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第四课时 函数的单调性,第三章 函数,知识梳理,一、函数单调性的定义 1对于函数f(x)的定义域I内某个区间上自变量的任意两个值x1，x2. (1)若当x1x2时，都有_，则称f(x)在这个区间上是_函数； (2)若当x1x2时，都有_，则称f(x)在这个区间上是_函数 2若函数yf(x)在某个区间上是_，则就说函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，这一区间叫做函数yf(x)的_此时也说函数f(x)是这一区间上的单调函数,答案：一、1.(1)f(x1)f(x2) 增 (2)f(x1) f(x2) 减 2增函数或减函数 单调区间,二、证明函数单调性的一般方法 1定义法 用定义法判断、证明函数单调性的一般步骤是：(1)设_，且x1x2；(2)作差_，(3)将差式变形(要注意变形的程度，一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出)；(4)判断_(要注意说理的充分性)；(5)根据f(x1)f(x2)的符号确定其_即下结论 概括为：取值作差变形定号下结论,答案：二、1.(1)x1，x2是给定区间内的任意两个值 (2)f(x1)f(x2) (4)f(x1)f(x2)的正负 (5)增减性,2用导数证明 设f(x)在某个区间(a，b)内有导数，若f(x)在区间(a，b)内，总有f(x)0(f(x)0)，则f(x)在区间(a，b)上为增函数(减函数)；反之，若f(x)在区间(a，b)内为增函数(减函数)，则f(x)0(f(x)0)请注意两者的区别所在 三、求单调区间的方法：定义法、导数法、图象法,四、复合函数yf的单调性规律 对于函数yf(u)和ug(x)，如果ug(x)在区间(a，b)上是具有单调性，当x(a，b)时，u(m，n)，且yf(u)在区间(m，n)上也具有单调性，则复合函数yf(g(x)在区间(a，b)具有单调性的规律见下表： 以上规律还可总结为：“同增异减”,基础自测,1下列函数中，在区间(0,2)上递增的是( ) A Byx C Dyx24x1,C,2(2010年珠海质检)偶函数f(x)在区间0，a(a0)上是单调函数，且f(0)·f(a)0，则方程f(x)0在区间a，a内根的个数是( ) A3 B2 C1 D0,B,3若定义在1,4上的函数f(x)为减函数，则满足不等式f(12a)f(4a2)0的a的值的集合为_,解析：f(12a)f(4a2)0，f(12a)f(4a2), 又f(x)定义在1,4上的减函数， 即,1a0. 所以，满足题意的a取值的集合为a|1a0 答案：a|1a0,4(2010年江苏卷)已知函数 则满足不等式f(1x2)f(2x)的x的范围是_,答案：,判断并证明函数f(x)x3a(aR，a是常数)的单调性 解析：,f(x)x3a在R上是增函数证明如下：设x1x2，则 f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2) (注：关键f(x1)f(x2)0的判断) f(x)x3a在R上是增函数,点评：本题用的是定义法，注意按定义法的步骤进行： 取值作差变形定号下结论,变式探究,1讨论函数 在(0，)上的单调性,(2010年天津卷)若函数 若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是( ) A(1,0)(0,1) B(，1)(1，) C(1,0)(1，) D(，1)(0,1),解析：因为函数ylog2x， 分别在(0，)上是增函数、减函数，由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论：,答案：C,点评：分段函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，同时要注意底数在(0,1)上时，不等号的方向不要写错,变式探究,2(2010年济南模拟)已知f(x)为R上的减函数，则满足 的实数x的取值范围是( ) A(，1) B(1，) C(，0)(0,1) D(，0)(1，),解析：由已知得 解得x1，故选D. 答案：D,求函数 的单调区间，并证明其单调性 解析：解法一：f(x)的定义域为R，在定义域内任 x1x2， 则f(x1 )f(x2 ),其中x1x20，f(x1)f(x2)0, 即 f(x1)f(x2)所以，f(x)在1,1上为增函数,所以，f(x) 在(，1和1，)上为减函数 综上所述，f(x)在1,1上是增函数，在(，1和1，)上是减函数,解法二：f(x)的定义域为R， 令f(x)0，得11 或 x1. f(x)的单调增区间是1,1，单调减区间是(，1，1，),点评：(1)在求函数的单调区间时，勿忘先求定义域，单调区间一定是定义域的子区间 (2)判断或证明函数的单调性常用的思路主要有：a.用函数单调性的定义；b.求导数，再判断导函数在所要求讨论的区间上的符号；c.利用复合函数的单调性等 (3)利用定义时，要注意1x1x2的正负的判断.1x1x2 形式的判断，一般设x1x2，再令 得x1±1，从而找到分界点 (4)当函数是高次多项式或分式时，用导数法求单调区间更快捷 (5)这里不能用“”将两个递增(减)区间“并”在一起，必须用逗号隔开(或用“和”连接),变式探究,3(2010年福建卷)已知函数f(x)x3x，求函数f(x)的单调区间,解析：由f(x)x3x得,设a0， 是R上的偶函数,变式探究,4讨论函数 在(2，)上的单调性，并加以证明,解析：设x1、x2为区间(2，)上的任意两个值，,当12a0，即a 时，f(x1)f(x2)，f(x)为增函数,1在讨论函数的单调性或求单调区间时应注意： 一是先求定义域，单调区间是定义域的子集 二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或” 三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示. 四要注意函数单调性与奇偶性的逆用(如比较大小；解不等式；求参数范围) 2确定函数的单调性或单调区间的常用方法与技巧： (1)在解答题中常用：定义法、导数法；,(2)在选择、填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意 型函数的图象和单调性在解题中的运用： 增区间为 减区间为,3 一些有用的结论： (1)奇函数在其对称区间上的单调性相同； (2)偶函数在其对称区间上的单调性相反； (3)在公共定义域内： 增函数f(x)增函数g(x)是增函数； 减函数f(x)减函数g(x)是减函数； 增函数f(x)减函数g(x)是增函数； 减函数f(x)增函数g(x)是减函数,1(2010年北京卷)给定函数 y|x1|，y2x1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( ) A B C D,B,2(2009年陕西卷)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2(，0(x1x2)，有(x2x1)(f(x2)f(x1)0.则当nN*时，有( ) Af(n)f(n1)f(n1) Bf(n1)f(n)f(n1) Cf(n1)f(n)f(n1) Df(n1)f(n1)f(n),解析：当x1，x2(，0(x1x2)时，(x2x1)(f(x2)f(x1)0x2x1时，f(x2)f(x1)f(x)在(，0为增函数， f(x)为偶函数f(x)在0，)为减函数， 而n1nn10，f(n1)f(n)f(n1)f(n1)f(n)f(n1) 答案：C,祝,您,学业有成,