均值为（ ） A3200 元 B3400 元 C3500元 D3600元 8. 已知实数 ， 满足 ，若 的最小值为 ，则实数 的值为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 9. 函数 ，则使得 成立的 取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知 的外接圆的圆心为 ，半径 ，如果 ，且 ，则向 量 和 方向上的投影为( ) A. 6 B. C. D. 11. 直线l : x 4y 2与圆 交于 A、B 两点，O 为坐标原点，若直线 OA 、OB 的 C : x y 1 2 2 倾斜角分别为 、 ，则 cos cos = 18 4 4 12 17 17 17 17 A. B. C. D. 2 12. 设 是函数 的导函数，且 ， （为自然对数的底数），则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 第 卷（非选择题部分，共 9090分） 本卷包括必考题和选考题两部分。第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 2223题为选做题，考生根据要求作答。 二、填空题：本题共 4 4 题，每小题 5 5 分，共 2020分。 2x，x 0， f f 1 13.设 f x 则 _ log x x 0 ， ， 2 14.已知函数 f（x）=loga x x b(a0，且a 1).当 2a3b4 时，函数 f（x）的零点 x n n n N* 则 0 ( , 1), , n= 15. 、 分别为双曲线 左、右支上的点，设 是平行于 轴的单位向量，则 的最 小值为_ 16. 已知 为数列 的前 项和，且 ，若 ， ， 给定四个命题 ； ； ； . 则上述四个命题中真命题的序号为_. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. （本题满分 12 分）已知向量 ， ， . （1）求 的最大值，并求此时 的值； （2）在 中，内角 ， ， 的对边分别是， ，满足 ， ， ，求 的 值. 18.（本题满分 12分） 如图，在四棱椎 中， 是棱 上一点，且 ，底面 是边长为 2 的正方形， 为正三角形，且平面 平面 ，平面 与棱 交于点 . 3 (1)求证：平面 平面 ； (2)求二面角 的余弦值. 19. （本题满分 12 分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的 关系进行分析研究，他们分别记录了 12月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子中的发芽数，得到如下资料： 日期 12 月 1 日 12月 2 日 12 月 3 日 12月 4 日 12 月 5 日 温差 （ ） 10 11 13 12 8 发芽数 （颗）· 23 25 30 26 16 该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取 2 组，用剩下的 3 组数据求线性回归方程， 再对被选取的 2 组数据进行检验. （1）求选取的 2 组数据恰好是不相邻的 2 天数据的概率； （2）若选取的是 12月 1 日与 12 月 5 日的两组数据，请根据 12 月 2 日至 12月 4 日的数据， 求出 关于 的线性回归方程 ； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为得 到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？ （注： ， ） 20.（本题满分 12分）已知点 为圆 上一动点， 轴于点 ，若动点 满足 . （1）求动点 的轨迹 的方程； （2）过点 的直线 与曲线 交于 两点，线段 的垂直平分线交 轴于点 4 ，求 的值. 21. （本题满分 12 分）已知函数 . ()求曲线 在 处的切线方程； ()求证：当 时， . 请考生在 2222、2323两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. . 22. （本题满分 10 分）在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （为参数， 且 ），已知曲线 的极坐标方程为 . （1）将曲线 的参数方程化为普通方程，并将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求曲线 与曲线 交点的极坐标 ， . 23. （本题满分 10 分）已知函数 ， . (1)求 ，求的取值范围； (2)若 ，对 ，都有不等式 恒成立，求的取值范围. 成都龙泉中学 20162016 级高三上学期 1212月月考试题 数学（理工类）参考答案 1.【答案】D 【解析】 5 由 解 得 ， 所 以 ， 由 解 得 ， 所 以 ，故 ，选 D. 2.【答案】A 【解析】 ， ， ，故选 A。 3.【答案】D 4.【答案】B 5.【答案】C 6.【答案】C 【解析】：由题可知， ， 所以 ，故选 C。 7.【答案】C 8.【答案】D 【解析】：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，分类讨论求得最优解， 联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数即可得到答案 【详解】由 作出可行域如图： 联立 ，解得 联立 ，解得 化 为 由图可知，当 时，直线过 时在 轴上的截距最大，有最小值为 ，即 当 时，直线过 时在 轴上的截距最大，有最小值为 ，即 综上所述，实数 的值为 故选 9.【答案】B 【解析】分析：先判断出偶函数在 上单调递减，然后根据对称性将函数不等式化为绝对 值不等式求解 6 详解：由题意知函数的定义域为 ， 当 时， ， 在 上单调递减， 是偶函数， 在 上单调递增 ， ， 两边平方后化简得 且 ， 解得 或 ， 故使不等式成立的 取值范围是 故选 B 解绝对值不等式时，要根据绝对值不等式的特点进行求解，解题时要注意绝对值的几何意义 的利用 10.【答案】B 【解析】由 0 得， DO 经过边 EF 的中点， DOEF.连接 OF，| | | |4， DOF 为等边三角形， ODF60°.DFE30°，且 EF4×sin 60°×24 . 向量 在 方向上的投影为 | |cos , 4 cos 150°6，故选 B. 11.【答案】D 12.【答案】B 【解析】：构造函数 F（x）= ，求出导数，判断 F（x）在 R 上递增原不等式等价为 F （lnx）F（ ），运用单调性，可得 lnx ，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集 【详解】可构造函数 F（x）= ， F（x）= = ， 由 f（x）2f（x），可得 F（x）0，即有 F（x）在 R 上递增 不等式 f（lnx）x2即为 1，（x0），即 1，x0 即有 F（ ）= =1，即为 F（lnx）F（ ）， 7 由 F（x）在 R 上递增，可得 lnx ，解得 0x 故不等式的解集为（0， ）， 故选：B 13.【答案】 -1 14.【答案】 2 15.【答案】 4 【解析】根据向量数量积的定义结合双曲线的性质进行求解即可 【详解】 由向量数量积的定义可知 即向量 在向量 上的投影 模长的乘积，故求 的最小 值，即求 在 轴上的投影的绝对值的最小值， 由双曲线的图象可知 的最小值为 故答案为 16.【答案】 【解析】构造函数 为奇函数，且单调递增，依题意有 又 ，故数列 为等差数列，且公差 故 故错误； 故正确；由题意知 若 ，则 而此时， 不成立，故错误； .，故成立. 即答案为 17.【答案】(1) ， 时， 的最大值为 (2) 【解析】利用向量数量积的坐标结合降幂公式及辅助角公式化简求得 ，进一步求得函数 的最大值，并求得使函数取得最大值的 的值 8 由中的解析式结合 求得 ，再由余弦定理求得 ，最后由正弦定理求得答案 【详解】（1） ， 当 ， ，即 ， 时， 的最大值为 . （2） ， ， ， ， ， ，在 中，由余弦定理得， ， ，在 中，由正弦定理得， ， . 18.【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析：(1)在正方形 中， ，由面面垂直的性质定理可得 ， 平面 ，又 平面 ， ，进而证得 ，又 平面 ， ， 平面 ， 平面 ，平面 平面 . (2)取 中点 ，以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 ，求出相关点的坐标， 进而得到平面 的一个法向量 ，平面 的一个法向量 .由空间的夹角 公式可求两个向量的的夹角，又由题意可得二面角 为钝角，即可得到二面角 的余弦值. 试题解析： (1)在正方形 中， ，又平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，又 平面 ， ，底面 是正方形， ， 又 平面 ， 平面 ， 平面 . 又 四点共面，且平面 平面 ， ， ， 又 ， 为棱 的中点， 是棱 中点， 是正三角形， ，又 平面 ， ， 平面 ， 平面 ，平面 平面 . (2)取 中点 ，以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 9 ， ， ， ， ， ， ， . 设平面 的法向量为 ，则 ， ， ， ，解得 ， ，令 ，则 为平面 的一个 法向量，设平面 的法向量为 ，则 ， ， ， ，得 ， ，令 ，则 为 平面 的一个法向量. ，由图知二面角 为钝角， 二面角 的余弦值为 . 19.【答案】（1） .（2） .（3）见解析. 【解析】试题分析：（1）求出抽到相邻两组数据的事件概率，利用对立事件的概率计算抽到 不相邻两组数据的概率值；（2）由表中数据，利用公式计算回归直线方程的系数，写出回归 直线方程，利用方程计算并判断所得的线性回归方程是否可靠. 试题解析：（1）设抽到不相邻两组数据为事件 ，因为从第 5 组数据中选取 2 组数据共有 10 种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有 4 种，所以 故选取的 2 组数据恰好是不相邻的 2 天数据的概率是 ， （2）由数据，求得 ，由公式得 ， ， 所以 关于 的线性回归方程这 （3）当 时， 10 同样地，当 时， 所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠 20.【答案】(1) . (2) . 【解析】：（1）设 ，则 ，根据向量表达式，表示出 的坐 标关系式，得出动点 的轨迹。 （2），将直线 被代入椭圆方程消去 得 ，根据韦达定理表 示出 。所以线段 的中点坐标为 ，表示出线段 的 垂直平分线的方程，求出点 的坐标，再表示出 的长度，最后求解。 【详解】：（1）设 ，则 ，所以 ，由 化简得 ，因为 ，代入得 ，即为 的轨迹为椭 圆方程. （2）由（1）知，点 为椭圆 的左偏点，将直线 被代入椭圆方程消去 得 ，设 ，则有 ，则 ，所以线段 的中点坐标为 所以线段 的垂直平分线所在的直线方程为 令 得 ，即 ，所以 所以 21.【答案】（） ；()见解析. 【解析】试题分析：（1）则导数的几何意义可求得曲线 在 处的切线方程。（2）由（1） 11 当 时， ，即 ， + ,只需证, x 试题解析：（ ） ， 由题设得 ， ， 在 处的切线方程为 () ， ， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，所以 在 上单调递增， 所以 . 过点 ，且 在 处的切线方程为 ， 故可猜测：当 时， 的图象恒在切线 的上方. 下证：当 时， 设 ，则 ， 在 上单调递减，在 上单调递增，又 ， ， 所以，存在 ，使得 ， 所以，当 时， ；当 时， ，故 在 上单调递增， 在 上单调递减，在 上单调递增， 又 ， ，当且仅当 时取等号，故 . 又 ，即 ，当 时，等号成立. 22.【答案】（1） （ 或 ）. .（2） . 【解析】试题分析：（1）先求出 t，再代入消元将曲线 的参数方程化为普通方程，根据将 曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）先求曲线 与曲线 交点的直角坐标，再化为极坐标. 试题解析：解：（1） ， ，即 ， 又 ， ， 或 ， 曲线 的普通方程为 （ 或 ）. ， ， ，即曲线 的直角坐标方程为 . （2）由 得 ， （舍去）， ， 则交点的直角坐标为 ，极坐标为 . 23.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析： 12 (1)由题意得到关于实 a 的不等式，然后零点分段求解不等式组可得的取值范围是 . (2)原问题等价于 ，由二次函数的性质可知 ，由绝 对值不等式的性质可得 ，据此求解关于实数 a 的不等式可得的取值范围 是 . 试题解析： （1） ， 若 ，则 ，得 ，即 时恒成立， 若 ，则 ，得 ，即 ， 若 ，则 ，得 ，即不等式无解， 综上所述，的取值范围是 . （2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需 ， 当 时， ， 因为 ，所以当 时， ， 即 ，解得 ，结合 ，所以的取值范围是 . 13