浙江专用2020版高考数学大一轮复习第九章解析几何考点规范练47双曲线20190118446.docx

考点规范练47双曲线基础巩固组1.(2018浙江一模摸底)双曲线x2a2-y24a2=1(a0)的渐近线方程为()A.y=±2xB.y=±12xC.y=±4xD.y=±2x答案A解析根据双曲线的渐近线方程定义,可知其方程为y=±2aax=±2x.故选A.2.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1的离心率e=54,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为()A.x24-y23=1B.x29-y216=1C.x216-y29=1D.x23-y24=1答案C解析由焦点F2(5,0)知c=5.又e=ca=54,得a=4,b2=c2-a2=9.双曲线C的标准方程为x216-y29=1.3.(2017课标高考)已知F是双曲线C:x2-y23=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则APF的面积为()A.13B.12C.23D.32答案D解析由c2=a2+b2=4,得c=2,所以点F的坐标为(2,0).将x=2代入x2-y23=1,得y=±3,所以PF=3.又点A的坐标是(1,3),故APF的面积为12×3×(2-1)=32,故选D.4.(2018浙江嘉兴调研)过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A,B两点,若OAB的面积为13bc3,则双曲线的离心率为()A.52B.53C.132D.133答案D解析由题意可求得|AB|=2bca,所以SOAB=12×2bca×c=13bc3,整理得ca=133,即e=133.故选D.5.(2018浙江衢州模拟)已知l是双曲线C:x22-y24=1的一条渐近线,P是l上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若PF1·PF2=0,则点P到x轴的距离为()A.233B.2C.2D.263答案C解析由题意知F1(-6,0),F2(6,0),不妨设渐近线l的方程为y=2x,则可设P(x0,2x0).由PF1·PF2=(-6-x0,-2x0)·(6-x0,-2x0)=3x02-6=0,得x0=±2.故点P到x轴的距离为2|x0|=2,应选C.6.点P是双曲线x29-y216=1的右支上的一点,M是圆(x+5)2+y2=4上的一点,点N的坐标为(5,0),则|PM|-|PN|的最大值为. 答案8解析设圆(x+5)2+y2=4圆心为F,则|PM|-|PN|PF|+2-|PN|=2a+2=2×3+2=8.7.过双曲线x2-y23=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=. 答案43解析由题意知,双曲线x2-y23=1的渐近线方程为y=±3x,将x=c=2代入得y=±23,即A,B两点的坐标分别为(2,23),(2,-23),所以|AB|=43.8.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(5,0),则a=;b=. 答案12解析由2x+y=0,得y=-2x,所以ba=2.又c=5,a2+b2=c2,解得a=1,b=2.能力提升组9.设点P为有公共焦点F1,F2的椭圆和双曲线的一个交点,且cosF1PF2=35,椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,若e2=2e1,则e1=()A.104B.75C.74D.105答案D解析设双曲线的实轴长为2a,则椭圆的长轴长为4a,不妨设|PF1|>|PF2|,|PF1|+|PF2|=4a,|PF1|-|PF2|=2a|PF1|=3a,|PF2|=a,在PF1F2中,由余弦定理可知4c2=9a2+a2-2×3a×a·35ca=2105e1=c2a=105,故选D.10.若点O和点F(-2,0)分别为双曲线x2a2-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则OP·FP的取值范围为()A.3-23,+)B.3+23,+)C.-74,+D.74,+答案B解析由a2+1=4,得a=3,则双曲线方程为x23-y2=1.设点P(x0,y0),则x023-y02=1,即y02=x023-1.OP·FP=x0(x0+2)+y02=x02+2x0+x023-1=43x0+342-74,x03,当x0=3时,OP·FP取最小值3+23.故OP·FP的取值范围是3+23,+).11.若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上存在一点P满足以|OP|为边长的正方形的面积等于2ab(其中O为坐标原点),则双曲线的离心率的取值范围是()A.1,52B.1,72C.52,+D.72,+答案C解析由已知条件,得|OP|2=2ab,P为双曲线上一点,|OP|a,2aba2.2ba.又c2=a2+b2a2+a24=54a2,e=ca52.12.点P是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)左支上的一点,其右焦点为F(c,0),若M为线段FP的中点,且M到坐标原点的距离为c8,则双曲线的离心率e的取值范围是()A.(1,8B.1,43C.43,53D.(2,3答案B解析由题意,设P(x,y),x-a,Mx+c2,y2,(x+c)24+y24=c264,即x2+2cx+c2+b2a2x2-b2=c216cax+a2=116c2,x-a,cax+a-c+a,cax+a2(-c+a)2116c2(-c+a)214cc-ae=ca43,1<e43,故选B.13.(2018浙江嘉兴二模)已知离心率为52的双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C的一条渐近线上的点,且OMMF2,O为坐标原点,若SOMF2=16,则双曲线的实轴长是()A.32B.16C.84D.4答案B解析由题意知F2(c,0),不妨令点M在渐近线y=bax上,由题意可知|F2M|=bca2+b2=b,所以|OM|=c2-b2=a.由SOMF2=16,可得12ab=16,即ab=32.又a2+b2=c2,ca=52,所以a=8,b=4,c=45.所以双曲线C的实轴长为16.故选B.14.(2018浙江台州调研)设直线x-3y+m=0(m0)与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是. 答案52解析双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线方程为y=±bax.由y=bax,x-3y+m=0,得Aam3b-a,bm3b-a,由y=-bax,x-3y+m=0得B-ama+3b,bma+3b,所以AB的中点C的坐标为a2m9b2-a2,3b2m9b2-a2.设直线l:x-3y+m=0(m0),因为|PA|=|PB|,所以PCl.所以kPC=-3,化简得a2=4b2.在双曲线中,c2=a2+b2=54a2,所以e=ca=52.15.设双曲线x2-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,若点P在双曲线上,且F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是. 答案(27,8)解析如图,由已知可得a=1,b=3,c=2,从而|F1F2|=4,由对称性不妨设点P在右支上,设|PF2|=m,则|PF1|=m+2a=m+2,由于PF1F2为锐角三角形,结合实际意义需满足(m+2)2<m2+42,42<(m+2)2+m2,解得-1+7<m<3,又|PF1|+|PF2|=2m+2,27<2m+2<8.16.如图,过双曲线x2a2-y2b2=1(a,b>0)左焦点F1的直线交双曲线左支于A,B两点,C是双曲线右支上一点,且A,C在x轴的异侧,若满足|OA|=|OF1|=|OC|,|CF1|=2|BF1|,则双曲线的离心率为. 答案173解析取双曲线的右焦点F2,连接CF2,延长交双曲线于D,连接AF2,DF1,由|OA|=|OF1|=|OC|=|OF2|=c,可得四边形F1AF2C为矩形,设|CF1|=2|BF1|=2m,由对称性可得|DF2|=m,|AF1|=4c2-4m2,即有|CF2|=4c2-4m2,由双曲线的定义可得2a=|CF1|-|CF2|=2m-4c2-4m2,在直角三角形DCF1中,|DC|=m+4c2-4m2,|CF1|=2m,|DF1|=2a+m,可得(2a+m)2=(2m)2+(m+4c2-4m2)2,由可得3m=4a,即m=4a3,代入可得2a=8a3-4c2-64a29,化简可得c2=179a2,即有e=ca=173.故答案为173.17.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为2,且过点(4,-10).点M(3,m)在双曲线上.(1)求双曲线方程;(2)求证:MF1·MF2=0;(3)求F1MF2的面积.(1)解e=2,可设双曲线方程为x2-y2=(0).双曲线过点(4,-10),16-10=,即=6.双曲线方程为x2-y2=6.(2)证明由(1)可知,在双曲线中a=b=6,c=23,F1(-23,0),F2(23,0).kMF1=m3+23,kMF2=m3-23,又点M(3,m)在双曲线上,9-m2=6,m2=3.kMF1·kMF2=m3+23×m3-23=-m23=-1.MF1MF2.MF1·MF2=0.(3)解由(2)知MF1MF2,MF1F2为直角三角形.又F1(-23,0),F2(23,0),m=±3,M(3,3)或(3,-3),由两点间距离公式得|MF1|=(-23-3)2+(0-3)2=24+123,|MF2|=(23-3)2+(0-3)2=24-123,SF1MF2=12|MF1|MF2|=12×24+123×24-123=12×12=6,即F1MF2的面积为6.18.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),实轴长为23.(1)求双曲线C的方程;(2)若直线l:y=kx+2与双曲线C左支交于A,B两点,求k的取值范围;(3)在(2)的条件下,线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0,m),求m的取值范围.解(1)设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).由已知得a=3,c=2,再由a2+b2=c2,得b2=1,双曲线C的方程为x23-y2=1.(2)设A(xA,yA),B(xB,yB),将y=kx+2代入x23-y2=1,得(1-3k2)x2-62kx-9=0.由题意知1-3k20,=36(1-k2)>0,xA+xB=62k1-3k2<0,xAxB=-91-3k2>0,解得33<k<1.当33<k<1时,l与双曲线左支有两个交点.(3)由(2)得xA+xB=62k1-3k2,yA+yB=(kxA+2)+(kxB+2)=k(xA+xB)+22=221-3k2.AB的中点P的坐标为32k1-3k2,21-3k2.设直线l0的方程为y=-1kx+m,将P点坐标代入直线l0的方程,得m=421-3k2.33<k<1,-2<1-3k2<0.m<-22.m的取值范围为(-,-22).7